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北京市十一学校高二数学5《极坐标与参数方程》单元测试题(一)


北京市十一学校高二数学 5《极坐标与参数方程》单元测试(一) 一、选择题

? x ? 1 ? 2t ) (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t 2 2 3 3 A. B. ? C. D. ? 3 3 2 2 ? x ? sin 2? 2.下列在曲线 ? ) (? 为参数) 上的点是( y ? cos ? ? sin ? ? 1 3 1 A

. ( , ? 2) B. ( ? , ) C. (2, 3) D. (1, 3) 2 4 2 3.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( ) ? ? A. ? cos ? ? 2 B. ? sin ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ? ) D. ? ? 4 sin(? ? ) 3 3 4.在极坐标系中,圆心坐标是 (a , ? ) ( a ? 0 ) ,半径为 a 的圆的极坐标方程是…( ) ? 3? A. ? ? ?2a cos? ( ? ? ? ) . B. ? ? a cos? ( 0 ? ? ? ? ) . 2 2 ? 3? C . ? ? ?2a sin ? ( ? ? ? ) . D. ? ? a sin ? ( 0 ? ? ? ? ) . 2 2 ?
1.若直线的参数方程为 ? 5.在极坐标系中,与点 P (2 , A. (?2 , ?

?
3

3

) 关于极点对 称的点的坐 标是(

)



B. (?2 ,

6.已知极坐标平面内的点 P (2, ? A. (2,

5? ) ,则 P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 ( 3 ), (1, ? 3)
C. (2,

4? ) 3

C. (2 , ?

?
3



D. (2 , ?

2? ) 3

)

?
3

), (1, 3)

B. (2, ?

?
3

2? ), (?1, 3) 3
) D.2 2 )

D. (2, ?

2? ), ( ?1, ? 3) 3

7.圆 ρ =4cosθ 的圆心到直线 tanθ =1 的距离为 ( A. 2 2 B. 2 C.2

8.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆 ) C. (5,

D.一个圆

9.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. (?5,

?
3

)

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3

10. 直线 y ?

? x ? 3 ? 3 cos ? 3 ? , (? ? [0, 2? )) 交于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? 3 ? y ? 1 ? 3 sin ? ?
) B.

的倾斜角之和为( A.

7 π 6

5 π 4

C.

4 π 3

D.

5 π 3

二.填空题:

11.参数方程 ?

? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________. t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?

12.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为__________________. 13.在极坐标系中,圆 ?=4 cos? ? 3 sin ? 的半径长是 .

? 1? t 2 x? ? ? 1 ? t 2 表示的曲线的普通方程为 14. ? ? y ? 2t ? 1? t 2 ?
15. 已知极坐标系中, 极点为 O,0≤θ <2π ,M (3, 16.已知极坐标系中,极点为 O,将点 A(4, 标为______ __.



?
3

), 在直线 OM 上与点 M 的距离为 4 的点的极坐标为________.
π 4

?
6

) 绕极点逆时针旋转 得到点 B,且|OA|=|OB|,则点 B 的直角坐

17.在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是 18.在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ? 19.在极坐标系中,已知点 A( 2, ? ), B ( 2, 于_______________。 20.圆的参数方程为 ?

?

?

. .

?
4

, ? cos? ? 2? sin ? ? 2 围成图形 的面积等于

?
2

) ,C 是曲线 ? ? 2 cos? 上任意一点,则 ?ABC 的面积的最小值等

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________. ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

21.在极坐标系中,点 A 的极坐标为 (2, 0) ,直线 l 的极坐标方程为 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 ,则点 A 到直线 l 的距离为 .来源:

22.已知圆的极坐标方程为 ? ? cos? ? sin ? ,则该圆的面积为 _________ 23. 在极坐标系中, 若直线 l 的方程是 ? sin(? ?

?
6

) ? 1 , P 的坐标为 (2, ? ) , 点 则点 P 到直线 l 的距离 d ?




2 2 24.已知点 P( x, y) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,若 x ? y ? a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为

x2 y 2 ? ? 1 上找一点 P,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值,P 点坐标为 25.在椭圆 16 12
26.参数方程 ?



? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示曲线为 ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )



三.解答题:

27.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C (3,

?
6

) ,半径 r=3,(1)求圆 C 的极坐标方程;

(2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 O Q 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点 P 的轨迹方程.

28. 定 义 变 换 T : ?

?cos ? ? x ? sin ? ? y ? x?, 可 把 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 点 P( x, y) 变 换 到 这 一 平 面 上 的 点 ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y?,

P?( x?, y?).特别地,若曲线 M 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P? 与点 P 重合,则称点 P 是曲线 M
在变换 T 下的不动点 . (1)若椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,且焦距为 2 2 ,长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2. 求该椭圆 C 的标准方程. 并求出当 ? ? arctan

3 时, 其两个焦点 F 、 2 经变换公式 T 变换后得到的点 F1? 和 1 F 4

F2? 的坐标;
(2) 当 ? ? arctan

3 时,求(1)中的椭圆 C 在变换 T 下的所有不动点的坐标;[来源:学+科+网] 4

(3) 试探究: 中心为坐标原点、 对称轴为坐标轴的双曲线在变换 T :? 下的不动点的存在情况和个数.[来源:Z&x

?cos ? ? x ? sin ? ? y ? x?, k? (? ? ,k ? Z ) 2 ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y?,

北京市十一学校高二数学 5《极坐标与参数方程》单元测试(一)参考答案 一.选择题:

1.D ; k ?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2
3 1 时, y ? ;注意易错为 C。 4 2

2.B ;转化为普通方程: y2 ? 1 ? x(?1 ? x ? 1, ? 2 ? y ? 2) ,当 x ? ? 3.A ;因为 ? ? 4sin ? 表示圆心为 (2,

?
2

) 半径为 2 的圆,数形结合易得 ? cos ? ? ?2, ? sin ? ? 4,? ? 0( ? ? R)

都是其切线;也可以将极坐标方程转化为普通方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos ? ? 2 的普通方程为 x ? 2 , 圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切; 4.A; 5.D;点 P( ? ,? ) 关于极点的对称点为 P?(? ? ,? ) 或 P?( ? , ? ? ? ) ;点 P( ? ,? ) 关于极轴的对称点为 P?( ? , ?? ) ; 点 P( ? ,? ) 关于极垂线的对称点为 P?(? ? , ?? ) 或 P?( ? , ? ? ? ) ; 6.D;解析:点 P (2, ? 且 x ? 2 cos(?

5? 5? 2? ) 关于极点的对称点为 (2, ? ? ? ) ,即 (2, ? ) , 3 3 3 2? 2? ) ? ?1, y ? 2sin(? ) ? ? 3 ,所以选 D. 3 3

π 7.B;解析:圆 ρ =4cos θ 的圆心 C(2,0),如图,|OC|=2,在 Rt△COD 中,∠ODC= , 2 π ∠COD= ,∴|CD|= 2.即圆 ρ =4cos θ 的圆心到直线 tan θ =1 的距离为 2。 4 8.C;

? ? k? ?

? cos? ? 4sin ? cos? ? cos? ? 0或? ? 4sin ? ; 或 转 化 为 直 角 坐 标 方 程 ? 2 2
2 , 或 x ? y ? 4y 。

5 3 ) ,再转化为极坐标; 2 ? ? 4? ) 。选 A 如果直接从极坐标入手,则需要将方程化为 ? ? 10 cos(? ? ) ,从而圆心为 (5, ? ) 即 ( ?5, ? 3 3 3 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ,由圆的性质可知 ?1 ? ? 2 10.C;解析:数形结合 ?1 ? ? ? 6 6 ? 4 ?? ? ? 30? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? . 6 3
9.A;如果转化为直角坐标,则圆心为 ( , ? 二.填空题: 11.

5 2

x2 y 2 ? ? 1, ( x ? 2) ;将原参数方程平方差即可。但注 4 16

意变量的取值范围(消参的等价性) 。也可以

y ? t ? x ? et ? e ? t ? x ? 2 ? 2e y y ? ? ?? ? ( x ? )( x ? ) ? 4 ; ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2 ? ? 12. ? ? ? ? ( ? ? R ) ; ? cos? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 0 ? ? ? 0或 cos(? ? ? ) ? 0 ,取 ? ? ? ? ? 2 2 3 13.2.5; ? ? 4 cos ? ? 3sin ? ? 5cos(? ? ? )(tan ? ? ) ; 4

? ? 1? t2 t2 ?1? 2 2 ?x ? 1? t2 ? x ? ? 1 ? t 2 ? ?1 ? 1 ? t 2 y ? ? ?? ? ? t 带入化即可; 14. x2 ? y 2 ? 1( x ? ?1) ; ? x ?1 2t 2t ?y ? ?y ? ? ? 1? t2 1? t2 ? ?
π 15.解析:如图所示,|OM|=3,∠xOM= ,在直线 OM 上取点 P、Q,使|OP|=7,|OQ|=1, 3 π 4π ∠xOP= ,∠xOQ= ,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4, 3 3 |QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4; 答案: (7,

?
3

) 或 (1,

4? ) 3 5? ), 12

16. 答案:( 6- 2, 6+ 2);解析:依题意,点 B 的极坐标为 (4,

∵cos

? ? 5π π π π π 2 3 2 1 6- 2 = cos( ? ) =cos cos -sin sin = · - · = , 12 4 6 4 6 2 2 2 2 4 4 6

sin

? ? 5π π π π π 2 3 2 1 6+ 2 = sin( ? ) =sin cos +cos sin = · + · = , 12 4 6 4 6 2 2 2 2 4 4 6
6- 2 = 6- 2,y=ρ sinθ = 6+ 2. 4

∴x=ρ cosθ =4×

∴点 B 的直角坐标为( 6- 2, 6+ 2). 17.解析: ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 ? ? cos(? ?

?

?

?

) ? 3 知:该直线过 (3, ) 垂直于直线 ? ? ,易得直线与圆 3 3 3

?

?

? ? 2 的距离的最小值为 1;

2 2 也可以化为直角坐标解决:圆 ? ? 2 可化为 x ? y ?4 ,直线

? c o s ? 3 s i n ? 6 化 为 x ? 3 y ? 6 ? 0, 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ? ? ?
3 ? 2 ? 1。
18.

?

?

0?0?6 1? 3

? 3 ? 2 ,最短距离为

2 ; 化为直角坐标方程解决; 3

19. 3 ?

2 ; 化为直角坐标方程解决;
? x ? 3sin ? ? 4cos ? 2 2 得 x ? y ? 25 ; y ? 4sin ? ? 3cos ? ?

20. 5 ;由 ?

21. 2 2 ;化为直角坐标方程或将直线化为 ? cos(? ?

?
4

)?? 2;

22.

? ; 2

? 2 ? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos(? ? ) ? r ? ;
4 2

23.2;直接数形结合或化为直角方程。 24.解:设 P(cos ? ,1 ? sin ? )(? ?[0, 2? )) ,则 x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ?1 ? a ?0 恒成立 ? a ? [?( x ? y)]max ,

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1? a ? 2 ? 1 4
25.解:设椭圆的参数方程为 ?

?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 4 5 ? x ? 4 cos ? ? ,d ? ? cos ? ? 3 sin ? ? 3 ? 5 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

? 4 5 4 5 ? ,此时所求点为 (2, ?3) 2cos(? ? ) ? 3 ,当 cos(? ? ) ? 1 时, d min ? 3 5 5 3
26.解:显然

y 1 y2 1 1 2 2 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 , x ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos ? 2 y x 2 x cos ? ?1 2 x

1 2 tan ? 1 ? ? ? cos 2 ? ,即 x ? ? 2 2 1 ? tan ? 2

y y ?1 y2 y 1 y2 y x ? ? ?1, ? x 2 , x(1 ? 2 ) ? ? 1 ,得 x ? x x y2 y2 y x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2
1 1 2 2

即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ,所以曲线为:以 ( , ) 为圆心,

2 为半径的圆。 2

或?

? x ? y ? 1 ? sin 2? 1 ? tan ? y 2 平方和即可;或 x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) ? cos ? (1 ? tan ? ) ? 将 ? tan ? 带 2 1 ? tan ? x ? x ? y ? cos 2?

入即可。 三.解答题: 27.解:(1)设 M ( ? ,? ) 为圆 C 上任一点,连结 OC 延长交圆 C 于 A,连结 AM,则 ?MOA ?| ? ? 在直角三角形 OAM 中, ? =6 cos(? ?

?
6

|,

?
6

) ,这即为所求圆 C 的极坐标方程.

(2)设点 P 的极坐标为 ( ? ,? ) ,点 Q 的坐标为 ( ? ?, ? ?) , 因为 P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2, 所以

?? 3 3 ? ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? , ? ? ?? 2 5
?
6 )即

由于点 Q 在圆上,所以 ? =6 ? ? ? 6 cos(? ? ? 故点 P 的轨迹方程为 ? ? 10 cos(? ?

? 3 ? =6 cos(? ? ) . 5 6

?
6

).

28.解: (1)设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2 2 2 由椭圆定义知焦距 2c ? 2 2 ? c ? 2 ,即 a ? b ? 2 …①.[来源:Zxxk.Com] 2 2 2 2 又由条件得 a ? b ? 4 …②,故由①、②可解得 a ? 3 , b ? 1 . x2 ? y 2 ? 1. 即椭圆 C 的标准方程为 3 且椭圆 C 两个焦点的坐标分别为 F1 ? 2, 0 和 F1 2, 0 .

?

?

?

?

3 ?4 ? 5 x ? 5 y ? x?, ?, ?cos ? ? x ? sin ? ? y ? x 3 ? 对于变换 T : ? ,当 ? ? arctan 时,可得 ? 4 ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y? ? 3 x ? 4 y ? y?, ?5 5 ? 设 F1? ? x1 , y1 ? 和 F2? ? x2 , y2 ? 分别是由 F1 ? 2, 0 和 F1 2, 0 的坐标由变换公式 T 变换得到.

?

?

?

?

? 4 3 4 2 , ? x1 ? ? (? 2) ? ? 0 ? ? ? 5 5 5 ,即 F ? 的坐标为 ? ? 4 2 , ? 3 2 ? ;[ 于是, ? ? ? 1 ? 5 5 ? ? ? ? y ? 3 ? (? 2) ? 4 ? 0 ? ? 3 2 ? 1 5 5 5 ? ? 4 3 4 2 , ? x2 ? ? 2 ? ? 0 ? ? 5 5 5 即 F ? 的坐标为 ? 4 2 , 3 2 ? . 又? ? ? 2 ? 5 5 ? ? ? ?y ? 3 ? 2 ? 4 ?0 ? 3 2 ? 2 5 5 5 ? 3 (2)设 P( x, y) 是椭圆 C 在变换 T 下的不动点,则当 ? ? arctan 时, 4 3 ?4 x? y ? x ?5 (3 y ) 2 ? 5 ? y2 ? 1 有? ? x ? 3 y ,由点 P( x, y) ? C ,即 P(3 y, y) ? C ,得: 3 ?3 x ? 4 y ? y ?5 5 ? 1 ? ?y ? ? ?3 1? ? 3 1? ?? 2 , 因而椭圆 C 的不动点共有两个,分别为 ? , ? 和 ? ? , ? ? . ?2 2? ? 2 2? ?x ? 3y ? (3) 设 P( x, y) 是双曲线在变换 T 下的不动点,则由[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
?sin ? ? y ? ?1 ? cos ? ? ? x, ?cos ? ? x ? sin ? ? y ? x, ? ?? ? ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y, ?sin ? ? x ? ?1 ? cos ? ? ? y, ?
因为 ? ?

k? y 1 ? cos ? sin ? ? ? ? tan . , k ? Z ,故 ? 2 x sin ? 1 ? cos ? 2

不妨设双曲线方程为 mx2 ? ny 2 ? 1(mn ? 0) ,由 y ? tan

?

mx 2 ? nx 2 tan 2
当 m ? n tan 当 m ? n tan
2

?

? ?
2

? 1 ? (m ? n tan 2 ) x 2 ? 1(?) 2 2

?

2

x 代入该方程可得:

? 0 时, 方程 mx 2 ? nx 2 tan 2

?

2

? 0 时,方程 (m ? n tan 2 ) x 2 ? 1(?) 有两解,从而,双曲线 在变换 T 下一定有 2 个不动点. 2 2

?

2

? 1? (m ? n tan2

?
2

) 2 ? 1( ) x ? 无解;[来源:Zxxk.Com][来源:Z

北京市十一学校高二数学 5《极坐标与参数方程》单元测试(二)

一、选择题

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? ) 2 ? y ? sin ? ? A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)
4.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(
2

D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1) D. y ? 1


2

A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

) D. (2, 2k? ?

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

?
3

), ( k ? Z )

8.与参数方程为 ?
2

?x ? t ? ? y ? 2 1? t ?

(t为参数) 等价的普通方程为(
2



y2 ?1 A. x ? 4 y2 2 ? 1(0 ? y ? 2) C. x ? 4

y2 ? 1(0 ? x ? 1) B. x ? 4 y2 2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) D. x ? 4

3.C ;转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1] 4.C ; ? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? 5.C ; (2, 2k? ? 8.D ; x ? t ,
2

x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1

2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

y2 y2 ? 1 ? t ? 1 ? x2 , x2 ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4

二、填空题: 17.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ? 32.在极坐标系中,点 P? 2,

1 ,则曲线的直角坐标方程为_____________. cos ?

? ?? ? 到圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离是________. ? 3?

37.以极坐标系中的点 (1,1) 为圆心, 1 为半径的圆的方程是 18.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x ? y ? 4 y ? 0 的参数方程为_____________.
2 2

20.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_______________.

21.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________. ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?
? ?

22.在极坐标系中, O 为极点,已知 A ? 3, ?

??

? 2? ? , B ? 5, 6? ? 3

? ? ,则 ?AOB 的面积为 ?



25.在极坐标系中,极点到直线 ? cos (? ?

?
6

) ? 3 的距离为



26.已知平面直角坐标内两点 A?0,2? , B?? 4,0? ,AB 的中点是 M ,以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,则 M 的极坐标为 27.极坐标方程 4 ? sin
2

(角用反三角表示) .

?

2

? 5 所表示曲线的直角坐标方程是

31. 在极坐标系中, 若过点 (3, 且与极轴垂直的直线交曲 线 ? ? 4cos? 于 A、 两点, AB =_____________. 0) B 则

1 ? ? x ? a(t ? t ) ? 表示的曲线的普通方程为 ? ? y ? b(t ? 1) ? t ?
17. x 2 ? y ; ? ? tan ? ?



1 sin ? ? , ? cos 2 ? ? sin ? , ? 2 cos 2 ? ? ? sin ? , 即 x2 ? y 2 cos ? cos ?

4t ? ?x ? 1? t2 4t 4t 2 ? 18.? ; x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ? ;而 y ? tx ,即 y ? , 2 1? t2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ? 4t ? ?x ? 1? t2 ? 得? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
19. 5 ;由 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? 2 2 得 x ? y ? 25 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

20.

1 1 2 ;圆心分别为 ( , 0) 和 (0, ) 2 2 2

21.

? 5? ? 5? ,或 ;直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时,易知倾斜角为 或 6 6 6 6
25. 3 。 26. ? 5 , ? ? tan ?

22.

15 4 ;
2

? ?

1? 2?

27.【 y ? 5 x ?

25 】; 4

31. 2 3 ;

32. 3 ;

37.

? ? 2cos ?? ?1?

三.解答题: (共 42 分)

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 41.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: 1 t ?t ? y ? (e ? e ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

42. 将下列数方程化成普通方程.

2 ? 1 ? 1? t 2 ? x? ?x ? 2 ? ? x ? a(t ? t ) 2 ? x ? 2t 2 ? x ? ?m y ? 1 ? ? 1? t 1 ? t ,④ ? ①? ,② ? ,③ ? ,⑤ ? . ? 2t 1 2t ? y ? m x? 1 ? y ? 2t ?y ? ? y ? b(t ? ) ?y ? ? ? ? t 1? t2 ? ? 1? t 2 ?
6 ○?

? x ? cos 2 ? ? x ? a cos? , 7 (?为参数, a ? b ? 0) ○ ? ? y ? b sin ? . ? y ? sin ?

41.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ;当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2

,

sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2

,而 x 2 ? y 2 ? 1,即

x2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?1

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t ? (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ;当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t ?e ? e ? cos ? ?2e ? cos ? ? sin ? 1 k? ? ? y ? ? (et ? e ? t ) ,即 x ? 0 ;当 ? ? , k ? Z 时,得 ? ,即 ? 2 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
2x 2y 2x 2y x2 y2 ? )( ? ) ,即 ? ?1。 得 2e ? 2e ? ( cos ? sin ? cos ? sin ? cos 2 ? sin 2 ?
t ?t


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