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深圳市龙岗区2013-2014学年第二学期期末高二(文科)数学试题及答案--统考


深圳市龙岗区 2013-2014 学年第二学期期末试题(含答案) 高二(文科)数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损;考生务必用规定的笔将自己的学 校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上。同时,将监考教师发放的条 形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。不按以上要求作答 的答案无效。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.请保持答题卡的整洁,不折叠、不破损。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:
? ? bx ? a, ①线性回归方程 y b?

?x y ?x
i ?1 i ?1 n i 2 i

n

i

? nx y ,
2

a ? y ? bx

? n( x )

②卡方统计量 K 2 ?

n(ad ? bc)2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量; (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

③独立性检验中 K 2 的临界值参考表:
P(K 2 ? k0 )

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005

0.001

k0

0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? ??2,?1,0,1, 2,3? , A ? ??1,0,1,2? , CU B ? ??1,0,3? ,则 A A. {0,1, 2}
B=

1,3} B. {
高二(文科)数学试题

C. ??2,1,2?
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1, 2} D. {

2.函数 f (x)? e x ? x ? 2 的零点所在区间是 A.(?1, 0)
1) B.(0,

C.(1,2)

D.(2,3)
1

3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0, ??)上单调递增的函数是 A. y ? x ? x?1 4. i 为虚数单位,复数 A. 2 + i B. y = x3 + x C. y = 2x + log2 x D. y = x 2

3i ? i 2014 的化简结果为 1? i
B. 1 + 2 i C. ?1 ? 2i D. ? 2 ? i

5.当 0 < a < 1 时,函数 y = loga x 和 y ?(1 ? a)x 的图象只可能是

A 如下表

B

C

D

6.设 f ,g 都是 X 到 Y 的映射,其中 X ? ?0,1,2,3? , Y ? ?0,1,2,3? 其对应法则(从上到下)

x
y ? f ( x)

0 3 0 1

1 0 1 0

2 1 2 3

3 2 3 2

x
y ? g( x)

} ,则 a,b,c 的大小关系为 设 a = g[ f (3)],b = g[g(2)],c = f {g[ f (1)]

A. a > b > c

B. a > c > b

C. b > c > a

D. c > a > b

7.在下列命题中 1 ①函数 y = 的单调递减区间是(?? ,0) (0, ??). x ②用独立性检测( 2 ? 2 列联表法)来考察两个变量是否有关系时,算出的随机变量 x2 的值越大,说明“ x 与 y 有关系”成立的可能性越大. ③命题“ ?x ? R , x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ”. ④一般地, 当变量 y 与 x 之间的相关系数 r > 0.75 时, 我们就认为两个变量之间具有较 强的线性相关关系,若 r ? ?0.9568 ,则变量 y 与 x 之间具有较强的线性关系. 其中正确的命题个数为 A. 0
x y

B. 1

C. 2 B.充分不必要条件

D. 3

8.“ loga = loga (a > 0 且 a ? 1 )”是“ x ? y ”的 A.充要条件 C.必要不充分条件
高二(文科)数学试题

D.既不充分也不必要条件
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? 1 ?log 2 x ? 2,x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )]的值 8 3 ,x ? 0 ? ?
A. 3 B.

1 3

C. - 3

D. -

1 3

10 .若函数 y ? f( x)( x? R ,且 x ?(?1,1] 时, f ( x)= x ,则函数 ) 满足 f ( x + 2 )= f ( x)
y = f ( x)的图象与函数 y = log4 x 的图象的交点个数为

A. 4

B. 5

C. 6

D. 8

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.已知某产品广告费用 x 与销售额 y (单位:万元)的回归直线方程为 y = 1.5x + a ,若 样本点的中心为(2,4) ,据此模型预报广告费用为 2.4 万元时销售额为 12.计算 lg2 + lg5 ? eln3 ? 0 .125 13.观察下列等式 若锐角 q 满足 sin q + cos q = 若锐角 q 满足 sin 3 q + cos3 q =
2 ,则 sin q cos q =
2 ? 3

万元.

=

.

1 2 1 2 1 2
.

2 ,则 sin q cos q = 2 2 若锐角 q 满足 sin 5 q + cos5 q = ,则 sin q cos q = 4

请你仔细观察上述几个等式的规律,写出一个一般性的命题:

(二)选做题(考生只能从 14、15 题中选做一题) 14.(几何证明选做题)过 o 外一点 P 作 o 的切线 PA , 切点为 A ,连 OP 与 o 交于点 C ,过 C 作 AP 的垂线, 垂 足 为 D , 若 PA = 8cm,PC = 4cm , 则 PD 的 长
O

A

D

p C

为 . 15 . ( 极 坐 标 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 是
? x ? cos ? , ( ? 是参数),若以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐 ? ? y ? sin ? ? 1.

标方程可写为

.
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分) ①计算 A (CU B); ②计算 A
C.

已知全集 U = R , A = {x y = log2(2 + x) } , B ?[4,?? , C ? x| y = 1 ? x .

?

?

17.(本小题满分12分) 深圳市某学校为了了解学生使用手机与学习成绩之间的关系,抽查了有手机同学 40 名,其中成绩为优秀的人数24名,抽查没有手机同学20人,其中成绩为优秀的人数15名, (1)根据以上数据完成下面的2× 2列联表(单位:人)
拥有手机 成绩优秀 成绩不优势 合计 没有手机 合计

(2) 根据题 (1) 中表格的数据计算, 你有多大的把握, 认为学生手机与成绩之间有关系?

高二(文科)数学试题

第 4 页 共 11 页(2014.07)

18.(本小题满分 14 分) ax + b 4 已知函数 f (x)= (c > 0)是 R 上的奇函数,且 f (1)= 1, f (2)= . 2 5 1 + cx (1)求函数 f ( x)的解析式; (2)用定义证明 f ( x)在区间(1,??) 上是单调递减函数.

19.(本小题满分 14 分) 命题 P :关于 x 的不等式 x2 + 2ax + 4 > 0 对一切 x ? R 恒成立; 命题 q :复数 Z1 ? 3 ? i , Z 2 ? a ? i , i 为虚数单位,则 z = z1 z2 在复平面内对应点位 于第四象限,若“ p或q ”为真,且“ p且q ”为假,求实数 a 的取值范围.

高二(文科)数学试题

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20.(本小题满分 14 分) 为了了解城市人均 GDP 与人均日产生活垃圾量之间的相关关系, 国家统计局与卫生管 理局随机抽查了 6 个城市,具体数据如下表
城市 人均 GDP (万美元) x 人均日产生活垃圾量(千克) y 天津 重庆 广州 深圳 武汉 西安

1.64 0.64

0.69 0.51

1.93 1.05

2.22 1.15

1.43 0.99

0.92 0.76

(1)计算这 6 个城市人均日产生活垃圾量的平均值(单位:千克); (2)求出 x 与 y 之间的线性回归方程; (提供下列参考数据: ? xi ? 8.82 , ? xi yi ? 8.1 , ? xi 2 ? 14.7 )
i ?1 i ?1 i ?1 6 6 6

(3)如果某城市的人均 GDP 达到了 3 万美元,预测该城市的人均日产生活垃圾量为多少 千克?

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)? x2 ? x ? 2 . f ( x) ? f ( x) ①试求 g( x) ? 的解析式; 2 ②求 g( x) 的值域; ③若函数 y = x2 + 2ax + a2 + a 与曲线 y = g( x)交于二个不同的点, 求实数 a 的取值范 围.

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龙岗区 2013—2014 高二数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。

DBBCC, ADBBC
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 13.若锐角 q 满足 sin
2 n+ 1

11. 4.6 万元

12. 8

q + cos2 n+ 1 q = 2( 2 2
n

2 2 n+ 1 ) (n 2

N ) ,则 sin q cos q =
1 2

1 或 2

若锐角 q 满足 sin

2 n+ 1

q + cos 2 n+ 1 q =

(n

N ) ,则 sin q cos q =

(二)选做题(考生只能从 14、15 题中选做一题) 14.

16 15. r = 2sin q 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 解:① A = {x x > - 2}

2分

B = [4, +

) , CU B = (-

, 4) ,

4分 7分
10分 12分

\ A (CU B) = (- 2, 4)


C = (-

,1]

\ A C = (- 2,1]
17. (本小题满分12分) (1)解:根据题中数据,2×2列联表(单位:人)如图所示 拥有手机 成绩优秀 成绩不优势 合计 24 16 40 没有手机 15 5 20 合计 39 21

高二(文科)数学试题

第 7 页 共 11 页(2014.07)

4分
(2)提出假设 H 0 :学生手机与成绩之间没有关系. 根据列表可以求出 K 2 ?
2 n(ad ? bc)2 60(24 ? 5 ? 16 ?15) ? ? 1.31868 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 40 ? 20 ? 39 ? 21

当 H 0 成立时, P( K 2 ? 0.708) ? 0.40 .所以假设不合理。

(1 ? 0.40) ? 100% = 60%
所以我们有 60% 的把握认为:学生手机与学生成绩之间有关系

12分
18. (本小题满分 14 分) 解:(1)据已知条件 f ( x ) 是 R 上的奇函数, f (0) = 0 , \ b = 0

2分

ì f (1) = 1 ? ì ? ? ? ? a = 1+ c 眄 4坜 镲 f (2) = ? ? 10a = 4 + 16c ? ? 5 ?

c = 1, a = 2 , \ f ( x) =

2x 1+ x2

6分

(2)设 1 < x1 < x2 , f ( x1 ) - f ( x2 ) =

2 x1 2 x2 2 2 1 + x1 1 + x2

8分

=

2 2 x1 (1+ x2 ) - 2 x2 (1+ x12 ) 2( x1 - x2 )(1- x1 x2 ) = 2 2 (1 + x12 )(1 + x2 ) (1+ x12 )(1+ x2 )

10分

1 < x1 < x2 , \ x1 - x2 < 0,1- x1x2 < 0 , ( x1 - x2 )(1- x1x2 ) > 0
2( x1 - x2 )(1- x1 x2 ) > 0 ,当 1 < x1 < x2 时,有 f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0 2 (1 + x12 )(1 + x2 )
所以 f ( x ) 在区间 (1, + 19. (本小题满分 14 分)

12分

\

) 上是单调递减函数

14分

高二(文科)数学试题

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解:命题 P : - 2 < a < 2 命题 q : z = z1 z2 = (3 + i)(a - i) = (3a + 1) + (a - 3)i

2分 4分

ì ? 3a + 1 > 0 \ ? ? í ? ? ? a- 3< 0

1 < a< 3 3

6分

ì - 2< a< 2 ? ? ? (1)若 P 真 q 假,所以有 í 1 ? a? 或a ? ? 3 ?

3

?

2< a?

1 3

9分

ì a ? 2或a 2 ? ? (2)若 P 假 q 真,所以有 ? 蓿2 í 1 ? - < a< 3 ? ? 3 ?

a< 3

12分

若 " p或q " 为真,且 " p且q " 为假,则实数 a 的取值范围为 (- 2, 20. (本小题满分 14 分) (1)解:6 个城市人均日产生活垃圾量的均值为 y = 0.85 千克
6 6 i= 1

1 ] [2,3) 3

14 分

3分

(2)解:根据提供的数据有 x = 1.47 ,

邋xi yi = 8.1,
i= 1

xi2 = 14.7

由公式 b ?

?x y ?x
i ?1 i ?1 n i 2 i

n

i

? nx y ?

? n( x ) 2

8.10 ? 6 ? 1.47 ? 0.85 8.1 ? 7.50 0.6 12 ? ? ? ? 0.343 14.71 ? 6 ? 1.472 14.71 ? 12.96 1.75 35

又 0.85 = 0.343? 1.47

a? a

? ? 0.343x ? 0.35 0.35 , \ 线性回归方程为 y

11 分

? ? 0.343 ? 3 ? 0.35 ? 1.379 千克,则该城市的人均日产垃圾量为 (3)解:如果 x = 3 时, y

1.379 千克

14分

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21. (本小题满分 14 分)



? 0, x ? (1) g ( x) = ? í 2
2

ì

2或x 1

? ? ? - x - x + 2, - 2 < x < 1
1 2 9 9 ) + , \ g ( x) [0, ] 2 4 4

4分

(2) - x - x + 2 = - ( x +

6分

(3)因为 y = T ( x) = x2 + 2ax + a2 + a = ( x + a)2 + a ,函数的对称轴为 x = - a , 最小值为 a ,联立方程

ì ? y = ( x + a)2 + a ? ? 2 x2 í 2 ? ? ? y = - x - x+ 2

(2a + 1) x + a 2 + a - 2 = 0 , D = - 4a 2 - 4a + 17

D> 0?

4a 2 - 4a + 17 > 0 ?

- 1- 3 2 2

a<

- 1+ 3 2 2

7分

T (1) = a 2 + 3a + 1 < 0 ?

- 3- 5 2

a<

- 3+ 5 2

8分

ì D 0 ? ? - 1- 3 2 ? ① 当a? 时, í T (1) > 0 故 y = T ( x) 与函数 g ( x) = 0 在区间 (1, + ? 2 ? ? ? ? Tmin = a < 0
恒有二个不同的点。

)上

② 当

- 1- 3 2 <a 2

ì D> 0 ? ? ? ? - 3- 5 ? T (1) ? 0 时, í ,故 y = T ( x) 与函数 g ( x) = 0 在 ? T = a < 0 2 min ? ? ? ? ?- a> 1

区间 (1, +

) 上恒有二个不同的点。

③ 当

ì ?D> 0 - 3- 5 - 3+ 5 < - a< 时, ? 故 y = T ( x) 与函数 g ( x) = 0 有二个交 í ? 2 2 ? ? T (1) < 0

高二(文科)数学试题

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点,且二个交点位于点 (1, 0) 左右两侧。

④当

- 3+ 5 #a 2

- 1+ 3 2 时, 要使 y = x2 + 2ax + a2 + a 与曲线 y = g ( x) 有两个 2

不同的交点,联立方程

ì ? y = ( x + a)2 + a ? ? 2 x2 í 2 ? ? ? y = - x - x+ 2

(2a + 1) x + a 2 + a - 2 = 0

即方程 2x2 + (2a + 1) x + a2 + a - 2 = 0 在区间 (- 2,1) 内有二个根

ìD> 0 ? ? ? ? 2a + 1 ? 2 < <1 ? 镲 4 ? 眄 镲 2 镲 a - 3a + 4 0 镲 镲 镲 2 镲 镲 ? a + 3a + 1 0

ì ? - 1- 3 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 5 < a< 2 - 3+ a? 2 ? ?

< a< 9 2 5

- 1+ 3 2 2

ì ? - 1- 3 2 - 1+ 3 2 ? < a< ? ? 2 2 ? ? ? 5 9 ? ? - < a< ? 2 ? 2 揶í ? - 3+ 5 ? a? ? ? 2 ? ? ? ? - 3+ 5 - 1+ 3 2 ? #a ? ? 2 2 ? ?
⑤当 a ?

- 3+ 5 ? a 2

- 1+ 3 2 2

ìD 0 ? - 1+ 3 2 2 2 时, ? ,故函数 y = x + 2ax + a + a 与曲线 y = g ( x) í ? T = a > 0 2 ? ? min

只有一个交点或没有交点。

综合①②③④⑤得实数 a 的取值范围为 a <

- 1+ 3 2 2

14分

高二(文科)数学试题

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