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高中数学配套同课异构2.2.1 条件概率 课件(人教A版选修2-3)


第二章 随机变量及其分布 2.2.1条件概率

复习引入:
我们知道求事件的概率有加法公式: 若事件A与B互斥,则. P( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) 那么怎么求A与B的积事件AB呢? 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A ? B (或 A ? B );

2.事件A与B都

发生的事件叫做A与B的积事件, 记为 A ? B (或 AB );

3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.

三张奖券中只有一张能中奖,现分别由3 名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽 到中奖奖券的概率是否比前两位小?
“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B
? 由古典概型计算公式可知,最后一名

同学抽到中奖奖券的概率是

1 3

如果已经知道第一名同学没有中奖,那么最后一名同学 中奖的概率是多少? 知道第一名同学 的结果会影响最 后一名同学中奖 的概率吗?

“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A

“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B
第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最后一名 同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A)
1 2

已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名 同学抽到中奖奖券的概率呢? 在这个问题中,知道第一名同学没有抽到中奖奖卷, 等价于知道事件A一定会发生,导致可能出现的基本事件 必然在事件A中,从而影响到事件B发生的概率,使得
P( B | A) ? P( B)

一般地,在已知另一事件A发生的前提下,事件B发 生的可能性大小不一定再是P(B).即 P( B | A) ? P( B) 条件的附加意味着对样本空间进行压缩.

对于上面的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢?

n( AB) n( AB) P( AB) n (?) P( B | A) ? ? ? n( A) n( A) P( A) n (?)
P(B |A)相当于把A看作新的 基本事件空间求A∩B发生的 概率

?

B

A

一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,

称P(B|A)=

P ( AB ) P ( A)

为在事件A发生的条件下,

事件B发生的条件概率, P(B|A)读作 A发生的 条件下B发生的概率。

条件概率计算公式:

P( AB) P( B | A) ? P( A)

? 注:⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤1 ; ⑵几何解释: ⑶可加性: 如果 B 和 C 互斥, 那么 P ? ( B ? C ) | A? ? P ( B | A) ? P (C | A)

B

A

基本概念
概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB ) 表示在样本空间 ? 中, 计算 AB发生 的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间 ? A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) ? , ? A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB ) ? ? 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB ) 大.

小试牛刀:例1
?
? ?

在5道题中有3道理科题和2 道文科题。如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率。

解:设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题
为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB. Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间。” n( A) 12 3 2 1 1 (1) ? n(?) ? A5 ? 20, n( A) ? A3 ? A4 ? 12,? P( A) ? ? ? . n(?) 20 5 n(AB) 6 3 2 (2)?n(AB ) ? A3 ? 6,? P( AB) ? ? ? . n(?) 20 10 3
(3)法1 P( B | A) ? P( AB ) 10 1 n( AB ) 6 1 ? ? . 法2 P ( B | A) ? ? ? 3 2 P( A) n( A) 12 2 5

例2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}={1,3,5} A={出现的点数不超过3}={1,2,3}

若已知出现的点数不超过3,求出现的点数是奇数 的概率
解:即事件 A 已发生,求事件 B 的概率 也就是求:P(B|A) ? A B 都发生,但样本空 间缩小到只包含A的样本点 1 5 n( AB) 2 3 2 P( B | A) ? ? n( A) 3 4,6

B

A

设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品, 规定一、二等品为合格品.从中任取1 件,求 (1) 取得 一等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等 品的概率. 解 设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则 70 P ? 0.7 (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, ( B) ? 100 (2)方法1: 因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以 ? B ? A? AB ? B 70 P( B A) ? ? 0.7368 ? 95 方法2: 70 95

例3.

P( AB) 70 100 P( B A) ? ? ? 0.7368 P( A) 95 100

B

A

5

1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) ? 0.7, P( B) ? 0.56

由于B ? A故A ? B ? B,
所求概率为

?
5

P( AB) P( B) P( B A) ? ? ? 0.8 P( A) P( A)

B

0.56

0.7

A


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