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2017届期末复习2


大河中学高 2017 届上期数学期末复习试题
一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

6.设 a ? log3 ? , b=log2 3 , c=log3 2 ,则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b

). D. b ? c ?

a

C. b ? a ? c ).

0) 上的单调性是( 7.函数 f ( x) ? 23? x 在区间 (-?,
A.递增函数 C.常数

lg( x ? 2) 1.函数 y ? 的定义域是( x ?1
A. (-2, 1)

). B. (- 1, 1)

B.递减函数 D.有时增有时减 ).

8.设 f ( x) ? lgx ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则下列结论正确的是(

(1,+?) (1,+?)

(1,+?)

1, 1) C. [-

1] D. (-2,-
N

A. a ? 1 B. 0 ? b ? 1 C. 0 ? a ? 1 D. b ? 1 9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,对定义域中任意一个 x 都满足 f (1-x) ? f (1+x) .当

2.若不等式 x2-x ? 0 的解集为 M ,函数 f ( x)=ln(1- x ) 的定义域为 N ,则 M 为( ). B. (0, 1)

0] 时, f ( x) 的表达式为( x ? [1, 2] 时, f ( x)=lgx ,则当 x ? [-1,
A.lg (x-2) C.lg (-x) B.lg (x+2) D.lg (1-x)

).

A. [0, 1)

1] C. [0,

1, 0] D. (-

10.函数 y ? f ( x) 与函数 y ? log2 x 的图象关于直线 x ? 0 对称,则( A. f ? x ? =-2 ).
x

).

? 2? x , ??? x ? 0? ? 3.设函数 y ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( 2 ? ? x , ? x ? 0)

B. f ? x ? =2

x

C. f ? x ? ? log2 (?x)

D. f ? x ? =-log2 x

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

1, 1) A. (-
C. (-?,-2)

1,+?) B. (- (0,+?)
1 2

11.函数 y ? f ? lgx ? 的定义域是 [

1 , 100] ,则函数 y ? f ? x ? 的定义域是____. 10
B ? ________.

0) D. (-?,
).

(1,+?)

12.若 A ? {x | x ? 3}, B ? {x | 2x ? 1},则 A 13.函数 y ?

4.已知函数 f (log4 x) ? x ,则 f ( ) 等于( 1 A. 4 1 B. 2 C.1
? x ?1

D.2 ).

1 ? 2x 2] 上的最大值是________,最小值是________. 在区间 [1, 2x

5.函数 f ( x) ? 1+log 2 x 与 g ( x) ? 2

在同一直角坐标系下的大致图象是(

0) 时, f ( x) ? 14.已知函数 f ( x ) 是定义在 (-?,+?) 上的偶函数,当 x ? (-?, x-x4 ,则当 x ? (0,+?) 时, f ( x) ? ________.
15. 对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,有如下四个命题: ① 若 f (0) ? 0 ,则函数 f ( x ) 是奇函数;②若 f (?4) ? f (4) ,则函数 f ( x ) 不是偶函数; ③ 若 f (0) ? f (4) ,则函数 f ( x ) 是 R 上的增函数;④若 f (0) ? f (4) ,则函数 f ( x ) 不是 R 上 的减函数.其中正确的命题有 (写出你认为正确的所有命题的序号).

三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分.

16. (12 分) 设全集 U ? R , A ? x ? R 1 ? x ? 2 , B ? x ? R 2x ? 1 ? x ? 3, 且3x ? 2 . 求 A ? B ,(? U A ) ? B ;

?

?

?

?

19.一片森林面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到剩
余面积为原来面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留 原面积的

1 2 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来面积的 ,求: 4 2

(1)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (2)今后最多还能砍伐多少年?

17.(12 分) 已知集合 A ? {x | x2-6x+8 ? 0 }, B ? {x | ( x ? a) ( x ? 3a) ? 0} .
(1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 A 20.(13 分) 已知函数 f ? x ? =log a

B=? ,求 a 的取值范围;

1 ? mx ( a ? 0 ,且 a ? 1 )是奇函数. x ?1

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f(x)在 (1,+?) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x∈(r,a-2)时,函数 f(x)的值域是(1,+∞),求实数 a 与 r 的值.

18.(12 分)已知函数 f ( x) ? log a ( x+ 1) , g ( x) ? loga (1-x) ( a ? 0 ,且 a ? 1 ),令
F ( x) ? f ( x) ? g ( x) .
(1)求函数 y ? F ( x) 的定义域; (2)判断函数 y ? F ( x) 的奇偶性;

21.(14 分)已知关于 x 的方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ,其中 2a ? 3b ? 6c ? 0. (1)当 a ? 0 时,求方程的根; (2)当 a ? 0 时,求证方程有一根在 0 和 1 之间.

x? y ). (3)证明: F ? x ?+F ? y ?=F ( 1 ? xy

大河中学高 2017 届上期数学期末复习试题参考答案 一. 选择 1.C 2.A 二. 填空 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.C

11.[-1,2]
14. - x ? x 三. 解答题
4

12. (0,3)

1 13. -2

3 ,-4

x+y 1+ 1+xy 1+x+y+xy ? x+y ?=log 而 F? =loga , ? a x+y 1+xy-x-y ?1+xy? 1- 1+xy ? x+y ?. 故 F(x)+F(y)=F? ? ?1+xy? 19.解:(1)设每年砍伐的百分比为 x(0<x<1), 经过 M 年剩余面积为原来面积的 由 a(1-x) =
10

15. ②④

2 2 16(1)解 A∪B={x|1≤x≤2}∪{x| ≤x≤2}={x| ≤x≤2}. 3 3 ?UA={x|x<1,或 x>2}, 2 (?UA)∩B={x| ≤x<1}. 3 2 17. 解 ∵A={x|x -6x+8<0},∴A={x|2<x<4}. (1)当 a>0 时,B={x|a<x<3a},

2 . 2

1 1 a ? 10lg(1-x)= lg . 2 2 2 2 M 又 a(1-x) = . a ? Mlg(1-x)= lg 2 2 10 10 1 ∴ ? log 2 ? 2 ? M= =5. 2 M 2 2
∴到今年为止,该森林已砍伐了 5 年. (2)设从今年开始,以后砍了 N 年,则 N 年后剩余面积为 由题意,有

? ?a≤2 4 应满足? ? ≤a≤2;当 a<0 时,B={x|3a<x<a}, ?3a≥4 3 ?

2 a(1-x)N. 2

1 1 2 2 N a(1-x)N≥ a,即 (1-x) ≥ , 4 4 2 2
1
10

? ?3a≤2 应满足? ?a∈?, ?a≥4 ?

4 ∴当 ≤a≤2 时,A B. 3 (2)要满足 A∩B=?,当 a>0 时,B={x|a<x<3a}, a≥4 或 3a≤2, 2 ∴0<a≤ 或 a≥4; 3 4 当 a<0 时,B={x|3a<x<a},a≤2 或 a≥ , 3 ∴a<0 时成立.验证知当 a=0 时也成立. 2 综上所述,当 a≤ 或 a≥4 时,A∩B=?. 3 ? x + 1>0 ? 18. (1)解 由? ,解得-1<x<1, ?1-x>0 ? 故函数 F(x)的定义域是(-1,1). (2)解 因为函数 F(x)的定义域关于原点对称,且 1-x F(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=loga 1+x 1+x =-loga =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-F(x), 1-x 所以 F(x)是奇函数. 1+x 1+y 1+x+y+xy (3)证明 因为 F(x)+F(y)=loga +loga =loga , 1-x 1-y 1+xy-x-y

1 ? 1 ?10 由(1)知(1-x) = ? 1-x= ? ? , 2 ?2?

2 ? 1 ?10 1 1 ? 1 ?10 ? 1 ?2 ? ? ? ? ,化为 ? ? ? ?? ? , ∴ 2 ?2? 4 2 2 ?2? ?2? N 3 ? ,即 N≤15. ∴ 10 2 故今后最多还能砍伐 15 年. 20. (1)∵f(x)是奇函数,
1+mx 1-mx 1+mx x-1 ∴f(-x)=-f(x),即 loga =-loga ? = ?m2x2=x2. -x-1 x-1 -x-1 1-mx 上式对定义域内的所有 x 都成立, ∴m2=1,m=± 1. 当 m=1 时,f(x)无意义, ∴m=-1. 2 1+x (2)f(x)=loga =loga?1+x-1?.设 1<x1<x2, ? ? x-1 2 2 2(x2-x1) 2 2 则?1+x -1?-?1+x -1?= >0?1+ >1+ , ? ? ? ? ( x - 1 )( x - 1 ) x - 1 x - 1 1 2 1 2 1 2 2 2 ∴当 0<a<1 时,loga?1+x -1?<loga?1+x -1?, ? ? ? ? 1 2 函数 f(x)在(1,+∞)上是递增函数; 2 2 当 a>1 时,loga?1+x -1?>loga?1+x -1?, ? ? ? ? 1 2

N

N

3

函数 f(x)在(1,+∞)上是递减函数. 1+x (3)f(x)=loga 的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞). x-1 当(r,a-2)?(-∞,-1)时,r<a-2≤-1, 又 a≠1,则 0<a<1.因此 f(x)在(r,a-2)上是递增函数,值域不可能是(1, +∞). 当(r,a-2)?(1,+∞)时,1≤r<a-2,得 a>3, 因此 f(x)在(r,a-2)上是递减函数, a-1 f(x)>f(a-2)=loga . a-3 a-1 由题意,得 loga =1?a=2+ 3. a-3 由于 f(x)的值域是(1,+∞),所以 r=1. 21.(1)解 当 a=0 时,3b+6c=0, ∴b=-2c.原方程可化为 bx+c=0,

?1? 由 a>0,得 f? ?<0,由 c>0,得 f(0)=c>0, ?2? ?1? ∴f(0)·f? ?<0, ?2?
∴方程 ax +bx+c=0 有一根在 (0, ) 内.
2

1 2

综上所述,当 a>0 时,方程 ax +bx+c=0 有一根在 0 和 1 之间.

2

c 1 则 x=- ,从而可得 x= . b 2
(2)证明 当 a>0 时, 2 4 2 4 ?2 ? 2 2 Δ =b -4ac=? a+2c? -4ac= a - ac+4c 9 3 ?3 ? 4? 3 ?2 2 = ?a- c? +3c >0, 9? 2 ? 则方程 ax +bx+c=0 有两个根. 令 f(x)=ax +bx+c. 当 c<0 时,f(0)=c<0,f(1)=a+b+c, 2 由 2a+3b+6c=0,得 b=- a-2c, 3 2 1 ∴f(1)=a- a-2c+c= a-c>0, 3 3 ∴f(0)·f(1)<0, ∴f(x)=0 有一根在(0,1)内.
2 2

?1? 1 1 当 c>0 时,f? ?= a+ b+c, ?2? 4 2
2 ∵b=- a-2c, 3

?1? 1 1? 2 ? ∴f? ?= a+ ?- a-2c?+c, ?2? 4 2? 3 ?
1 ?1? 1 1 即 f? ?= a- a-c+c=- a. 2 4 3 12 ? ?


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