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【数学】2.3.1《变量间的相互关系》课件(新人教B版必修3)


§2.3.1 变量间的相关关系

我们曾经研究过两个变量之间的函数关系: 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系:一个 自变量对应着唯一的一个函数值, 自变量对应着唯一的一个函数值,这两者之间是 一种确定关系。 一种确定关系。 例如正方形边长和面积的关系. 例如正方形边长和面积的关系

生活中的任何两个变量之间是不是只有 确定关系呢? 确定关系呢?
“名师出高徒”、“虎父无犬子”、“瑞雪兆 名师出高徒” 虎父无犬子” 丰年” 丰年”

一、变量间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类: 变量与变量之间的关系常见的有两类: 确定性的函数关系, 一类是确定性的函数关系 一类是确定性的函数关系,像正方形的边 和面积S的关系 长a和面积 的关系,另一类是变量间确实 和面积 的关系,另一类是变量间确实 存在关系, 存在关系,但又不具备函数关系所要求的 确定性,它们的关系是带有随机性 随机性的 确定性,它们的关系是带有随机性的。 例如,人的身高和体重, 例如,人的身高和体重,身高并不能 确定体重,但一般说来“身高者, 确定体重,但一般说来“身高者,体也 重”,我们说身高与体重这两个变量具有 相关关系. 相关关系

确定

函数关系

变量间的关系 (存在关系 存在关系) 存在关系 不确定

相关关系

类似的具有相关关系的变量还有哪些? 类似的具有相关关系的变量还有哪些
商业广告数量与销售收入 粮食的施肥量与产量 小麦的亩产量和光照 海拔的高度与高原的含氧量 数学成绩和物理成绩

怎样判断两个变量有没有相关关系, 怎样判断两个变量有没有相关关系, 我们看下面的例子. 我们看下面的例子 设某地10户家庭的年收入和年饮食支出 设某地 户家庭的年收入和年饮食支出 的统计资料如下表: 单位 万元) 单位: 的统计资料如下表 (单位:万元
年收入x 年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10

饮食支出y 饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3

由表中数据可以看出,y有随x增加而 增加的趋势,并且增加的趋势变缓。 为了更清楚地看出年收入与饮食支出 是否有相关关系,我们以年收入x的取值 为横坐标,把年饮食支出y的相应取值作 为纵坐标,在直角坐标系中描点。

年饮食支出 y
2.5

2.0 1.5

1.0 0.5

0

2

4

6

8

10

散点图。 这样的图形叫做散点图 这样的图形叫做散点图。

年收入x 年收入

从图中可以看出家庭年收入和年饮食 支出之间具有相关关系。 支出之间具有相关关系。 并且当年收入的值由小变大时, 并且当年收入的值由小变大时,年饮 食支出的值也在由小变大。这种相关称 食支出的值也在由小变大。 作正相关;反之如果一个变量的值由小 正相关; 变大时,另一个变量的值由大变小,这 变大时,另一个变量的值由大变小, 种相关称作负相关。 种相关称作负相关。 负相关

47

200
46 45 44 43 42 41 40 39 150 152 154 156 158 160 162 164 166

150 100 50 0 -10 0 10 20 30 40

(一)

( ) (二)

(三) 三

(四) 四

例1.
学科

5个学生的数学和物理成绩如下表: 个学生的数学和物理成绩如下表: 个学生的数学和物理成绩如下表
学生 A B C D E

数学 物理

80 70

75 66

70 68

65 64

60 62

画出散点图, 画出散点图,并判断它们是否有相关 关系. 关系

物理

数学

具有相关关系.(正相关) 具有相关关系 (正相关)

下表给出了某校12名高一学生的身高 例2. 下表给出了某校 名高一学生的身高 (单位:cm)和体重 单位:kg): 单位: 和体重(单位 单位 和体重 单位: :
身 高 X 体 重 Y 153 152 151 154 160 157 158 156 164 162 163 160

41

41

40

41.5

44

42.5

43

42

45.5

45

46

45

画出散点图, 画出散点图,并观察它们是否有相关 关系. 关系

体重

身高

具有相关关系.(正相关) 具有相关关系 (正相关)

例1:五组数据 五组数据
物 理 数 学

例2:十二组数据 十二组数据
体 重

身 高

对比上述两个例子中得到的散点图,我们发现: 对比上述两个例子中得到的散点图 我们发现: 我们发现 当样本数据越多 它所刻画出来的 数据越多时 它所刻画出来的相关关系 当样本数据越多时,它所刻画出来的相关关系 更明显! 更明显

下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当 下表是某小卖部 天卖出热茶的杯数与当 天气温的对比表: 天气温的对比表:
气温 /℃(x) ℃ 杯数(y) 杯数 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64

(1)将上表中的数据制成散点图.并判断 将上表中的数据制成散点图. 它们是否有相关关系. 它们是否有相关关系.

(1)画出散点图: )画出散点图:
Y

杯 数

温度 具有相关关系.(负相关) 具有相关关系 (负相关)

x

(2)观察散点图中的数据分布情况, 观察散点图中的数据分布情况, 你能发现温度与饮料杯数近似成什么 关系吗? 关系吗? 图中的数据大致分布在一条直线 图中的数据大致分布在一条直线 附近,因此温度与杯数近似成线性相 附近,因此温度与杯数近似成线性相 关关系。 关关系。

(3)如果近似成线性相关关系的话,请画 如果近似成线性相关关系的话, 出一条直线来近似地表示这种线性关系 根据不同的标准, 根据不同的标准,可以画出不同的直线 来近似地表示这种线性关系。 来近似地表示这种线性关系。 如可以连接最左侧和最右侧的点, 如可以连接最左侧和最右侧的点,或者 让画出的直线上方的点和下方的点的数目 相同。 相同。

杯 数 温度 杯 数 温度

由图可见, 由图可见,所有数据的点都分布在一 条直线附近, 条直线附近,显然这样的直线还可以画 出许多条,而我们希望找出其中的一条, 出许多条,而我们希望找出其中的一条, 它能最好地反映x与 之间的关系 最好地反映 之间的关系。 它能最好地反映 与Y之间的关系。 换言之,我们要找出一条直线, 换言之,我们要找出一条直线,使这 条直线“最贴近”所有的已知数据点。 条直线“最贴近”所有的已知数据点。 如何找到这条直线呢? 如何找到这条直线呢?

设此直线方程是

? y = bx + a

(1)

这里在y的上方加记号“ , 这里在 的上方加记号“^”,是为了区 的上方加记号 的实际值y. 分Y的实际值 表示当 取xi (i=1,2,…, 的实际值 表示当x取 , , , n)时,Y相应的观察值为 i,而直线上对应 相应的观察值为y 时 相应的观察值为 的纵坐标是y 于xi的纵坐标是^i=bxi+a. 叫做Y对于 回归直线方程, 对于x的 上式(1)叫做 对于 的回归直线方程, b叫做回归系数。 叫做回归系数。 叫做回归系数 要确定回归直线方程,只要确定 与 要确定回归直线方程,只要确定a与b.

回归直线的方程的求法: 回归直线的方程的求法: 设x,Y的一组观察值为 (xi,yi) (i=1,2 , 的一组观察值为 ,

? …,n) 且回归直线的方程为 y = bx + a
当变量x取xi (i=1,2,…,n)时,可以 当变量 取 , , 时 得到: ? 得到: yi = bxi + a (i=1,2,…,n), , , , 它与实际收集到的y 之间的偏离程度是: 它与实际收集到的 i之间的偏离程度是:

? , , yi ? yi = yi ? bx ? a (i=1,2,…,n)
----离差 离差

离差的符号有正有负, 离差的符号有正有负,若将它们相加 有正有负 会造成相互抵消, 会造成相互抵消,所以它们的和不能代表 n个点与相应直线在整体上的接近程度。 个点与相应直线在整体上的接近程度。 个点与相应直线在整体上的接近程度 故采用n个离差的平方和 故采用 个离差的平方和
Q = ( y1 ? bx1 ? a ) + ( y2 ? bx2 ? a ) + L + ( yn ? bxn ? a )
2 2 2

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度 表示 个点与相应直线在整体上的接近程度. 个点与相应直线在整体上的接近程度 记 为连加符号) 为连加符号 Q = ∑ ( yi ? bxi ? a ) (∑为连加符号
2 i =1 n

上式展开后,是一个关于 , 的二次多 上式展开后,是一个关于a,b的二次多 项式,应用配方法 可求使Q取得最小值 配方法, 项式,应用配方法,可求使 取得最小值 的值. 时a、b的值 、 的值 这样,回归直线就是所有直线中Q取最 这样,回归直线就是所有直线中 取最 小值的那一条。由于平方又叫做二乘方, 小值的那一条。由于平方又叫做二乘方, 所以这种使“离差平方和为最小”的方法, 所以这种使“离差平方和为最小”的方法, 叫做“最小二乘法” 叫做“最小二乘法”。

用最小二乘法求回归直线方程中a, 用最小二乘法求回归直线方程中 ,b 有下面的公式: 有下面的公式:
n ? ∑ ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? ?b = i =1 n = ? ( xi ? x ) 2 ∑ ? i =1 ? ? ? a = y ? bx .

∑ x y ? nx y
i =1 n i i

n

xi 2 ? nx 2 ∑
i =1

,

1 n 1 n 其中 x = ∑ xi , y = ∑ yi n i =1 n i =1

为样本的中心点。 ,称 x , y 为样本的中心点。

(

)

同样a, 的上方加 的上方加“ , 同样 ,b的上方加“^”,表示是由观察 值按最小二乘法求得的估计值 估计值。 值按最小二乘法求得的估计值。

思考?
公式一: ∑(xi ? x)(y i ? y) = ∑ xiyi ? nxy 公式一:
n n i=1 i=1

公式二: 公式二:

∑ ( x ? x) = ∑ x
2 i =1 i i =1

n

n

2 i

? nx

2


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