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高一周六模拟试卷


周末数相逢
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个 选项是符合题目要求的. 1.非空集合 A ? {x 1 ? x ? a} , B ? {y y ? x ? 1, x ? A} , C ? { y y ? x , x ? A}, 若 B ? C ? ? ,则实数 a 的范围为( A. a ? 0 B. a ? )

C. 1 ? a ? )
2

2

2

D. a ? 1

2.下列各组中的两个函数是相等函数的是( A. f ( x) ? ( x ? 1) 0 与 g ( x) ? 1 C. f ( x ) ?

B. f ( x) ? x 与 g ( x) ? D. f ( x) ?

x2

1? x 1? x g ( x ) ? 与 x2 ?1 x2 ?1

t 2 ( x )4 与 g (t ) ? ( ) x t

3.下列命题:①三个点确定一个平面; ②一条直线和一个点确定一个平面;③两条相交直 线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面;⑤梯形一定是平面图形. 其中正确的个 数有( ). A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 4.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) 的表达式是( )

A. 2 x ? 1 B. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 7 5.在正方体 ABCD - A 1 1 的中点,则直线 CE 垂直于( 1B 1C1D 1 中,若 E 是 AC A.AC B.BD C. A1D D. A1 D1



6.函数 f ( x) ? ln x ?
A. (1,2)

2 的零点所在的大致区间是( x
C. (e,3)


D. (e,??)

B. (2,3)

7.给出下列命题: (1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.如果奇函数 f ( x) 在区间 [ 3 , 7 ] 上是增函数,且最小值为 5,那么 f ( x) 在 [ ? 7 , ? 3 ] 上是 A.增函数且最大值为 ? 5 C.增函数有最小值为 ? 5 B.减函数且最小值为 ? 5 D.减函数且最大值为 ? 5
第1页

9. 函数 y ? a x 与 y ? log a y 1 -1 O x

1 ( a ? 0, 且 a ? 1 )在同一平面直角坐标系中的图像的形状可能是 x
y 1 O 1 x y 1 O 1 x 1 O 1 x y

B. A. C. D. 10.现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”.“小球”的直径为 38mm,“大球”的直径 为 40mm,则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为( A. 19∶ 20 B.19∶20 C.192∶202 ) D.193∶203

1 11.如图 1,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何体的 2 俯视图可以是( )

12.如图所示,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 A-BCD,则在四面体 A-BCD 中,下列 说法正确的是( ) B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABD

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC

二、填空题:本题共 4 小题,共 20 分. 答案写在答题卡上的对应横线上 . .............. 13.若 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则 a ? _______; 2 ?1
x

14.已知函数 f ( x) ? ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f (2011 ) ? _____________; ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
f ( x) ? f (? x) ? 0 的解 x

15.设奇函数 f ( x) 在 (0,??) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 集为_______________;

16.如图,在长方体 ABCD - A 1 =1,则 BC1 与平面 BB 1B 1C1D 1 中,AB=BC=2, AA 1D 1D 所 成角的正弦值为____________;
第2页

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? ?4, 或x ? 1 , B ? x ? 3 ? x ? 1 ? 2 , (1)求 A ? B 、 (CU A) ? (CU B) ; (2)若集合 M ? x 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 是集合 A 的子集,求实数 k 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log a

1? x (a ? 0, a ? 1) , 1? x

(1)求函数 f ? x ? 的定义域; (2)当 a ? 1 时,求 f ? x ? ? 0 的 x 取值范围

19.(本题满分 12 分) 已知侧棱垂直于底面的四棱柱, ABCD-A1B1C1D1 的底面 是菱形, 且 AD=A A1,点 F 为棱 BB1
§

的中点,点 M 为线段 AC1 的中点. (1)求证: MF∥平面 ABCD (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1

第3页

20. (本小题满分 12 分)

如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 = 2 , D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论.

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,??? 。 x

(1)当 a ? ?1 时,判断并证明函数的单调性并求 f ( x) 的最小值; (2)若对任意 x ?[1,??) , f ( x) ? 0 都成立,试求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥 P ? EFGH , 下半部分是长方体 ABCD ? EFGH 。图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG .

第4页

第5页

高一年级段考数学科模拟试卷答案
1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.B 11.D 12.B 14. 3 15. 0 16. ? 0, ? 4

13. 2 17、

? ?

1? ?

3 18、解:(1)当 a=2 时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],对称轴 x=- ∈[-2,3], 2
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3? 9 9 21 ∴ f(x)min=f? ?-2?=4-2-3=- 4 ,f(x)max=f(3)=15, 21 ? ∴ 函数 f(x)的值域为? ?- 4 ,15?.….……………………6 分 2a- 1 (2)函数 f(x)=x2+(2a-1)x-3 的对称轴为 x=- . 2 2a-1 2a-1 ∴ 函数 f(x)在区间(-∞- )单调递减,在区间 (- ,+∞)单调递增. 2 2 又∵f(x)=x2+(2a-1)x-3, x∈ [-2,3] 存在单调递减区间……………10 分 ∴ - 19. 2a-1 >-2 2 解得 a ?

5 .…………………12 分 2

20. 证明: (1)任取 x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?

x1 ? x2 1 1 1 1 ) ? (1 ? )? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 ,

? x1 ?1 ?0 ,x2 ? 1 ? 0x ,1 ? x2 ?, 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 为 (?1, ??) 上的增函数。
(2)令 t ? 2 , 则 t ? [2, 4], 由(1)可知 g (t ) ?
x

……6 分

t 在 [2, 4] 上为增函数, t ?1
……12 分

则 f min ? g (2) ? 21.解: (1)? ?

2 , 3

4 f max ? g (4) ? . 5

?1 ? x ? 0 ,? ?1 ? x ? 1 , ?1 ? x ? 0
第7页

函数的定义域为 ?? 1,1? . ? f ( x ) 的定义域关于原点对称 又 f ?? x? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ? ? f ?x? , ? f ?x ? 为奇函数. (2)? f ?x? ? 0,? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? 当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? ?1 ? x ? 0; 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? 0 ? x ? 1 .

……2 分 ……6 分

综上可知:当 0 ? a ? 1 时, x 都范围是 (?1,0 ;当 a ? 1 时, x 都范围是 (0,1 ……12 分 ) ) 22.(1)证:任取 x1 , x2 ? [?1,1] ,且 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0 由题意 ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f (? x1 )] ? 0 因为 f ( x ) 为奇函数,所以 ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 所以 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上单增 …………4 分

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 (2)由题意, ?? 1 ? 1 ? 2 x ? 1 所以, 0 ? x ? 6 ? 1 ?x ? ? 1 ? 2x 2 ?
(3)由 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上单增, f ( x) max ? f (1) ? 1

…………8 分

由题意, 1 ? m ? 2am ? 1 , 即 m ? 2am ? 0 对任意 a ?? ?1,1? 恒成立
2 2

令 g (a) ? ?2ma ? m , a ?? ?1,1?
2
2 ? ? g (?1) ? 2m ? m ? 0 所以 m ? 0 或 m ? ?2 或 m ? 2 ? 2 ? ? g (1) ? ?2m ? m ? 0

综上所述, m ? {m | m ? 0 或 m ? ?2 或 m ? 2}

…………12 分

第8页

21. (本小题满分 12 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥

P ? EFGH , 下半部分是长方体 ABCD ? EFGH 。 图 5、 图 6 分别是该标识墩的正 (主)
视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG .

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? P O ? H F ? HF ? 平面 PEG 又 EG ? HF
第9页

又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG;

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