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二次曲线切点弦方程及其应用


1 9

8 4

年 第 一 期
a
,

例3 一点 P 线
, ,

.

直 二 面角 一 A B 一 月 棱 A B 上 有 。 PY 直 月平 面 内 作 P X 分别 在
、 、

面的 对 角线

匕X
不Y =



易 知 PM N 是 正三 角 形
,

,

所 以
.

60

“。

使 乙X


PA

=

乙Y P A
6


=

45



(图 6 )
,

.



乙 X PY

注 〕 若 用 三 面 角会 式 可 道 接计 算 s o 三 〔 面 角 公 式 为 三 面 角中 一 个 面 角 的 余 弦 等 于 另 外
: ,

c o

解 图 7 是图 六面 体 是正 六面 体

衬托 后 的 图 形 图 中的 PM PN M N 是三 个
、 、

两 个 面 角的 佘 弦 积 加 上 这 两 个 面 角的 正 弦 及 其 所 夹

二 面 角佘 弦 积
n



根据 图
90

~
~

5

,

用 此 公 式 易得
45


e o s

一 e o s

灿阿

6

c o s u

e o s6





; 爪 ; 二6 二 丙 丁 ‘ 5 In 4 勺 万 In O U

0



~

1


(作 者 单 位
:

3

河 南省 西 平 高 中)



7

二 次 曲 线 切 点 弦 方 程 及 其 应 用

平 面 解 析 几 何 中有关 直 线 和 二 次 曲 线 的


B


(x
Z ,

yZ )

,


(x
:
:


位置 关 系


,

特别 是 相 切 关 系的 题 目
,

,

综 合性
,

, PA 方程 为y 丫= p

+

、)

,

较 强 处理 这 类 习 题 当 然 可 用 二 次 曲 线 的 切 线 知 识 去 解 决 但 有时 运 算过 程 较 繁 而
,

r B 方程 为y y = p
Z


(:

+ x

)

.

’P .

(:
l

。 ,

y
P



) 在P A
,

PB 上

,

且 条 理 不 太 清 晰 笔 者就 此 问 题 引 人 二 次 曲 线 的 “ 切 点 弦” 法 对 解决 与 切 线 有 关 的 综
,



. ’.

y 。y

=

(x
x 。

+

,

x 。

)


,

(1 )
=

合 习 题 颇觉 有 益





y

y:

p

(

又。 +

)

.

二 次 曲 线 切 点弦 方 程
,

(2 )

所 谓 二次 曲 线 的 切 点 弦 就 是 过 二 次 曲 , 线外 一 点 引 此 曲 线的 两 条 切 线 连 结 两 个 切
点 的弦 弦


由 (1 )
A (x
.



(2 ) 知

,

l ,

y l),


B

(x

: , 。

了2 )

,

叫 做 过 这 两 个 点 的 二 次 曲 线 的切 点

x x 在 直 线了 y = P ( + ) 上 所 以 切 点 弦A B 方
, ,

那么 过 这 两 个 切 点 的 弦 所在 的 直 线 方程 是 什 么 呢 ? 它 与二 次 曲 线 外 一 点 的 坐 标 有 什

程为

:


丫 。y
=
,

1

p

(x

+ 又



)

.

么关 系 呢 ? : 问 题 如 图1
P ( A


x

。 ,

y



= 1 )x 外 一 点 2 从抛 物线 y )引该 曲线的 两条 切 线P A PB
,



y ) x 由此 发 现 过 抛 物线 外 一 点 P ( , 引其 曲线 的 两 条切 线 它 的切 点 弦 所在 的直
。, 。
,



,

线 方程 仅 与 P

点位 置 有关 抓 住 这 一特 点
x
。, 。



,

B

为切 点



试求 切 点 弦 A , 1 图 设 切 点 A (x 如
,



:

B
,

的方程
y
,



)



y ) 引 不 难 得 出 过二 次 曲 线 外 一 点 P ( , : 曲 线 的 两 条 切 线 那 么 它的 切 点 弦 方 程 为

称程 线名 曲曲线 方



开 曲

线

}





线

切 点弦 方 程

x

o x

+

y oy

= r Z

x

o x


,

y
~

o

y

_ 一

,



, r

屯 石一



a







禅 男
a




=

1 l

y 。y

=

p

(x



+ :

)

D



}

.

4 3








、 ‘





~

y ) 的切 线 方 x 课 本 中过 曲 线 上 一 点 P ( 程 形 式 上 是 一样 的 事 实 上 求 二 次 曲 线 : “ y“ 的切 点弦 方程 只 要 把 曲线 方 程 中的
。 , 。
,



+

由上 表 看 出

一一 一 切 点 弦 方程和 二 次 曲线 的
,

.

.

~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ - ~~ ~


y 。y
、 。


一. 一一~ . ~ 一~ ~ . 一.
y+
y+
x 1 2 =

Zx Zx

l x ,

古 了 、 了

、 气, 目 ?产 了 、 ,

x

2 2

,

=

Z x
:

的解
一 X 么 =



,





( 1)



(2 ) 得
x ,

2 (x

l

一 x :

)x



x



y 相 应 地换 成 、

。x



2 1 一

X

+

x

)
.

故Z
x (
( 1)
,

x =

+

x :





:



( 8 )
:

.

2 1 一 (y 0

x :

一 =

) y

(2 )




x :

就可 以了

这 个 法则 叫 二 次 曲



(x

一 x l

)y+

x z x :

一 x

Z

)

0

线 切 点 弦 方程 的 替 换 法 则
〔 注
A尸
+
:
“ c y
,


,

,

二 、: x :

=



中心 或 顶 点 不 在 原 点 形 如 + D : + E y + F = 。 的二 次 曲 线 的切
同 样 适 用 上 述 所 说 的替 换 法则


:




?

( 4 )

由(
. ,


3 )
,



( 4 ) 得 尽=


y 1

,

。 =

2



点 弦 方程

y

证明 从 略 〕 下 面 我们 运 用 切 点 弦 方程 来 解 决 一 些 综



P (a 月 )
2

在圆


x



+


y
=

Z

=



,

合 习题




) (寺 ) 令
:
“ “



二 次曲线 切点 弦方 程的应 用
一 : 过C ( 6 ) 8 作圆 . 求C 到 两 切 点 连
.

例 1
,

,


,
?

十y



=

5 2

1 整理 得 y 一 4 x , 由条 件 知 所 求轨迹 是 焦 点 在 y轴 上

.



的切 线 线 的距 离
AB




‘ b






/ 一 F、\
,


。,

的 双 曲线 下 分支 的 一 部分
如图
月)
B
,



解 如 图2 : 方程 为
6
、 一

切 点弦


解法二
0 0 切 于P (
: A B 为

3

设抛 物 线 的 弦 A B 与 则 过P 点 0 0 的 切 线 方 程
,

ax

+


sy

25

=

0

.

py一 1

=

0

.

( i )
:

C

6 (

,



) 8
:

到切 点 图
+


令过A
2

两 点抛物 线 的两 条 切 线 交于
0
.

弦 A B 的距 离 为
d
.

Q(

x 。

,

y 。)

,

} 36 了 6

64
+
Z



25

}
z

y

+

y 。 = Zx


则切 点 弦 A B 方 程 为 。x 。 。 即 Zx x 一 y 一 y =
,

(2 )

(



8)

1 ) 但(

2 ) 两 线重 合 (
:

,

根 据 两 线 重 合的

x “



例 2 抛物 线 y = x 的弦 A B 保持 与0 0 : y Z 二 1 相切 移 动 B 的 抛 求 过切 点 A
,
、 。

充 要条 件 得
Zx


。 o

_




一 一 ? 一 ,0 一 ? y y 与 ] 1
.

物 线 的 切 线 交 点 的 轨迹 3 设 抛 物 线 弦A 解法 一 如 图
,

l

B






。 =



全 荃

,

日=


0 0 于P (
“x



,

月)
.

,

则 过P 点 0 0 的 切 线方 程 为

yo

:
+ y

Z



月y
,



1

’P ( .
.

“,

日 ) 在 圆x

2

=

l上 ,

B

( 1 令A x : ) (x : 羞
。x

s

X

:

兰 卫 〔 ) y
o




(



yo
=

+

月y =
Z

1

,

整理 得


y
Z

:

y 。2




4x 1
.

。 ’

1,

4

x 2 =

y

二 x



x “ +

a x 一

1

=

0

由韦 达 定理 得

个 X
=
:


通 过 例 2 两 种解 法 比 较 借助 于抛物 线 “ 这 个 “ 媒介 ” 利 用 切点 弦 方 程 这 个 工 , ” 具 来 解 该 题 显 然 思 路清 楚 解 法 简 捷
, , , ,

Z

又 过y 别为

上A
: :



=


B
Zx
,



x ‘



x Z






Z

?

易于 掌 握 显 示 了 利 用 切 点 弦 方 程 解 决 与 切 线 有 关 的 一 类综 合题 的 优越 性
,




两 点抛 物线 的 切 线 方 程 分
, 、
,

y +

y+

x : 2

=

x Zx ,

那么

x 两切 线 交 点Q (

y)



例 3 从 椭 圆 的准 线 上 任 一点 P 引 椭 圆 的 : 两 条 切 线 P A PB 求 证 切 点 弦 A B 过 与 准 线 相 应的 焦点
.

,

.



1

9 8 4

年 第 一 期

证明

如图
+

4

,

设椭
=

先 求 5 1二 “
k^。
=

.

圆 的 方程为
P (x
、 =
。,

苏攀
,

1

.

“ = t只

2

—。 y
yo

,

y



)为左 准 线

S ln 叹 = C O S “

旦得



犷上 一 点

PA

,

PB 是 椭 圆 的 两 条 切 线



S ln “ =

,

v

/

+ y芯


一 不一

4 下

则切 点 弦 A

B

的 方程 为 孕乒 +
a


义翼
O
~





再 求 Iy

:

y

Z



5

’ P 是左 准 线 上 一点 , . , :
.

” 方“ 组

x 。 =




C

.

( ;; 二 ::;


+

2:



=



.

(1 ) (2 )

,得 由 ‘寻 一五
:


,

又 左 焦 点为 F (
/
I

c

,

0

)
y。

,

于是
0 _ 上一 二
~

a

Z

\
1
~

z
1 C 一

\




\一

e

一二一 二 二 一 Z
a

e s e — l \


l
.

/

l

,

. 二

,

,



+


-



b

Z

i + 0

_ =

,

1



Zy 整 理得 y : , 根据 韦达 定理 y


:

Z

y + 4、。
+




代人
.


=

化简

0

y:
,



Z y 。, y : y : y: )“
,

4x
Z

。.

故 Iy
=

,



丫:

l
=

=

侧 (y



+



4 了: y



F (
,



e

,

0 )在切

点 弦A B 上

,

2

即 切 点弦 过 左 焦点 F
,


AB



/ | 奴习

因而
+ y“

同 理 可 证 过 右 准 线上 任一 点 P 引 椭 圆两 : 切 线 其 切 点 弦 必 过 右焦 点 F
.

4

?

可 得 如 下 命题 (l ) 过 椭 圆 焦点 弦两端 的两 条切 线 交 点 的轨 迹 必 为 椭 圆 相 应 焦 点 的 准 线 , (2 ) 过 椭圆 焦 点 弦 两端 的两 条切 线 的交 点 必 在 椭 圆 相应 焦 点 的 准 线 上 ; (3 ) 双 曲 线 抛 物 线 也 具有 类 似 结论 “ : x 。 y 。) 例 4 从 抛物 线 y = 4 外 一 点 P ( 引两 条 切 线 P A PB A B 为 切 点 。 y 。表 示 △ P A B 的 面 积 ; (z ) 用 x 。 y 。 ) 在 圆 (x + 4 ) 2 + y Z (2 ) 如 果 P (x = 9 上 运 动 问 P 点 在何 位置 时 △ P A B 面 积


通过 例

3

:

_


,



士足

勺△
=

,

A “

=

1

:

。。
r



l

y



4x






}


)普
.

}A B

冬(

。,

y



4:

( 2 ) 丫 P (x

y 。 ) 在 (x + 4 ) “ + y “

=

9上

,







9



(

x 。+

4)



.

.

,

代 人上式 得
S二

:



,





,

一合
= 二 一

〔”



一 ‘
+

+

4 ,
2

2



4X



〕普

,

,


,

一 〔 (一

6,

+

2 9 〕普

?

_

最大
B

并 求 面 积 的 最 大值 (1 )如 图 5 设切点 A 解
, ,



当:
.



6

时 S△

。人 B

有 最 大值
9


2 9 了2 9 2
+

(

x ;

, :

y )
:

,

Z x
y
o

,

y: )

,

则切 点弦 A B
x o
o

方程 为

把、







6 士

= 代 入y 舌

(x



4 ) “中

y = 2 (x +

)
=

,


0
.

:

y



=



5

.

Zx 一 y o y + Z x

故 知 当P 点 在 ( 一
训 由 图知
,

6 B

,





5 )或 (一 6
,

,

过 P 作P C 一 弦 A B 交 A B 于 C

5 )

1Pe !
1
A B
A B

l
=




,

4x

o



y

o Z

侧y

。“

+ 4

L
.

的 位置 上 △ P A

面积 最大

其 最 大值

从29了 29
2

l ,

ly



y:

1
:

S] n 仪

(



(作 者 单 位

:

天 津 市 第五 十 五 中 学 )

_

!
s

y,
n



y

}
)

i (

介 一 a


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