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高中三角函数学案


第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲 1.了解任意角的概念;2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的

互化;3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义: 角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形. ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角W. (2)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集 合 S={β|β =α +k· 360°,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|=r(弧长用 l 表示) π ?180? ①1°=180 rad;②1 rad=? π ?° ? ? 弧长 l=|α|r 1 1 S=2lr=2|α |r2

3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y), 那么 定义 y y 叫做 α 的正弦, x 叫做 α 的余弦, 叫做 α 的正切, x 记作 sin α 记作 cos α 记作 tan α + + - - + - - + + - + -

Ⅰ 各象 限符 号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ

三角函 数线 有向线段 MP 为 正弦线 有向线段 OM 为 余弦线 有向线段 AT 为 正切线

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“?”) (1)小于 90°的角是锐角.(?) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.(?) (3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30°.(?) π? ? (4)若 α∈?0, ?,则 tan α >α>sin α .(√) 2? ? (5)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(?) 9π 2.下列与 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 9 A.2kπ +45°(k∈Z) B.k?360°+4π (k∈Z) 5π C.k?360°-315°(k∈Z) D.kπ + 4 (k∈Z) 9π 9π 解析 与 4 的终边相同的角可以写成 2kπ+ 4 (k∈Z), 但是角度制与弧度制 不能混用,所以只有答案 C 正确. 精彩 PPT 展示

答案

C )

3.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)若 tan α>0,则( A.sin 2α >0 C.sin α >0 解析 B.cos α >0 D.cos 2α >0

由 tan α>0 可得 α 的终边在第一象限或第三象限, 此时 sin α与 cos α

同号,故 sin 2α=2sin αcos α>0,故选 A. 答案 A )

4.(2014· 大纲全国卷)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( 4 A.5 3 B.5 4 D.-5 -4 4 2 2=-5. (-4) +3

3 C.-5 解析

由三角函数的定义知 cos α=

故选 D. 答案 D

5. (人教 A 必修 4P10A6 改编)一条弦的长等于半径, 这条弦所对的圆心角大小 为________弧度. 答案 π 3

考点一

象限角与三角函数值的符号判断 )

α 【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角,则2是( A.第一象限角 B.第二象限角

C.第一或第三象限角

D.第二或第四象限角 cos α <0,则角 α 是( tan α )

(2)若 sin α ?tan α <0,且 A.第一象限角 C.第三象限角 解析

B.第二象限角 D.第四象限角

(1)∵α 是第二象限角,

π ∴ 2 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, π α π ∴ 4 +kπ< 2 < 2 +kπ,k∈Z. 深度思考 论为: 象限角的判定有两种方法,请你阅读规律方法,其中角 2 的判断结

α

α 当 k 为偶数时,2是第一象限角; α 当 k 为奇数时,2是第三象限角. (2)由 sin α· tan α<0 可知 sin α,tan α 异号,从而 α 为第二或第三象限的角,由 cos α tan α <0,可知 cos α,tan α 异号.从而 α 为第三或第四象限角.综上,α 为第 三象限角. 答案 (1)C (2)C (1)已知 θ 所在的象限,求 n 或 nθ(n∈N*)所在的象限的方法是:将

规律方法

θ

θ 的范围用不等式(含有 k)表示, 然后两边同除以 n 或乘以 n, 再对 k 进行讨论, 得到 n 或 nθ(n∈N*)所在的象限. (2)象限角的判定有两种方法: 一是根据图象, 其依据是终边相同的角的思想;二是先将此角化为 k· 360 °+ α(0 ° ≤α < 360°,k∈Z)的形式,即找出与此角终边相同的角 α,再由角 α 终边所在的象 限来判断此角是第几象限角. (3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符 号,需确定各三角函数的符号,然后依据“同号得正,异号得负”求解. θ θ θ ? ? 【训练 1】 (1)设 θ 是第三象限角,且?cos ?=-cos 2 ,则 2 是( 2? ? A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 ) )

θ

(2)sin 2?cos 3?tan 4 的值( A.小于 0 C.等于 0 B.大于 0 D.不存在

解析

(1)由 θ 是第三象限角,知 2 为第二或第四象限角,

θ

θ θ θ? θ ? ?=-cos ,∴cos ∵?cos ≤ 0 ,综上知 2 2 2 为第二象限角. 2? ?
(2)∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 答案 考点二 (1)B (2)A

三角函数的定义

2 【例 2】 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ = 4 m,试判断 角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. 解 由题意得,r= 3+m2,∴sin θ = m 2 2= 4 m. 3+m

∵m≠0,∴m=± 5.故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5), x - 3 6 y 5 15 ∴cos θ =r= =- 4 ,tan θ =x= =- 3 . 2 2 - 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5). x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ =r= =- 4 ,tan θ =x= = 3 . 2 2 - 3 6 15 6 15 综上可知,cos θ =- 4 ,tan θ =- 3 或 cos θ =- 4 ,tan θ = 3 . 规律方法 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角

的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x,纵坐标 y,该点到原点的距离 r. 若题目中已知角的终边在一条直线上, 此时注意在终边上任取一点有两种情况 (点所在象限不同). 【训练 2】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,

∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t,

r= x2+y2= (4t)2+(-3t)2=5|t|, y -3t 3 当 t>0 时,r=5t,sin α =r = 5t =-5, x 4t 4 y -3t 3 cos α =r=5t=5,tan α =x= 4t =-4; y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α =r = = , -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α =r= =-5,tan α =x= 4t =-4. -5t 3 4 3 3 4 综上可知,sin α =-5,cos α =5,tan α =-4或 sin α =5,cos α =-5, 3 tan α =-4. 考点三 扇形弧长、面积公式的应用

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 π π 10π α =60°= 3 ,R=10,l= 3 ?10= 3 (cm), π 1 10π 1 S 弓=S 扇-S△=2? 3 ?10-2?102?sin 3 50 50 3 ?π 3? = 3 π - 2 =50? - ?(cm2). 2? ?3 (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= 1 1 ? C ?2 ∴S 扇=2α ?R2=2α ??2+α? ? ? C2 =2α ? 1 C2 2= ? 2 4+4α+α
2

C , 2+α

1

4+α+α

C2 ≤ 4 16.

C2 当且仅当 α =4,即 α=2 时,扇形面积有最大值16. 规律方法 涉及弧长和扇形面积的计算时, 可用的公式有角度表示和弧度表示

两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧

1 1 度表示.弧长和扇形面积公式:l=|α|R,S=2|α|R2=2lR. 【训练 3】 已知扇形的周长为 4 cm,当它的半径为______ cm 和圆心角为 ________弧度时,扇形面积最大,这个最大面积是________ cm2. 解析 设扇形圆心角为 α,半径为 r,则

4 2r+|α|r=4,∴|α|= r -2. 1 ∴S 扇形=2|α|·r2=2r-r2=-(r-1)2+1, ∴当 r=1 时,(S 扇形)max=1, 此时|α|=2. 答案 1 2 1 三角函数线的应用

微型专题

三角函数线是三角函数的几何特征,具有重要的意义,考生在平时的备考中总 认为它是概念性内容,事实并不然,其应用十分广泛,除了用来比较三角函数 值的大小,解三角不等式外,还是数形结合的有效工具,借助它不但可以准确 画出三角函数图象,还可以讨论三角函数的性质. 【例 4】 函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x的定义域为________. 点拨 依据题意列出不等式组,通过画图作出三角函数线,找到边界角,从而

求出各不等式的取值范围,最后求交集即可.

解析

1 sin x > ? 2, ?2sin x-1>0, ? 要使原函数有意义,必须有:? 即? 如图,在单 1 ?1-2cos x≥0, ? ?cos x≤2.

位圆中作出相应三角函数线,由图可知,原函数的定义域为 π 5π? ? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 3 6 ? ? π 5π ? ? ?(k∈Z) 答案 ?2kπ + ,2kπ + 3 6 ? ? 点评 利用单位圆求解函数定义域问题时,应熟练掌握 0 到 2π范围内的特殊

角的三角函数值, 注意边界角的取舍, 一定要与相应三角函数的周期结合起来, 这也是本题的难点所在.

[思想方法] 1.任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角α 终边上点 P 的位 置无关.若角 α 已经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三 角函数值都是确定的.如有可能则取终边与单位圆的交点.其中|OP|=r 一定 是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正, 二正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. [易错防范] 1. 注意易混概念的区别: 象限角、 锐角、 小于 90°的角是概念不同的三类角. 第 一类是象限角,第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用 的度量制度必须一致,不可混用. 3. 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 解析 B.第二象限角 D.第四象限角 ( )

∵sin α<0, 则 α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴;又 tan α

>0,∴α在第一象限或第三象限,故α在第三象限. 答案 C

2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角 α∈(0,π )的弧 度数为 π A. 3 解析 π B. 2 C. 3 D.2 ( )

设圆半径为 r,则其内接正三角形的边长为 3r,所以 3r=α· r,

∴α= 3. 答案 C ( )

3.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α +cos α <0 C.cos α -tan α <0 解析 B.tan α -sin α <0 D.tan α sin α <0

α 是第三象限角,sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除 A,C,

D,故选 B. 答案 B

4.(2014· 南阳一模)已知锐角 α 的终边上一点 P(sin 40°,1+cos 40°),则锐角 α = A.80° 解析 B.70° C.20° D.10° ( )

1+cos 40° 2cos220° 根 据 三 角 函 数 定 义 知 , tan α = = = sin 40° 2sin 20°cos 20°

cos 20° sin 70° = =tan 70°,故锐角 α=70°. sin 20° cos 70° 答案 B

5.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sin α =sin β ,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ <0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 ( )

A.1 C.3 解析

B.2 D.4 由于第一象限角 370°不小于第二象限角 100°,故①错;当三角形的

内角为 90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确; π 5π π 5π 由于 sin 6 =sin 6 ,但 6 与 6 的终边不相同,故④错;当 cos θ=-1,θ =π时既不是第二象限角, 又不是第三象限角, 故⑤错. 综上可知只有③正确. 答案 A

二、填空题 6.已知 α 是第二象限的角,则 180°-α 是第________象限的角. 解析 由 α 是第二象限的角可得 90°+k· 360°<α<180°+k· 360°(k∈Z),

则 180 °- (180 °+ k· 360 ° ) < 180 °- α < 180 °- (90 °+ k· 360 ° ) ,即- k· 360°<180°-α<90°-k· 360°(k∈Z),所以 180°-α 是第一象限的角. 答案 一

7.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边 2 5 上一点,且 sin θ =- 5 ,则 y=______. 解析 因为 sin θ= y 2 5 2=- 5 , 4 +y
2

所以 y<0,且 y2=64,所以 y=-8. 答案 -8

8.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 解析 1 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2.

由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴 影所示). π π? ? ∴x∈?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z). 3 3? ? π π? ? 答案 ?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3? ? 三、解答题 9.已知角 α 的终边上有一点的坐标是 P(3a,4a),其中 a≠0,求 sin α ,cos α ,

tan α . 解 r= (3a)2+(4a)2=5|a|.

当 a>0 时,r=5a, y 4a 4 x 3a 3 ∴sin α =r =5a=5,cos α =r =5a=5, y 4a 4 tan α =x=3a=3; 当 a<0 时,r=-5a, 4 3 4 ∴sin α =-5,cos α =-5,tan α =3. 4 3 4 4 3 综上可知,sin α =5,cos θ =5,tan α =3或 sin α =-5,cos α=-5, 4 tan α =3. 10.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦 长 AB. 解 (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则

2r+rθ=10, r=4, ? ? ? ? ?r=1, ?1 解得? (舍去). 1 或? 2 θ =8 θ ? r = 4 , θ = ? ? ? 2 ?2 ? 1 ∴扇形的圆心角为2. (2)设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, ?r=1, 则?2 解得? ?l=2. ? ?l+2r=4, l ∴圆心角 α= =2. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm), ∴AB=2sin 1 (cm).

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α ≤0,sin α >0,则实数 a 的取值范围是 A.(-2,3] C.[-2,3) 解析 B.(-2,3) D.[-2,3] ( )

由 cos α≤0,sin α>0 可知,角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半

?3a-9≤0, 轴上,所以有? 解得-2<a≤3. ?a+2>0, 答案 A

π 12. 已知圆 O: x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 M, 点 M 沿圆 O 顺时针运动 2 弧 长到达点 N,以 ON 为终边的角记为 α,则 tan α = A.-1 C.-2 解析 B.1 D.2 ( )

π π 圆的半径为 2, 2 的弧长对应的圆心角为 4 ,故以 ON 为终边的角为
?,故 tan α=1. ,k∈Z ? ? ? ?

? ? ? π ?α?α=2kπ+ 4 ? ? ?

答案

B

13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此 时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于 → 的坐标为________. (2,1)时,OP

解析

如图,作 CQ∥x 轴,PQ⊥CQ,Q 为垂足.

︵ 根据题意得劣弧DP=2, 故∠DCP=2, 则在△PCQ π π? ? 中,∠PCQ=2- 2 ,|CQ|=cos?2- ?=sin 2, 2? ?

π? ? |PQ|=sin?2- ?=-cos 2, 2? ? 所以 P 点的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2,P 点的纵坐标为 1+|PQ|=1-cos 2, → =(2-sin 2,1-cos 2). 所以 P 点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2),故OP 答案 (2-sin 2,1-cos 2)

14.已知 sin α <0,tan α >0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 2 终边所在的象限; α α α (3)试判断 tan 2 sin 2 cos 2 的符号. 解 (1)由 sin α <0,知 α 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 由 tan α >0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为
? ? 3π ? ?. ?(2k+1)π <α<2kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? 3π (2)由(2k+1)π <α<2kπ + 2 , π α 3π 得 kπ + < <kπ + ,k∈Z, 2 2 4 α 故 2 终边在第二、四象限. α α α α (3)当 2 在第二象限时,tan 2 <0,sin 2 >0,cos 2 <0, α α α 所以 tan 2 sin 2 cos 2 取正号; α α α α 当 2 在第四象限时,tan 2 <0,sin 2 <0,cos 2 >0, α α α 所以 tan 2 sin 2 cos 2 也取正号. ? ? ?α ? ?

α α α 因此,tan 2 sin 2 cos 2 取正号.

第 2 讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式
sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, = cos α

最新考纲

π tan α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ±α,π±α,-α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.

知 识 梳 理

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α +cos2α =1. (2)商数关系: sin α =tan__α . cos α

2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ +α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π +α -sin__α -cos__α tan__α 三 -α -sin__α cos__α -tan__α 四 π -α sin__α -cos__α -tan__α 函数名改 口诀 函数名不变,符号看象限 变,符号 看象限 五 π 2 -α cos__α sin__α 六 π 2 +α Cos__α -sin__α

考点一

同角三角函数基本关系式及应用 2sin α -3cos α =_______________. 4sin α -9cos α

【例 1】 (1)已知 tan α =2,则

(2)已知 tan θ =2,则 sin2θ +sin θ cos θ -2cos2 θ =( 4 A.-3 5 B.4 3 C.-4 4 D.5

)

【训练 1】 若 3sin α +cos α =0,则 10 A. 3 5 B.3 2 C.3 D.-2

1 的值为( cos α +2sin α cos α
2

)

π π 1 【例 2】 (1)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ ? cos θ =8, 且 4 <θ< 2 , 则 cos θ -sin θ 的值为________. π 1 1 (2)已知- 2 <α<0,sin α +cos α =5,则 2 的值为( cos α -sin2α 7 A.5 7 B.25 25 C. 7 24 D.25 ) )

【训练 2】 已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =( A.-1 考点二 2 B.- 2 2 C. 2 D.1

利用诱导公式化简三角函数式

【例 3】 (1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)· sin(-1 050°) =________. (2)设 f(α)= 2sin(π +α)cos(π -α)-cos(π +α) (1+2sin α ≠0),则 ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α +cos? +α?-sin ? 2 +α? ? 2 ? ? ?

? 23π ? ?=________. f ?- 6 ? ? 【训练 3】 (1)sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)+ tan(-1 089°)tan(-540°)=________. 3π ? tan(π -α)cos(2π -α)sin?-α+ 2 ? (2)化简: cos(-α-π )sin(-π -α) 考点三 利用诱导公式求值 ? ? ? =________.

?π ? 1 ?π ? 【例 4】 (1)已知 sin? -α?=2,则 cos? +α?=______. 3 6 ? ? ? ? 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan? -α?= 3 ,则 tan?6π +α?=________. 6 ? ? ? ?

11π ? ?7π ? 2 ? 【训练 4】 (1)已知 sin? +α?=3,则 cos?α- 12 ?=________. 12 ? ? ? ? 1 (2)若 tan(π +α)=-2,则 tan(3π -α)=________.

[思想方法] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主 要作用是进行三角函数的求值、 化简和证明, 如已知一个角的某一三角函数值, 求这个角的其它三角函数值时,要特别注意平方关系的使用. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦 asin x+bcos x sin x 切互化法:主要利用公式 tan x=cos x进行切化弦或弦化切,如 , csin x+dcos x asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切. (2)和积转换法: 如利用(sin θ ±cos θ )2=1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1 1 ? π ? =sin2θ +cos2θ =cos2θ (1+tan2θ )=sin2θ ?1+tan2θ ?=tan 4 =?. ? ? [易错防范] 1.诱导公式的应用及注意事项 (1)应用诱导公式, 重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断. 求任意角的 三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体 步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值. (2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号, 特别是在具体题目 中出现类似 kπ ±α 的形式时,需要对 k 的取值进行分类讨论,从而确定出三 角函数值的正负. 2.化简三角函数应注意的几点 (1) 化简不同名的三角函数的式子,解答此类问题的一般规律是利用“化弦 法”,即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦,以达到消元的目的. (2)化简形如 A(A 可化为形如 a2 的三角函数式),这种问题是利用 A= a2= |a|(a 是实数)化去根号. (3)化简含有较高次数的三角函数式,此类问题多用因式分解、约分等.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1. 1-2sin(π +2)cos(π -2)= A.sin 2-cos 2 C.±(sin 2-cos 2) B.sin 2+cos 2 D.cos 2-sin 2 ( ) ( )

5 2.已知 sin α = 5 ,则 sin4α -cos4α 的值为 1 3 A.-5 B.-5 1 3 C.5 D.5

π 3.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- 3 ,则 sin α 等于 ( 3 1 1 B. 2 C.-2 D.2 π? ?π ? 3 ? 4.(2014· 肇庆模拟)已知 sin? +α?=5,α ∈?0, ?,则 sin(π +α)= ( 2? ?2 ? ? 3 3 A.5 B.-5 4 4 C.5 D.-5 π? 1 ? ?π ? 5.已知 sin?α - ?=3,则 cos? +α?= ( 4 4 ? ? ? ? 2 2 2 2 1 1 A. 3 B.- 3 C.3 D.-3 二、填空题 3 A.- 2

)

)

)

1 ?3 ? 6.如果 sin(π +A)=2,那么 cos?2π -A?的值是________. ? ? 4 5 ? 4 ? 7.sin 3π ?cos 6π ?tan?-3π ?的值是________. ? ? ?π ? ?5π ? ?2π ? ?+sin? ?的值是________. 8.已知 cos? -θ?=a(|a|≤1),则 cos? + θ - θ ?6 ? ? 6 ? ? 3 ?

三、解答题 4 π 9.已知 sin θ =5, 2 <θ<π . (1)求 tan θ 的值; sin2θ +2sin θ cos θ (2)求 的值. 3sin2θ +cos2θ

1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
?π ? 1 ?2π ? 11.若 sin? -α?=3,则 cos? ( ) +2α?等于 ?6 ? ? 3 ? 7 1 1 7 A.-9 B.-3 C.3 D.9 π? 1 ?π ? ? 12.(2014· 武汉模拟)已知 α∈? ,π ?,sin α +cos α =-5,则 tan?α + ?等 4? ?2 ? ? 于 A.7 B.-7 1 C.7 1 D.-7 ( )

13.sin21°+sin22°+?+sin290°=________. 解析 sin21 °+ sin22 °+ ? + sin290 °= sin21 °+ sin22 °+ ? + sin244 °+

sin245°+cos244°+cos243°+?+cos21°+sin290°=(sin21°+cos21°)+ 1 (sin22°+cos22°)+?+(sin244°+cos244°)+sin245°+sin290°=44+2+1 91 =2. 答案 91 2

第 2 讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式
sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, = cos α

最新考纲

π tan α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ±α,π±α,-α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.

知 识 梳 理

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α +cos2α =1.

(2)商数关系:

sin α =tan__α . cos α

2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ +α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π +α -sin__α -cos__α tan__α 三 -α -sin__α cos__α -tan__α 四 π -α sin__α -cos__α -tan__α 函数名改 口诀 函数名不变,符号看象限 变,符号 看象限 五 π 2 -α cos__α sin__α 六 π 2 +α Cos__α -sin__α

考点一

同角三角函数基本关系式及应用 2sin α -3cos α =_______________. 4sin α -9cos α )

【例 1】 (1)已知 tan α =2,则

(2)已知 tan θ =2,则 sin2θ +sin θ cos θ -2cos2 θ =( 4 A.-3 5 B.4 3 C.-4 4 D.5

【训练 1】 若 3sin α +cos α =0,则 10 A. 3 5 B.3 2 C.3 D.-2

1 的值为( cos α +2sin α cos α
2

)

π π 1 【例 2】 (1)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ ? cos θ = , 且 <θ< , 8 4 2 则 cos θ -sin θ 的值为________. π 1 1 (2)已知- 2 <α<0,sin α +cos α =5,则 2 的值为( cos α -sin2α 7 A.5 7 B.25 25 C. 7 24 D.25 ) )

【训练 2】 已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =(

A.-1 考点二

2 B.- 2

2 C. 2

D.1

利用诱导公式化简三角函数式

【例 3】 (1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)· sin(-1 050°) =________. (2)设 f(α)= 2sin(π +α)cos(π -α)-cos(π +α) (1+2sin α ≠0),则 ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α +cos? +α?-sin ? 2 +α? ? 2 ? ? ?

? 23π ? ?=________. f ?- 6 ? ? 解析 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050° =-sin(3?360°+120°)cos(3?360°+210°)-cos(2?360°+300°) sin(2?360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180 °- 60 ° )cos(180°+ 30° )- cos(360°- 60 °)· sin(360°-30 ° ) 3 3 1 1 =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°= 2 ? 2 +2?2=1. (2)∵f(α)= (-2sin α)(-cos α)+cos α 1+sin2α+sin α-cos2α



2sin αcos α+cos α cos α(1+2sin α) 1 = = , 2 2sin α+sin α sin α(1+2sin α) tan α 1 1 = π? ? 23π? ? ? tan?-4π+ ? tan?- 6 6? ? ? ?

? 23π? ?= ∴f?- 6 ? ? = 1 π tan 6

= 3.

答案

(1)1 (2) 3 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求:(1)基本思路:

规律方法

①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得最 简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次 数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 【训练 3】 (1)sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)+

tan(-1 089°)tan(-540°)=________. 3π ? tan(π -α)cos(2π -α)sin?-α+ 2 ? (2)化简: cos(-α-π )sin(-π -α) 解析 ? ? ? =________.

(1)原式=(-sin 1 071°)· sin 99°+sin 171°·

sin 261°+tan 1 089°·tan 540° =-sin(3?360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)· sin(270°-9°)+tan(3?360°+9°)· tan(360°+180°) =sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°+tan 9°·tan 180° =0+0=0. (2)原式= -tan α·cos α·(-cos α) cos(π+α)·(-sin(π+α))

sin α ·cos α cos α tan α·cos α·cos α = = =-1. -cos α·sin α -sin α 答案 (1)0 (2)-1 利用诱导公式求值

考点三

?π ? 1 ?π ? 【例 4】 (1)已知 sin? -α?=2,则 cos? +α?=______. ?3 ? ?6 ? 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan? -α?= 3 ,则 tan?6π +α?=________. ? ? ?6 ? ?π ? ?π ? π (1)∵? -α?+? +α?= 2 , 3 6 ? ? ? ? π π π ? ? ? ?π ? 1 ? ?? ∴cos? +α?=cos? -? -α??=sin? -α?=2. ?6 ? ?3 ? ?? ?2 ?3 ?π ? ? 5π ? ?5 ? ?=π,∴tan?6π+α?= (2)∵? -α?+? + α ? ? ?6 ? ? 6 ? 解析 3 ?π ? ? ?5 ?? -tan?π-?6π+α??=-tan? -α?=- 3 . ? ? ?? ?6 ? 答案 1 (1)2 3 (2)- 3 π π 巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有 3 -α 与 6

规律方法

π π π π π 2π +α; 3 +α 与 6 -α; 4 +α 与 4 -α 等,常见的互补关系有 3 +θ 与 3 -θ;

π 3π 4 +θ 与 4 -θ 等. 11π ? ?7π ? 2 ? ?= ,则 cos?α- ?=________. 【训练 4】 (1)已知 sin? + α 12 ? ? 12 ? 3 ? 1 (2)若 tan(π +α)=-2,则 tan(3π -α)=________. 11π? ? ?11π ? ? ?π ?? ?=cos? ?=cos?π-? +α?? 解析 (1)cos?α- - α 12 ? ? ? 12 ? ? ?12 ?? ?π ? =-cos? +α?, ?12 ? ?π ?π ?7π ? ?π ? 2 ?? 而 sin? +α?=sin? 2 +? +α??=cos?12+α?=3, 12 12 ? ? ? ? ? ?? ? 11 π 2 ? ? ?=- . 所以 cos?α- 3 12 ? ? 1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=-2, 1 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=2. 2 1 答案 (1)-3 (2)2

[思想方法] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主 要作用是进行三角函数的求值、 化简和证明, 如已知一个角的某一三角函数值, 求这个角的其它三角函数值时,要特别注意平方关系的使用. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦 asin x+bcos x sin x 切互化法:主要利用公式 tan x=cos x进行切化弦或弦化切,如 , csin x+dcos x asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切. (2)和积转换法: 如利用(sin θ ±cos θ )2=1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1 1 ? π ? =sin2θ +cos2θ =cos2θ (1+tan2θ )=sin2θ ?1+tan2θ ?=tan 4 =?. ? ? [易错防范] 1.诱导公式的应用及注意事项 (1)应用诱导公式, 重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断. 求任意角的

三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体 步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值. (2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号, 特别是在具体题目 中出现类似 kπ ±α 的形式时,需要对 k 的取值进行分类讨论,从而确定出三 角函数值的正负. 2.化简三角函数应注意的几点 (1) 化简不同名的三角函数的式子,解答此类问题的一般规律是利用“化弦 法”,即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦,以达到消元的目的. (2)化简形如 A(A 可化为形如 a2 的三角函数式),这种问题是利用 A= a2= |a|(a 是实数)化去根号. (3)化简含有较高次数的三角函数式,此类问题多用因式分解、约分等.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1. 1-2sin(π +2)cos(π -2)= A.sin 2-cos 2 C.±(sin 2-cos 2) 解析 B.sin 2+cos 2 D.cos 2-sin 2 ( )

1-2sin(π+2)cos(π-2)= 1-2sin 2cos 2

= (sin 2-cos 2)2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 A ( )

5 2.已知 sin α = 5 ,则 sin4α -cos4α 的值为 1 3 A.-5 B.-5

1 C.5 解析 答案

3 D.5 2 3 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=5-1=-5. B )

π 3.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- 3 ,则 sin α 等于 ( 3 A.- 2 解析 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2

π 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ 2 (k∈Z).

π 5π 1 又 β=- 3 ,所以 α=2kπ+ 6 (k∈Z),即得 sin α=2. 答案 D π? ?π ? 3 ? 4.(2014· 肇庆模拟)已知 sin? +α?=5,α ∈?0, ?,则 sin(π +α)= ( ) 2? ?2 ? ? 3 3 A.5 B.-5 4 4 C.5 D.-5 π? 3 4 ?π ? 3 ? 解析 由已知 sin? +α?=5,得 cos α=5,∵α∈?0, ?,∴sin α=5, 2? ?2 ? ? 4 ∴sin(π+α)=-sin α=-5. 答案 D ( 1 D.-3 ) π? 1 ? ?π ? 5.已知 sin?α - ?=3,则 cos? +α?= 4? ? ?4 ? 2 2 2 2 1 A. 3 B.- 3 C.3 ?π ?π ?π ? ?? 解析 ∵cos? +α?=sin? -? +α?? 2 4 4 ? ? ? ?? ? π π 1 ? ? ? ? =sin? -α?=-sin?α- ?=-3. 4? ?4 ? ? 答案 D 二、填空题 1 ?3 ? 6.如果 sin(π +A)=2,那么 cos?2π -A?的值是________. ? ? 1 1 解析 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2. 1 ?3 ? ∴cos?2π-A?=-sin A=2. ? ?

答案

1 2

4 5 ? 4 ? 7.sin 3π ?cos 6π ?tan?-3π ?的值是________. ? ? π? π? π? ? ? ? 解析 原式=sin?π+ ?·cos?π- ?·tan?-π- ? 3? 6? 3? ? ? ? π? ? π? ? π? ? =?-sin ?·?-cos ?·?-tan ? 3? ? 6? ? 3? ? 3 3 ? 3? ? 3? =?- ???- ??(- 3)=- 4 . ? 2? ? 2? 3 3 4 ?π ? ?5π ? ?2π ? ?+sin? 8.已知 cos? -θ?=a(|a|≤1),则 cos? + θ -θ?的值是________. ?6 ? ? 6 ? ? 3 ? ?5π ? ? ?π ?? ?=cos?π-? -θ?? 解析 由题意知,cos? + θ ? 6 ? ? ?6 ?? ?π ? =-cos? -θ?=-a. ?6 ? ?π ?π ?? ?2π ? ?π ? sin? -θ?=sin? 2 +? -θ??=cos? 6 -θ?=a, 3 6 ? ? ? ? ? ?? ? ?5π ? ?2π ? ∴cos? +θ?+sin? 3 -θ?=0. ? 6 ? ? ? 答案 - 答案 0 三、解答题 4 π 9.已知 sin θ =5, 2 <θ<π . (1)求 tan θ 的值; sin2θ +2sin θ cos θ (2)求 的值. 3sin2θ +cos2θ 解 9 (1)∵sin2θ +cos2θ =1,∴cos2θ =25.

π sin θ 3 4 又 2 <θ<π ,∴cos θ =-5.∴tan θ = =-3. cos θ sin2θ +2sin θ cos θ tan2θ +2tan θ 8 (2)由(1)知, = =-57. 2 2 2 3sin θ +cos θ 3tan θ +1 1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值;

(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 解 1 (1)∵sin A+cos A=5, ①

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25, 12 (2)由 sin Acos A=-25<0,且 0<A<π , 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25, 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A=5, 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, 4 5 sin A 4 ∴tan A=cos A= 3=-3. -5 ②

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
?π ? 1 ?2π ? ?等于 11.若 sin? -α?=3,则 cos? + 2 α ?6 ? ? 3 ? 7 1 1 A.-9 B.-3 C.3 ?π ? ?π ? π 解析 ∵? +α?+? -α?= 2 . ?3 ? ?6 ? ?π ?π ?π ? ?? ∴sin? -α?=sin? -? +α?? ?6 ? ?? ?2 ?3 ?π ? 1 =cos? +α?=3. ?3 ? 7 ?2π ? ?π ? ?=2cos2? +α?-1=- . 则 cos? + 2 α 9 ? 3 ? ?3 ? 答案 A ( 7 D.9 )

π? 1 ?π ? ? 12.(2014· 武汉模拟)已知 α∈? ,π ?,sin α +cos α =-5,则 tan?α + ?等 4? ?2 ? ?

于 A.7 解析 B.-7 1 C.7 1 D.-7

(

)

1 1 由 sin α+cos α=-5两边平方得 1+2sin αcos α=25,

π 24 ∴2sin αcos α=-25,又∵ 2 <α<π,此时 sin α>0,cos α<0,sin α -cos α= (sin α-cos α)2= 1-2sin αcos α = 24 7 1+25=5,

? ?sin 联立得? ? ?sin

α+cos α=-5, α-cos α=5,
7

1

sin α 3 4 3 解得 sin α=5,cos α=-5,∴tan α= =-4, cos α π? 1+tan α ? ∴tan?α+ ?= = 4 ? 1-tan α ? 答案 C 3 1-4 1 3=7,故选 C. 1+4

13.sin21°+sin22°+?+sin290°=________. 解析 sin21 °+ sin22 °+ ? + sin290 °= sin21 °+ sin22 °+ ? + sin244 °+

sin245°+cos244°+cos243°+?+cos21°+sin290°=(sin21°+cos21°)+ 1 (sin22°+cos22°)+?+(sin244°+cos244°)+sin245°+sin290°=44+2+1 91 =2. 答案 91 2

? π π? ?π ? 14.是否存在 α∈?- , ?,β ∈(0,π ),使等式 sin(3π -α)= 2cos? -β?, 2? ? 2 ?2 ? 3cos(-α)=- 2cos(π +β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在, 请说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ① ②

?sin α = 2sin β , 则由已知条件可得? ? 3cos α = 2cos β , 由①2+②2,得 sin2α +3cos2α =2.

1 2 ∴sin2α =2,∴sin α =± 2 . π ? π π? ∵α ∈?- , ?,∴α =±4 . 2? ? 2 π 3 当 α= 4 时,由②式知 cos β = 2 , π 又 β∈(0,π ),∴β = 6 ,此时①式成立; π 3 当 α=- 4 时,由②式知 cos β = 2 , π 又 β∈(0,π ),∴β = 6 ,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α= 4 ,β = 6 满足条件.

第 3 讲 两角和与差的正弦、余弦、正切
最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的

余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角 和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们 的内在联系; 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin__α cos__β ±cos__α sin__β . cos(α?β )=cos__α cos__β ±sin__α sin__β . tan(α± β)= tan α ±tan β . 1?tan α tan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin__α cos__α . cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α . 2tan α tan 2α = . 1-tan2α 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α± β)(1?tan__α tan__β ). (2)cos2α = 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = . 2 2

(3)1+sin 2α =(sin α +cos α )2, 1-sin 2α =(sin α -cos α )2, π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? 4.函数 f(α)=asin α +bcos α (a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+ b? a? ? ? φ)?其中tan φ =a?或 f(α)= a2+b2?cos(α-φ)?其中tan φ =b?. ? ? ? ?

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“?”) 精彩 PPT 展示

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.(√) (2)存在实数 α,β ,使等式 sin(α+β)=sin α +sin β 成立(√) (3)公式 tan(α+β)= tan α +tan β 可以变形为 tan α +tan β =tan(α+β)(1 1-tan α tan β

-tan α tan β ),且对任意角 α,β 都成立.(?) (4)存在实数 α,使 tan 2α =2tan α .(√) 3 2.(2015· 长沙模拟)已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = 3 ,则 cos 2α = ( ) 5 D. 3 1 2 由(sin α+cos α)2=3得 2sin αcos α=-3, 5 B.- 9 5 C. 9 5 A.- 3 解析

∵α在第二象限, 15 ∴cos α-sin α=- (sin α+cos α)2-4sin αcos α=- 3 , 3 ? 15? ? 故 cos 2α=cos2α-sin2 α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)= 3 ??- 3 ? ? 5 =- 3 ,选 A. 答案 A

3.(人教 A 必修 4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°+sin 77°?cos 58°= ________. 解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°

=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)· (-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77° 2 =sin(58°+77°)=sin 135°= 2 . 2 答案 2 ?π 4.设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?2

? ?,则 tan 2α 的值是________. ?

?π ? ∵sin 2α=-sin α,∴sin α(2cos α+1)=0,又 α∈? ,π?, 2 ? ? 1 3 ∴sin α≠0,2cos α+1=0,即 cos α=-2,sin α= 2 ,tan α=- 3, 解析 2tan α -2 3 ∴tan 2α= = = 3. 2 1-tan α 1-(- 3)2 答案 3

π? 4 π? ? ? 5.(2015· 青岛质量检测)设 α 为锐角,若 cos?α + ?=5,则 sin?2α + ?的值 6 12? ? ? ? 为________. π? 4 ? ∵α 为锐角且 cos?α+ ?=5, 6? ? π ?π 2π? π? 3 ? ∴α+ 6 ∈? , ?,∴sin?α+ ?=5. 3 ? 6? ?6 ? π? π? π? ? ? ? ∴sin?2α+ ?=sin?2?α+ ?- ? 12? 6? 4? ? ? ? π π π? π? ? ? =sin 2?α+ ?cos 4 -cos 2?α+ ?sin 4 6? 6? ? ? 解析 π? ? π? π? ? 2? ? ? = 2sin?α+ ?cos?α+ ?- 2 ?2cos2?α+ ?-1? 6 6 6? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2? 4?2 ? 12 2 7 2 17 2 = 2?5?5- 2 ?2?? ?5? -1?= 25 - 50 = 50 . ? ? ? ? 答案 17 2 50

考点一

三角函数式的化简与给角求值

【例 1】 (1)已知 α∈(0,π ),化简: (1+sin α +cos α )· (cos 2+2cos α α α -sin ) 2 2

=________.

(2)[2sin 50°+sin 10°(1+ 3tan 10°)]· 2sin280°=______.

解析

(1)原式=

α α α? ? α α? ? ?2cos2 +2sin cos ?·?cos -sin ? 2 2 2? ? 2 2? ?
4cos2 2

α

α? α α? α cos 2 ?cos2 -sin2 ? cos 2 2? 2 cos α ? = = . α? α? ? ? ?cos ? ?cos ? 2? 2? ? ? α π α 因为 0<α<π,所以 0< 2 < 2 ,所以 cos 2 >0,所以原式=cos α.
? cos 10°+ 3sin 10°? ?· (2)原式=?2sin 50°+sin 10°· cos 10° ? ? 1 3 2cos 10°+ 2 sin 10° 2sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°· )· cos 10° 2cos 10°=2 2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)] 3 =2 2sin(50°+10°)=2 2? 2 = 6. 答案 (1)cos α (2) 6

规律方法

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:

①一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;②二看函 数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦” ;③三看结构特征, 找到变形的方向, 常见的有 “遇到分式要通分” , “遇到根式一般要升幂” 等. (2) 对于给角求值问题,一般给定的角是非特殊角,这时要善于将非特殊角转化为 特殊角.另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约 等)的方式来求值. 【训练 1】 (1)4cos 50°-tan 40°=( A. 2 C. 3 B. 2+ 3 2 )

D.2 2-1

1 (2)(2014· 临沂模拟 ) 化简: sin2 α sin2 β + cos2 α cos2 β - 2 cos 2 α cos 2 β = ________. 解析 (1)原式=4sin 40°- sin 40° cos 40°



4cos 40°sin 40°-sin 40° cos 40° 2sin 80°-sin 40° cos 40° 2sin(120°-40°)-sin 40° cos 40° 3cos 40°+sin 40°-sin 40° cos 40° 3cos 40° = 3,故选 C. cos 40° (从“角”入手,复角化单角)









(2)法一

1 原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-2(2cos2α-1)(2cos2β-1) 1 =sin2αsin2β+cos2αcos2β-2(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 1 =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-2 1 =sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β- 2 1 =sin2β+cos2β-2 1 1 =1-2=2. 法二 (从“名”入手,异名化同名) 1 原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-2cos 2αcos 2β 1 =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-2cos 2αcos 2β 1 =cos2β-cos 2β(sin2α+ cos 2α) 2 1+cos 2β 1 1 = - cos 2 β = 2 2 2. 法三 原式= (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 1 · + · -2cos 2α·cos 2β 2 2 2 2 1 1 =4(1+cos 2α·cos 2β-cos 2α-cos 2β)+4(1+cos 2α·cos 2β+cos 2α

1 +cos 2β)-2cos 2α·cos 2β 1 1 1 =4+4=2. 法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sin αsin β-cos αcos β)2+2sin αsin β·cos αcos β- 1 2cos 2αcos 2β 1 1 =cos2(α+β)+2sin 2α·sin 2β-2cos 2α·cos 2β 1 =cos2(α+β)- cos(2α+2β) 2 1 1 =cos2(α+β)-2[2cos2(α+β)-1]=2. 1 答案 (1)C (2)2 考点二 三角函数的给值求值、给值求角 π β? 1 ?α ? 2 ? 【例 2】 (1)已知 0<β< 2 <α <π ,且 cos?α -2?=-9,sin? -β?=3, ? ? ?2 ? 求 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β ∈(0,π ),且 tan(α-β)=2,tan β =-7,求 2α -β 的值. 深度思考 运用两角和(差)的三角函数公式,其关键在于构造角的和(差),在

构造的过程中,要尽量使其中的角为特殊角或已知角,这样的变角过程你掌握 了吗? 解 π (1)∵0<β< 2 <α <π ,

π β ∴ 4 <α -2<π , π α π - 4 < 2 -β< 2 , β? ? ∴sin?α -2?= ? ? β? 4 5 ? 1-cos2?α -2?= 9 , ? ? ?α ? cos? -β?= ?2 ? ∴cos 5 ?α ? 1-sin2?2-β?= 3 , ? ?

α +β β? ?α ?? ?? ??α -2?-?2-β?? = cos 2 ?? ? ? ??

β? ?α ? β? ?α ? ? ? =cos?α -2?cos?2-β?+sin?α -2?sin? -β? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 1 5 4 5 2 7 5 ? ? =?-9?? 3 + 9 ?3= 27 , ? ? α +β 49?5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1=2? 729 -1=-729. tan(α-β)+tan β (2)∵tan α =tan[(α-β)+β]= 1-tan(α-β)tan β 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0,又 α∈(0,π ). 1+ ? 2 7 π 2tan α ∴0<α < 2 ,又∵tan 2α = = 1-tan2α π ∴0<2α < 2 , 3 1 4+7 tan 2α -tan β ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2α tan β 1-4?7 π 1 ∵tan β =-7<0,∴ 2 <β <π ,-π <2α -β<0, 3π ∴2α -β=- 4 . α+β ? β? ?α ? 规律方法 (1)解题中注意变角,如本题中 2 =?α-2?-? -β?;(2)通过 ? ? ?2 ? 求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函 数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围 π? ? 是?0, ?,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范 2? ? ? π π? 围为?- , ?,选正弦较好. 2? ? 2 π 1 13 【训练 2】 已知 cos α =7,cos(α-β)=14,且 0<β<α< 2 , (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β. 解 π 1 (1)∵cos α =7,0<α < 2 , 3 =4>0, 2 ?1? 1-?3? ? ? 1 2?3

4 3 ∴sin α = 7 ,∴tan α =4 3, 2tan α 2?4 3 8 3 ∴tan 2α = = =- 47 . 2 1-tan α 1-48 π π (2)∵0<β<α<2,∴0<α -β< 2 , 3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β =cos[α-(α-β)] =cos α cos(α-β)+sin α sin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7?14+ 7 ? 14 =2. π ∴β = 3 . 考点三 三角变换的简单应用 ? π? ?5π ? 3 【例 3】 (2014· 广东卷)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f ? ?=2. 4? ? ? 12 ? (1)求 A 的值; π? 3 ? ?3π ? (2)若 f(θ)-f(-θ)=2,θ ∈?0, ?,求 f ? -θ?. 2? ? ? 4 ? 2π 3 ?5π ? 3 解 (1)由 f ? ?=2,得 Asin 3 =2, ? 12 ? 2π 3 又 sin 3 = 2 ,∴A= 3. ? π? (2)由(1)得 f(x)= 3sin?x+ ?, 4? ? 3 由 f(θ)+f(-θ)=2, π? π? 3 ? ? 得 3sin?θ + ?+ 3sin?-θ+ ?=2, 4? 4? ? ? π? 6 ? 化简得 cos θ = 4 ,∵θ ∈?0, ?, 2? ? ∴sin θ = 1-cos 2θ = 10 ? 6?2 1-? ? = 4 , 4 ? ?

π? 10 30 ?3π ? ?3π ?= 3sin? ?= 3sin θ = 3? 故f ? = 4 . - θ - θ + 4 4? ? 4 ? ? 4 规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”, 通过适当的变换达到由此

及彼的目的,变换的基本方向有两个,一个是变换函数的名称,一个是变换角 的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦 公式等;变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等. π? ? 【训练 3】 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; π? ?α ? 4 ? (2)若 α 是第二象限角,f ? ?=5cos?α+ ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? ? 解 (1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为 π ? π ? ?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π 由- 2 +2kπ ≤3x+ 4 ≤ 2 +2kπ ,k∈Z, π 2kπ π 2kπ 得- 4 + 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 ? π 2kπ π 2kπ ? ?- + ?,k∈Z. 3 ,12+ 3 ? ? 4 π? 4 ? π? ? (2)由已知,有 sin?α + ?=5cos?α + ?(cos2α -sin2α ), 4? 4? ? ? π π 所以 sin α cos 4 +cos α sin 4 π π? 4? ?(cos2α -sin2α ), =5?cos α cos - sin α sin 4 4? ? 4 即 sin α +cos α =5(cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 3π 知α = 4 +2kπ ,k∈Z. 此时 cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,有(cos α -sin α )2=4. 由 α 是第二象限角,知 cos α -sin α <0, 5 此时 cos α -sin α =- 2 . 5 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 2 .

[思想方法] 1.三角函数求值的类型及方法 (1)给角求值: 关键是正确地选用公式, 以便把非特殊角的三角函数相约或相消, 从而化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)给值求角:实质上也转化为给值求值,关键也是变角,把所求角用含已知角 的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的 取值范围. 2.巧用公式变形 和差角公式变形:tan x±tan y=tan(x± y)· (1?tan x?tan y);倍角公式变形:降幂 公 式 cos2 α = 1+cos 2α 1-cos 2α , sin2 α = , 配 方 变 形 : 1± sin α = 2 2

α α α α ?2 ? ?sin ±cos ? ,1+cos α =2cos2 ,1-cos α =2sin2 . 2 2 2 2? ? [易错防范] 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性, 要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 2 2.在(0,π )范围内,sin α = 2 所对应的角 α 不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.(2014· 皖南八校联考)若 tan θ = 3,则 sin 2θ = 1+cos 2θ ( )

A. 3 3 C. 3 解析 答案

B.- 3 3 D.- 3 sin 2θ 2sin θcos θ = =tan θ= 3. 1+cos 2θ 1+2cos2θ-1 A

1 ?π ? 2.(2015· 东北三省三校联考)已知 sin α +cos α =3,则 sin2? -α?= ( ) 4 ? ? 1 17 A.18 B.18 8 2 C.9 D. 9 1 1 8 解析 由 sin α+cos α=3两边平方得 1+sin 2α=9,解得 sin 2α=-9, 所 8 ?π ? 1-cos? -2α? 1 + 9 17 ?2 ? 1-sin 2α ?π ? 以 sin2? -α?= = = 2 =18,故选 B. 2 2 ?4 ? 答案 B 3 ? 4 ?π ? ? 3. (2014· 杭州调研)已知 α∈?π ,2π ?, 且 cos α =-5, 则 tan? -α?等于 ( ) ? ? ?4 ? 1 A.7 B.7 1 C.-7 D.-7 3 ? 4 3 ? 解析 因 α∈?π,2π?,且 cos α=-5,所以 sin α<0,即 sin α=-5, ? ? 3 1-4 1 - tan α π 3 1 ? ? 所以 tan α=4.所以 tan? -α?= = 3=7. ?4 ? 1+tan α 1+4 答案 B ( ) 5 10 4.已知 sin α = 5 ,sin(α-β)=- 10 ,α ,β 均为锐角,则角 β 等于 5π π π π A. 12 B. 3 C. 4 D. 6 π π 解析 ∵α,β均为锐角,∴- 2 <α-β< 2 . 10 3 10 又 sin(α-β)=- 10 ,∴cos(α-β)= 10 . 5 2 5 又 sin α= 5 ,∴cos α= 5 ,

∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 5 3 10 2 5 ? 2 10? ?= . = 5 ? 10 - 5 ??- ? 10 ? 2 π ∴β= 4 . 答案 C

1+sin β π? π? ? ? 5.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设 α∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = , 2 2 cos β ? ? ? ? 则 π A.3α -β= 2 π C.3α +β= 2 解析 由条件得 π B.2α -β= 2 π D.2α +β= 2 sin α 1+sin β = ,即 sin α cos β=cos α(1+sin β), cos α cos β ( )

π π π π ?π ? sin(α-β)=cos α=sin? -α?,因为- 2 <α-β< 2 ,0< 2 -α< 2 ,所以 2 ? ? π π α-β= 2 -α,所以 2α-β= 2 ,故选 B. 答案 B

二、填空题 ?π ? 3 6.若 sin? +θ?=5,则 cos 2θ =________. ?2 ? 3 ?π ? 解析 ∵sin? +θ?=cos θ=5, 2 ? ? 7 ?3?2 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=2??5? -1=-25. ? ? 答案 7 -25

π? ? 7.函数 f(x)=sin?2x- ?-2 2sin2x 的最小正周期是________. 4? ? 2 2 解析 ∵f(x)= 2 sin 2x- 2 cos 2x- 2(1-cos 2x) π 2 2 = 2 sin 2x+ 2 cos 2x- 2=sin(2x+ 4 )- 2, 2π ∴最小正周期 T= 2 =π.

答案

π

π? π? 2 ? ? 8.已知 cos4α -sin4α =3,且 α∈?0, ?,则 cos?2α + ?=________. 2? 3? ? ? 2 解析 ∵cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=cos 2α=3, π? ? 又 α∈?0, ?, 2? ? ∴2α∈(0,π), 5 ∴sin 2α= 1-cos22α= 3 , π? 1 3 ? ∴cos?2α+ ?=2cos 2α- 2 sin 2α 3 ? ? 1 2 3 5 2- 15 =2?3- 2 ? 3 = 6 . 答案 2- 15 6

三、解答题 5 ?π ? 9.(2014· 江苏卷)已知 α∈? ,π ?,sin α = 5 . ?2 ? ?π ? (1)求 sin? +α?的值; ?4 ? ?5π ? ?的值. (2)求 cos? - 2 α ? 6 ? 解 5 ?π ? (1)因为 α∈? ,π ?,sin α = 5 , ?2 ?

2 5 所以 cos α =- 1-sin2α =- 5 . π π ?π ? 故 sin? +α?=sin 4 cos α +cos 4 sin α ?4 ? 2 ? 2 5? 2 5 10 ?+ ? =- = 2 ??- 5 10 . 5 ? 2 ? 5 ? 2 5? 4 ?=- , (2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2? 5 ??- 5 5 ? ? ? 5?2 3 cos 2α =1-2sin2α =1-2?? ? =5, ?5?

5π 5π ? ?5π ? 3? 3 1 ? 4? - ?= 所以 cos? -2α?=cos 6 cos 2α +sin 6 sin 2α =?- ??5+2?? 6 ? 5? 2 ? ? ? ? - 4+3 3 10 .

α α 6 ?π ? 10.已知 α∈? ,π ?,且 sin 2 +cos 2 = 2 . ?2 ? (1)求 cos α 的值; 3 ?π ? (2)若 sin(α-β)=-5,β ∈? ,π ?,求 cos β 的值. 2 ? ? α α 6 解 (1)因为 sin 2 +cos 2 = 2 , 1 两边同时平方,得 sin α =2. π 3 又 2 <α<π ,所以 cos α =- 1-sin2α =- 2 . π π (2)因为 2 <α<π , 2 <β<π , π π 所以- 2 <α-β< 2 . 3 4 又 sin(α-β)=-5,得 cos(α-β)=5. cos β =cos[α -(α-β)] =cos α cos(α-β)+sin α sin(α-β) 4 3+3 3 4 1 ? 3? =- 2 ?5+2??-5?=- 10 . ? ?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A?tan B,则 C 等于 π A. 3 解析 2π B. 3 π C. 6 π D. 4 ( )

由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A·tan B-1), tan A+tan B =- 3, 1-tan Atan B

∴tan(A+B)=

π 2 又 0<A+B<π,∴A+B=3π,∴C= 3 . 答案 A ) π 2π ? 23π ? ?= 12.(2014· 云南统一检测)cos 9 ?cos 9 ?cos?- ( 9 ? ? 1 1 A.-8 B.-16 1 1 C.16 D.8 π 2π ? 23 ? 解析 cos 9 ·cos 9 ·cos?- 9 π?=cos 20°·cos 40°·cos 100° ? ? =-cos 20°·cos 40°·cos 80° =- sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° sin 20°

1 2sin 40°·cos 40°·cos 80° =- sin 20° 1 4sin 80°·cos 80° =- sin 20° 1 1 sin 160 ° 8 8sin 20° 1 =- =- =-8. sin 20° sin 20° 答案 A 1+cos 2x ? π? + sin x + a2sin ?x+ ? 的最大值为 2 + 3 ,则常数 a = 4? ? ?π ? 2sin? -x? 2 ? ?

13 .设 f(x) =

________. 解析 1+2cos2x-1 ? π? 2 ?x+ ? f(x)= + sin x + a sin 2cos x 4? ? ? π? =cos x+sin x+a2sin?x+ ? 4? ? ? π? ? π? = 2sin?x+ ?+a2sin?x+ ? 4? 4? ? ? ? π? =( 2+a2)sin?x+ ?. 4? ?

依题意有 2+a2= 2+3,∴a=± 3. 答案 ± 3

14.(2014· 惠州模拟)已知函数 f(x)=cos2x+sin xcos x,x∈R. ?π ? (1)求 f ? ?的值; ?6? 3 ?π ? ?α π ? (2)若 sin α =5,且 α∈? ,π ?,求 f ? + ?. ?2 ? ? 2 24? π π π ?π ? 解 (1)f ? ?=cos2 6 +sin 6 cos 6 ?6? 3 3+ 3 ? 3?2 1 =? ? +2? 2 = 4 . ?2? (2)因为 f(x)=cos2x+sin xcos x = 1+cos 2x 1 +2sin 2x 2

π? 1 1 1 2 ? =2+2(sin 2x+cos 2x)=2+ 2 sin?2x+ ?. 4? ? π π? 2 ? ?α π ? 1 所以 f ? + ?=2+ 2 sin?α+ + ? 12 4 ? ? 2 24? ? π? 1 2 ? =2+ 2 sin?α + ? 3? ? 1 2?1 ? 3 =2+ 2 ? sin α + cos α ?. 2 ?2 ? 3 ?π ? 又因为 sin α =5,且 α∈? ,π ?, ?2 ? 4 所以 cos α =-5, 2?1 3 ?α π ? 1 3 4? 所以 f ? + ?=2+ 2 ? ? - ? ? 2 24 2 5 2 5? ? ? ? = 10+3 2-4 6 . 20

第 4 讲 三角函数的图象与性质
最新考纲 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周

期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值 ? π π? 和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的单调性. 2? ? 2

知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ?π ? (1)正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0),? ,1?, ?2 ? ?3π ? ?,(2π ,0). (π ,0),? ,- 1 ? 2 ? ?π ? (2)余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,1),? ,0?, ?2 ? ?3π ? (π ,-1),? ,0?,(2π ,1). 2 ? ? 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z) 函数 图象 y=sin x y=cos x y=tan x

{x|x∈R,且x≠
定义域 R R
? ? π kπ + 2 ,k∈Z? ? ?

值域 周期性 奇偶性 递增 区间 递减 区间

[-1,1] 2π 奇函数 π π? ? ?2kπ - ,2kπ + ? 2 2? ? π 3π ? ? ?2kπ + ,2kπ + ? 2 2 ? ?

[-1,1] 2π 偶函数 [2kπ -π ,2kπ ]

R π 奇函数 π π? ? ?kπ - ,kπ + ? 2 2? ? 无

[2kπ ,2kπ +π ]

对称 中心 对称轴 方程

(kπ ,0) π x=kπ + 2

π ? ? ?kπ + ,0? 2 ? ? x=kπ 诊 断 自 测

?kπ ? ? ,0? 2 ? ? 无

1.判断正误(在括号内打“√”或“?”)

精彩 PPT 展示

(1)由 sin(30°+120°)=sin 30°知,120° 是正弦函数 y=sin x(x∈R)的一个周 期.(?) π? ? (2)y=sin x 在 x∈?0, ?上是增函数.(√) 2? ? (3)y=cos x 在第一、二象限上是减函数.(?) (4)y=tan x 在整个定义域上是增函数.(?) π? ? 2.(2014· 陕西卷)函数 f(x)=cos?2x- ?的最小正周期是( 6? ? π A. 2 B.π C.2π D.4π 2π 解析 由题意得:T= 2 =π,故选 B. 答案 B )

? π? 3.函数 f(x)=2cos2?x+ ?图象的一条对称轴方程可以为( ) 2? ? π π A.x= 4 B.x= 3 3 C.x=4π D.x=π ? π? 解析 由题意得 f(x)=2cos2?x+ ?=2sin2x=1-cos 2x, 函数 f(x)图象的对称轴 2? ? kπ 方程为 x= 2 ,k∈Z,故选 D. 答案 D π π? ? 4.(2015· 临沂测试)函数 f(x)=sin(2x- 4 )在区间?0, ?上的最小值为( ) 2? ? 2 2 A.-1 B.- 2 C. 2 D.0 π ? π 3π? π? π? ? ? 解析 由已知 x∈ ?0, ? ,得 2x - 4 ∈ ?- , ? ,所以 sin ?2x- ? ∈ 2? 4 ? 4? ? ? 4 ? π? π? 2 ? ? 2 ? ? ?- ,1?,故函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小值为- . 2 4? 2? ? ? ? 2 ?

答案

B

3π ? ? 5 . ( 人教 A 必修 4P47B2 改编 ) 函数 y =- tan ?2x- ? 的单调递减区间为 4 ? ? ________. 解析 因为 y=tan x 的单调递增区间为 π ? π ? ?- +kπ, +kπ?(k∈Z), 2 ? 2 ? π 3π π 所以由- 2 +kπ<2x- 4 < 2 +kπ(k∈Z), π kπ 5π kπ 得 8 + 2 <x< 8 + 2 (k∈Z), 3π? ? 所以 y=-tan?2x- ?的单调递减区间为 4 ? ? ?π kπ 5π kπ? ? + , ?(k∈Z). 2 8 + 2 ? ?8 ?π kπ 5π kπ ? ?(k∈Z) 答案 ? + , 2 8 + 2 ? ?8

考点一

三角函数的定义域、值域

1 的定义域为____________. tan x-1 ?π x π ? (2)函数 y=2sin? - ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 3? ? 6 【例 1】 (1)函数 y= A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3

)

解析

?tan x-1≠0, ? (1)要使函数有意义,必须有? π x≠ 2 +kπ,k∈Z, ? ?

π ? ?x≠ 4 +kπ,k∈Z, 即? π x ≠ ? ? 2 +kπ,k∈Z. π π 故函数的定义域为{x|x≠ 4 +kπ且 x≠ 2 +kπ,k∈Z}. π π π 7π (2)∵0≤x≤9,∴- 3 ≤ 6 x- 3 ≤ 6 , ?π π? ? 3 ? ∴sin? x- ?∈?- ,1?. 3? ? 2 ?6 ?

∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. 答案 π π (1){x|x≠ 4 +kπ 且 x≠ 2 +kπ ,k∈Z} (2)A

规律方法

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式, 常借助三角

函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求 最值(值域);②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为 关于 t 的二次函数求值域(最值);③形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的 三角函数,可先设 t=sin x±cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值). 【训练 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. (2)函数 y=sin x-cos x+sin xcos x 的值域为________. 解析 (1)法一 要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用

图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的 图象,如图所示. 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 期是 2π,所以原函数的定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ? ?. ,k∈Z ? ? ? ?

π 5π , ,再结合正弦、余弦函数的周 4 4

法二

利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影

部分所示). ∴定义域为
? ? ? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ?. , k ∈ Z 4 4 ? ? ? ? ?

π ? π? sin x-cos x= 2sin?x- ?≥0,将 x- 4 视为一个整体,由正弦函数 y 4? ? π =sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x- 4 ≤π+2kπ,k∈Z, π 5π 解得 2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z. ? ? ? ? ? π 5π ?. 所以定义域为?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ , k ∈ Z 4 4 ? ? ? ? ? 法三 (2)设 t=sin x-cos x,则 t2=sin2x+cos2x-

1-t2 2sin xcos x,sin xcos x= 2 ,且- 2≤t≤ 2. t2 1 1 ∴y=- 2 +t+2=-2(t-1)2+1. 1 当 t=1 时,ymax=1;当 t=- 2时,ymin=-2- 2. ? 1 ? ∴函数的值域为?-2- 2,1?. ? ? ? ? ? ? ? π 5π ? 答案 (1)?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ , k ∈ Z 4 4 ? ? ? ? ? ? 1 ? (2)?-2- 2,1? ? ? 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 π 5π 【例 2】 (1)已知ω >0,0<φ<π ,直线 x= 4 和 x= 4 是函数 f(x)=sin(ωx +φ)的图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( π A. 4 π C. 2 π B. 3 3π D. 4 ) )

? π? (2)函数 y=2cos2?x- ?-1 是( 4? ? A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 π C.最小正周期为 2 的奇函数 π D.最小正周期为 2 的偶函数 解析 (1) 2π

?5π π? =2? - 4 ?,即 ω=1, ω ? 4 ?

?π? ?π ? ∴f(x)=sin(x+φ),∴f ? ?=sin? +φ?=± 1. ?4? ?4 ? π π 5π ∵0<φ<π,∴ 4 <φ+ 4 < 4 , π π π ∴φ+ 4 = 2 ,∴φ= 4 . 2π π? ? π? ? (2)y=2cos2?x- ?-1=cos?2x- ?=sin 2x 为奇函数,最小正周期 T= 2 = 4 2 ? ? ? ? π. 答案 (1)A (2)A

规律方法

π (1)求 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令 ωx+φ= 2 +kπ

(k∈Z),求 x;求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. (2) 求 最 小 正 周 期 时 可 先 把 所 给 三 角 函 数 式 化 为 y = Asin(ωx + φ) 或 y = Acos( ωx+φ)的形式,则最小正周期为 T= 2π ;奇偶性的判断关键是解析式 |ω|

是否为 y=Asin ωx 或 y=Acos ωx+b 的形式. ?4π ? 【训练 2】 (1)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ,0?中心对称,那么 3 ? ? |φ|的最小值为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 ) π D. 2 x+φ 3 (φ∈[0,2π ])是偶函数,则 φ=( )

(2)(2014· 杭州模拟)若函数 f(x)=sin π A. 2 解析 2π B. 3 3π C. 2 5π D. 3

4π ? ? ?2π ? (1)由题意得 3cos?2? +φ?=3cos? 3 +φ+2π? 3 ? ? ? ? 2 π π ?2π ? =3cos? +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+ 2 ,k∈Z, ? 3 ? π π ∴φ=kπ- 6 ,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为 6 . x+φ φ π 3π (2)由已知 f(x)=sin 3 是偶函数, 可得 3 =kπ+ 2 , 即 φ=3kπ+ 2 (k∈Z), 3π 又 φ∈[0,2π],所以 φ= 2 . 答案 考点三 (1)A (2)C 三角函数的单调性

? π? 【例 3】 (1)已知 f(x)= 2sin?x+ ?,x∈[0,π ],则 f(x)的单调递增区间为 4? ? ________. π ? ?π ? ? (2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减,则 ω 的取值范 4? ?2 ? ? 围是( ) ?1 5? ?1 3? A.?2,4? B.?2,4? ? ? ? ? 1? ? C.?0,2? D.(0,2] ? ?

解析

π π π (1)由- 2 +2kπ≤x+ 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z,

3π π 得- 4 +2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z.又 x∈[0,π], π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?0, ?. 4? ? π π π π π (2)由 2 <x<π得 2 ω+ 4 <ωx+ 4 <πω+ 4 , π π? ?π 3π? ?π 由题意知? ω+ ,πω+ ??? , ?, 4 4? ?2 2 ? ?2 π π π ? ω + ?2 4≥2, 1 5 ∴? ∴2≤ω≤4,故选 A. π 3π ? ?πω+ 4 ≤ 2 , 答案 π? ? (1)?0, ? 4? ? (2)A

规律方法

(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成 y=Asin(ωx

+φ)形式,再求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正数.(2)对于已知函数的 单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题,首先,明确已知的单调区间 应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它 们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. π? ? 【训练 3】 (1)若函数 f(x)=sin ω x(ω>0)在区间?0, ?上单调递增,在区间 3? ? ?π π ? ? , ?上单调递减,则 ω 等于( ) 2? ?3 2 3 A.3 B.2 C.2 D.3 π? ? (2)函数 f(x)=sin?-2x+ ?的单调减区间为______. 3? ? 解析 (1)∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,

π π ∴当 0≤ωx≤ 2 ,即 0≤x≤ 时,y=sin ωx 是增函数; 2ω π 3π π 3π 当 2 ≤ωx≤ 2 ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数. 2ω 2ω π? ? 由 f(x)=sin ωx(ω>0)在?0, ?上单调递增, 3? ?

π π 3 ?π π? 在? , ?上单调递减知, = ,∴ω=2. 2? 2ω 3 ?3 π? ? (2)由已知函数为 y=-sin?2x- ?,欲求函数的单调减区间, 3? ? π? ? 只需求 y=sin?2x- ?的单调增区间. 3? ? π π π 由 2kπ- 2 ≤2x- 3 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+ 12 ,k∈Z. π 5π? ? 故所给函数的单调减区间为?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 12 12? ? π 5π ? ? ?(k∈Z) 答案 (1)B (2)?kπ - ,kπ + 12 12 ? ?

[思想方法] 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 π . |ω | 2π ,y=tan(ωx+φ) |ω |

的最小正周期为

3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的 方法令 t=ωx+φ,将其转化为研究 y=sin t 的性质. [易错防范] 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的 最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2. 要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 A 和 ω 的符号, 尽量化成 ω>0 时情况,避免出现增减区间的混淆.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 π? ? 1.(2015· 石家庄模拟)函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是 ( ) 3? ? ?kπ π kπ 5π ? A.? - , + ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 ?kπ π kπ 5π ? B.? - , + ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 π 5π ? ? ?(k∈Z) C.?kπ - ,kπ + 12 12 ? ? π 2π ? ? ?(k∈Z) D.?kπ + ,kπ + 6 3 ? ? π π π π? ? 解析 当 kπ- 2 <2x- 3 <kπ+ 2 (k∈Z)时, 函数 y=tan?2x- ?单调递增, 3? ? kπ π kπ 5π π? ? 解得 - <x< + (k∈Z),所以函数 y=tan?2x- ?的单调递增区间 2 12 2 12 3? ? ?kπ π kπ 5π? 是? - , + ?(k∈Z),故选 B. 12 ? ? 2 12 2 答案 B π? ? 2.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?, 6? ? π? ? ④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为 ( ) 4? ? A.①②③ C.②④ 解析 B.①③④ D.①③

①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;

②由图象知 y=|cos x|的最小正周期为 π; 2π π? ? ③y=cos?2x+ ?的最小正周期 T= 2 =π; 6? ? π π? ? ④y=tan?2x- ?的最小正周期 T= 2 ,因此选 A. 4? ? 答案 A

1 3.(2014· 云南统一检测)已知函数 f(x)=cos23x-2,则 f(x)的图象的相邻两条对称 轴之间的距离等于 2π A. 3 π B. 3 ( ) π π C. 6 D.12 1+cos 6x 1 1 2π π 解析 因为 f(x)= - = cos 6 x ,所以最小正周期 T = 2 2 2 6 = 3 ,相邻 T π 两条对称轴之间的距离为 2 = 6 ,故选 C. 答案 C ? ? π π ?? 4.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ)?θ ∈?- , ??是偶函数,则 θ 的值 2 ?? ? ? 2 为 A.0 π B. 6 ( ) π π C. 4 D. 3 π π? ? 解析 据已知可得 f(x)=2sin?x+θ+ ?,若函数为偶函数,则必有 θ+ 3 = 3? ? π π π π ? π π? kπ+ 2 (k∈Z),又由于θ∈?- , ?,故有 θ+ 3 = 2 ,解得 θ= 6 ,经代 2? ? 2 入检验符合题意. 答案 B ( )

π? ? 5.(2015· 金华十校模拟)关于函数 y=tan?2x- ?,下列说法正确的是 3? ? A.是奇函数 π? ? B.在区间?0, ?上单调递减 3? ? ?π ? C.? ,0?为其图象的一个对称中心 6 ? ? D.最小正周期为π

π? π? ? ? 函数 y=tan?2x- ?是非奇非偶函数,A 错误;在区间?0, ?上单调递 3? 3? ? ? π π π π? ? 增,B 错误;最小正周期为 2 ,D 错误.∵当 x= 6 时,tan?2? - ?=0, 6 3? ? ?π ? ∴? ,0?为其图象的一个对称中心,故选 C. ?6 ? 解析 答案 C 二、填空题 ?π ? 6.函数 y=cos? -2x?的单调减区间为________. ?4 ?

π π? ?π ? ? 由 y=cos? -2x?=cos?2x- ?得 2kπ≤2x- 4 ≤2kπ+π(k∈Z), 4 4 ? ? ? ? π 5π 故 kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z). π 5π? ? ?(k∈Z). 所以函数的单调减区间为?kπ+ ,kπ+ 8 8 ? ? π 5π ? ? ?(k∈Z) 答案 ?kπ + ,kπ + 8 8 ? ? 1 7.函数 y=lg(sin x)+ cos x-2的定义域为________. 解析 解析 sin x>0, ? ? 要使函数有意义必须有? 1 cos x-2≥0, ? ?

sin x>0, ?2kπ<x<π+2kπ(k∈Z), ? ? ? ? π 即? 解得 1 π cos x≥2, - +2kπ≤x≤ 3 +2kπ(k∈Z), ? ? ? ? 3 π ∴2kπ<x≤ 3 +2kπ(k∈Z), ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤
? ? ? ? ? ? π ?. + 2 k π,( k ∈ Z ) 3 ? ?

答案

π ? ? ?2kπ , +2kπ ?(k∈Z) 3 ? ? y=sin2x+sin x-1,令 t=sin x,t∈[-1,1],

8.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为________. 解析

? 1?2 5 则有 y=t2+t-1=?t+2? -4, ? ? 1 画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当 t=-2及 t=1 时,函数取最值, 代入 y=t2+t-1, ? 5 ? 可得 y∈?-4,1?. ? ? ? 5 ? 答案 ?-4,1? ? ? 三、解答题 6cos4x+5sin2x-4 9.已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其 cos 2x 值域. 解 π 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ + 2 ,k∈Z,

kπ π 解得 x≠ 2 + 4 ,k∈Z, 所以 f(x)的定义域为?x|x∈R,且x≠
? ? ? ? ? ? kπ π ?. + , k ∈ Z 2 4 ? ?

因为 f(x)的定义域关于原点对称, 6cos4(-x)+5sin2(-x)-4 且 f(-x)= cos(-2x) 6cos4x+5sin2x-4 = =f(x). cos 2x 所以 f(x)是偶函数, kπ π 当 x≠ 2 + 4 ,k∈Z 时, f(x)= 6cos4 x+5sin2 x-4 6cos4 x+5-5cos2x-4 = cos 2x 2cos2x-1

(2cos2x-1)(3cos2x-1) = =3cos2x-1. 2cos2x-1
? ? 1 1 所以 f(x)的值域为?y|-1≤y<2,或2<y≤2?. ? ?

3 ? π? 10.(2014· 天津卷)已知函数 f(x)=cos x?sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 3? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. 4? ? 4 解 (1)由已知,得

3 ?1 ? 3 f(x)=cos x?? sin x+ cos x?- 3cos2x+ 4 2 2 ? ? 1 3 =2sin x?cos x- 2 cos2x+ 1 3 =4sin 2x- 4 (1+cos 2x)+ 1 3 =4sin 2x- 4 cos 2x π? 1 ? =2sin?2x- ?. 3? ? 3 4 3 4

2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π .

π? ? π ? π π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数. 4 12 ? ? ? 12 4 ? 1 1 ? π? ? π? ?π ? 1 F ?- ?=-4,f ?- ?=-2,f ? ?=4. ? 4? ? 12? ?4? 1 1 ? π π? 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为4,最小值为-2. ? 4 4?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
? π π? 11.已知函数 f(x)=2sin ω x(ω>0)在区间?- , ?上的最小值是-2,则 ω 的 4? ? 3 最小值等于 2 A.3 解析 ∴x= 3 B.2 C.2 D.3 ( )

π ∵f(x)=2sin ωx(ω>0)的最小值是-2,此时 ωx=2kπ- 2 ,k∈Z, 2kπ

ω



π π 2kπ π 3 , k∈Z, ∴- 3 ≤ - ≤0, k∈Z, ∴ω≥-6k+2且 k≤0, 2ω ω 2ω

3 k∈Z,∴ωmin= . 2 答案 B

12.(2014· 成都诊断)若 f(x)=3sin x-4cos x 的一条对称轴方程是 x=a,则 a 的取 值范围可以是 π? ? A.?0, ? 4? ? ?π 3π ? C.? , ? 4 ? ?2 解析 ?π π ? B.? , ? 2? ?4 ?3π ? D.? ,π ? ? 4 ? ( )

π? 4 ? 因为 f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ)?其中tan φ= 且0<φ< ?,则 3 2? ? π π sin(a-φ)=± 1,所以 a-φ=kπ+ 2 ,k∈Z,即 a=kπ+ 2 +φ,k∈Z,而 π π π 3π 4 tan φ=3且 0<φ< 2 ,所以 4 <φ< 2 ,所以 kπ+ 4 <a<kπ+π,k∈Z, ?3π ? 取 k=0,此时 a∈? ,π?,故选 D. 4 ? ? 答案 D

13.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:当 sin x≤cos x 时,f(x)=cos x,当 sin x> cos x 时,f(x)=sin x. 给出以下结论: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的最小值为-1; ③当且仅当 x=2kπ (k∈Z)时,f(x)取得最小值; π ④当且仅当 2kπ - 2 <x<(2k+1)π (k∈Z)时,f(x)>0; ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π . 其中正确的结论序号是________. 解析 易知函数 f(x)是周期为 2π的周期函数.

函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示. 2 由图象可得, f(x)的最小值为- 2 , 当且仅 5π 当 x=2kπ+ 4 (k∈Z)时, π f(x)取得最小值;当且仅当 2kπ- 2 <x< (2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0;f(x)的图象上 相邻两个最低点的距离是 2π. 所以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤

x ? ? 14.(2015· 武汉调研)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π ]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值. 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b ? π? = 2asin?x+ ?+a+b. 4? ? ? π? (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin?x+ ?+b-1, 4? ? π π 3π 由 2kπ + 2 ≤x+ 4 ≤2kπ + 2 (k∈Z), π 5π 得 2kπ + 4 ≤x≤2kπ + 4 (k∈Z),

π 5π ? ? ?(k∈Z). ∴f(x)的单调增区间为?2kπ + ,2kπ + 4 4 ? ? (2)∵0≤x≤π , π π 5π ∴ 4 ≤x+ 4 ≤ 4 , 2 ? π? ∴- 2 ≤sin?x+ ?≤1,依题意知 a≠0. 4? ? ? 2a+a+b=8, (ⅰ)当 a>0 时,? ∴a=3 2-3,b=5. ?b=5, ?b=8, (ⅱ)当 a<0 时,? ∴a=3-3 2,b=8. ? 2a+a+b=5, 综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8.

第 5 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
最新考纲 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的

图象,了解参数 A,ω,φ对函数图象变化的影响;2.了解三角函数是描述周 期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.

知 识 梳 理 1. “五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个 点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. X ω x+φ y=Asin(ωx+φ) φ - ω 0 0 π 2 -φ ω π 2 A π -φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π -φ ω 2π 0

(2) 作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到 y = Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A 叫做 振幅,T= 2π 1 叫做周期,f=T叫做频率,ω x+φ 叫做相位,φ 叫做初相. ω

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“?”) 精彩 PPT 展示

(1)利用图象变换作图时“先平移, 后伸缩”与“先伸缩, 后平移”中向左或向 右平移的长度一样.(?) (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.(?) (3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.(?) (4)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T, 那么函数图象的两个相邻对称中心 T 之间的距离为2 .(√) 2.(2014· 四川卷)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的 图象上所有的点( )

1 A.向左平行移动2个单位长度 1 B.向右平行移动2个单位长度 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 ? ? 1?? 因为 y=sin(2x+1)=sin ?2?x+2??, 所以只需将 y=sin 2x 的图象向左平 ? ? ?? 1 行移动2个单位即可,故选 A. 解析 答案 A π ?π ? 3.已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ?(|φ|< 2 )的图象经过点(0,1),则该简谐运 ?3 ? 动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为__________. 解析 π 1 由题意知 1=2sin φ,得 sin φ=2,又|φ|< 2 ,

π ?π? 得 φ= 6 ;而此函数的最小正周期为 T=2π÷? ?=6. ?3? π 答案 6, 6 4.(人教 A 必修 4P60 例 1 改编)如图,某地一天,从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b,则这 段曲线的函数解析式为________. 解析 从图中可以看出,从 6~14 时的是函数 y=Asin(ωx

1 +φ)+b 的半个周期,所以 A=2(30-10)=10, 1 b=2(30+10)=20, π π 1 2π 又2? =14-6,所以 ω= 8 .又 8 ?10+φ=2π,

ω

3π ?π 3π? 解得 φ= 4 ,∴y=10sin? x+ ?+20,x∈[6,14]. 4 ? ?8 3π ? ?π ?+20,x∈[6,14] 答案 y=10sin? x+ 8 4 ? ? π? ? 5.(2014· 安徽卷)若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位,所得图 4? ? 象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. π? π? ? ? 由 f(x)=sin?2x+ ?=cos?2x- ?的图象向右平移 φ 个单位所得图象关 4? 4? ? ? π kπ π 3π 于 y 轴对称可知 2φ+ 4 =kπ,k∈Z,故 φ= 2 - 8 ,又 φ>0,故 φmin= 8 . 3π 答案 8 解析

考点一

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例 1】 设函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(ω>0)的周期为π . (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解 (1)f(x)=sin ω x+ 3cos ω x

π? ?1 ? 3 ? =2? sin ω x+ cos ω x?=2sin?ω x+ ?, 3? 2 ? ?2 ? 又∵T=π ,∴ 2π π? ? =π ,即 ω=2.∴f(x)=2sin?2x+ ?. 3? ω ?

π ∴函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x 的振幅为 2,初相为 3 . π π? ? (2)令 X=2x+ 3 ,则 y=2sin?2x+ ?=2sin X. 3? ? 列表,并描点画出图象:

x X y=sin X π? ? y=2sin?2x+ ? 3? ?

π -6 0 0 0

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

π ? π? 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 3 个单位, 得到 y=sin?x+ ? 3? ? 1 ? π? 的图象; 再把 y=sin?x+ ?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不 3 ? ? π π? ? ? ? 变),得到 y=sin?2x+ ?的图象;最后把 y=sin?2x+ ?上所有点的纵坐标伸 3? 3? ? ? π? ? 长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ? 1 法二 将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的2倍,纵坐标不变, π 得到 y=sin 2x 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 6 个单位,得到 y=sin π? π? ? π? ? ? 2?x+ ?=sin?2x+ ?的图象; 再将 y=sin?2x+ ?的图象上每一点的横坐标保 6 3 3? ? ? ? ? ? π? ? 持不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ? (3)法一 规律方法 作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法: (1)五点法作图法,用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代 π 3 换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, 2 ,π,2π,2π来求出相应的 x,通过列表, 计算得出五点坐标,描点后得出图象;(2)图象的变换法,由函数 y=sin x 的图 象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先 伸缩后平移” . π ? ? 【训练 1】 设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,- <φ<0? 2 ? ? 3 ?π ? 的最小正周期为π ,且 f ? ?= 2 . ?4?

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象. 解 (1)∵T= 2π π 3 3 ?π ? ? ? =π , ω =2, 又 f? ?=cos?2? +φ?= 2 , ∴sin φ =- 2 , 4 ω ?4? ? ?

π π 又- 2 <φ<0,∴φ =- 3 . π? ? (2)由(1)得 f(x)=cos?2x- ?,列表: 3? ? π π π 0 2x- 3 -3 2 5 π x 0 12π 6 1 f(x) 1 0 2 图象如图.

π 2 3π -1

3 2π 11 12π 0

5 3π π 1 2

考点二

利用三角函数图象求其解析式

【例 2】(1)(2014· 沈阳模拟)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 2 ?π ? 的图象如图所示,f? ?=-3,则 f(0)=( ?2? 2 1 2 1 A.-3 B.-2 C.3 D.2 )

(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,|φ |<π )的部 分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为________.

深度思考

此类题目一般是 ω 的值是唯一确定的,但 φ 的值是不确定的,它

可能有无数个, 但一般都限制了 φ 的取值范围, 还要注意用哪一个点求 φ 易出 错.

解析

(1)由三角函数图象得

T 11π 7π π 2= 12 - 12 = 3 , 2π 2π 即 T= 3 ,所以 ω= T =3. 7π 又 x= 12 是函数单调增区间中的一个零点, 7π 3π 所以 3? 12 +φ= 2 +2kπ, π 解得 φ=- 4 +2kπ,k∈Z, π? ? 所以 f(x)=Acos?3x- ?. 4? ? 2 2 2 ?π? 由 f? ?=-3,得 A= 3 , ?2? π? 2 2 ? 所以 f(x)= 3 cos?3x- ?, 4? ? 2 2 ? π? 2 所以 f(0)= 3 ·cos?- ?=3. ? 4? (2)由题图可知 A= 2, 法一 T 7π π π 4 = 12 - 3 = 4 ,

所以 T=π,故 ω=2, 因此 f(x)= 2sin(2x+φ), ?π ? 又? ,0?对应五点法作图中的第三个点, ?3 ? π 因此 2? 3 +φ=π, π 所以 φ= 3 , π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+ ?. 3? ? ?π ? ?7π ? ?为最小值点, 法二 以? ,0?为第二个“零点”,? ,- 2 ?3 ? ? 12 ? π ? ?ω=2, ω · ? 3 +φ=π, ? 列方程组? 解得? π 7π 3π φ= 3 , ? ? ?ω· 12 +φ= 2 , ?

π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+ ?. 3? ? 答案 (1)C π? ? (2)f(x)= 2sin?2x+ ? 3? ? 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A

规律方法

比较容易得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法:(1)五点法, 2π 由 ω= T 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升 (或下降)的“零点”横坐标 x0,则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ; (2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再 结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公 式变换使其符合要求. 【训练 2】 (1)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω >0,0 <φ<π )为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f(1)的值为( 3 A.- 2 6 B.- 2 C. 3 D.- 3 )

(2)(2014· 南京、盐城模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω ,φ ?π ? 为常数, A>0, ω >0, 0<φ<π )的图象如图所示, 则f ? ? ?3? 的值为______. 解析 (1)由题意得 f(0)=0,

即 Acos φ=0, π 因为 0<φ<π,A>0,所以 φ= 2 ,由 FG=2, π T π 得2= =2,即 ω= 2 ,

ω

E 的纵坐标为 yE=2sin 60°= 3, 所以 A= 3, π ?π π? 故 f(x)= 3cos? x+ ?=- 3sin 2 x, 2? ?2 所以 f(1)=- 3.故选 D. 11π π 3 3 (2)由三角函数图象可得 A=2,4T= 12 - 6 =4π,所以周期

T=π=



?π ? ,解得 ω=2.又函数图象过点? ,2? ω ?6 ?

π π ?π? ? ? 所以 f ? ?=2sin?2? +φ?=2,0<φ<π,解得 φ= 6 , 6 ?6? ? ? π? ?π? ? ?2π π? 所以 f(x)=2sin?2x+ ?,f? ?=2sin? + 6 ?=1. 6? ?3? ? ? 3 ? 答案 考点三 (1)D (2)1 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用

【例 3】 (2014· 山东卷)已知向量 a=(m, cos 2x), b=(sin 2x, n), 函数 f(x)=a· b, ?π ? ?2π ? 且 y=f(x)的图象过点? , 3?和点? ,-2?. ?12 ? ? 3 ? (1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π )个单位后得到函数 y=g(x)的图象, 若y =g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增 区间. 解 (1)由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x.

?π ? ?2π ? 因为 y=f(x)的图象过点? , 3?和? ,-2?, ?12 ? ? 3 ? π π ? ? 3=msin 6 +ncos 6 , 所以? 4π 4π - 2 = m sin + n cos ? ? 3 3 , 1 3 ? 3 = m + ? 2 2 n, 即? 3 1 ? - 2 =- m - ? 2 2n, 解得 m= 3,n=1. π? ? (2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?. 6? ? π? ? 由题意知 g(x)=f(x+φ)=2sin?2x+2φ+ ?. 6? ? 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x2 0+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2).

π? ? 将其代入 y=g(x)得 sin?2φ + ?=1, 6? ? π 因为 0<φ<π ,所以 φ= 6 . π? ? 因此 g(x)=2sin?2x+ ?=2cos 2x. 2? ? π 由 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z 得 kπ - 2 ≤x≤kπ ,k∈Z. π ? ? 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ ?,k∈Z. 2 ? ? 规律方法 解决三角函数图象与性质综合问题的方法:先将 y=f(x)化为 y= asin x+bcos x 的形式,然后用辅助角公式化为 y=Asin(ωx+φ)+b 的形式,再 借助 y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. 【训练 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π ,ω >0)为偶 π 函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 2 . ?π ? (1)求 f ? ?的值; ?8? ? π? (2)求函数 y=f(x)+f ?x+ ?的最大值及对应的 x 的值. 4? ? 解 (1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

? 3 ? 1 =2? sin(ωx+φ)- cos(ωx+φ)? 2 ?2 ? π? ? =2sin?ω x+φ- ?. 6? ? 因为 f(x)为偶函数, π π 2π 则 φ- 6 = 2 +kπ (k∈Z),所以 φ= 3 +kπ (k∈Z), 2π 又因为 0<φ<π ,所以 φ= 3 , π? ? 所以 f(x)=2sin?ω x+ ?=2cos ω x. 2? ? 由题意得 2π π =2·2 ,所以 ω=2. ω

π ?π ? 故 f(x)=2cos 2x.因此 f ? ?=2cos 4 = 2. 8 ? ? ? π? (2)y=2cos 2x+2cos 2?x+ ? 4? ?

π? ? =2cos 2x+2cos?2x+ ?=2cos 2x-2sin 2x 2? ? ?π ? =2 2sin? -2x?. ?4 ? π π 令 4 -2x=2kπ + 2 (k∈Z),y 有最大值 2 2, π 所以当 x=-kπ - 8 (k∈Z)时,y 有最大值 2 2.

[思想方法] 1.由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A,ω ,φ 的题型,常常以“五点法”中的 五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零 点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 2.解决三角函数的对称问题,特别应注意:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象坐标为(x,±A)的点与 x 轴垂直 的每一条直线均为其图象的对称轴, 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是 半个周期(或两个相邻平衡点间的距离). [易错防范] 1.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后 平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每 一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是 “角”变化多少. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω > 0)的单调区间的确定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体,若 ω<0,要先根 据诱导公式进行转化.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 ?x π ? 1.函数 f(x)= 3sin? - ?,x∈R 的最小正周期为 ?2 4 ? π A. 2 B.π C.2π 2π 解析 最小正周期为 T= =4π. 1 2 答案 D ( D.4π )

π 2.(2015· 济南模拟)将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数图象对应的表达式为 A.y=sin 2x C.y=cos 2x 解析 B.y=sin 2x+2 ( )

π? ? D.y=cos?2x- ? 4? ? π ? π? 将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移 个单位得到 y=cos 2?x- ?+1 4 4? ? A

=sin 2x+1,再向下平移 1 个单位得到 y=sin 2x,故选 A. 答案

3. (2014· 浙江卷)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象, 可以将函数 y= 2cos 3x 的图象 π A.向右平移12个单位 π C.向左平移12个单位 解析 π B.向右平移 4 个单位 π D.向左平移 4 个单位 ( )

π? ? ∵y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ? 4? ? π ? ? π?? = 2cos?3?x- ??,将 y= 2cos 3x 的图象向右平移12个单位即可得到 y= 2 ? ? 12?? ? ? π?? cos?3?x- ??的图象,故选 A. ? ? 12?? 答案 A

π π 4. (2014· 成都诊断)函数 f(x)=2sin(ωx+φ )(ω>0, - 2 <φ < 2 ) 的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是 ( π A.2,- 3 π C.4,- 6 解析 π B.2,- 6 π D.4, 3 )

2π ?11π 5π? 由图象知 f(x)的周期 T=2? ,ω>0,∴ω= - 12 ?=π,又 T= 12 ω ? ?

π π ?5π ? 2.由于 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0 ,- 2 <φ < 2 )的一个最高点为? ,2? ,故有 ? 12 ? 5π π π π π π 2? 12 +φ=2kπ+ 2 (k∈Z),即 φ=2kπ-3,又- 2 <φ< 2 ,∴φ=- 3 , 选 A. 答案 A π 5.(2014· 福建卷)将函数 y=sin x 的图象向左平移 2 个单位,得到函数 y=f(x)的图 象,则下列说法正确的是 A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 2 对称 ? π ? D.y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称 ? 2 ? π 解析 将函数 y=sin x 的图象向左平移 2 个单位,得到函数 y=f(x)的图象,则 ? π? ? π? y=f(x)=sin ?x+ ? = cos x .此函数为偶函数,周期为 2 π. 由于 f ?- ? = 2 ? ? ? 2? π ? π? ? π ? cos?- ?=cos 2 =0,所以 y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称,故选 D. ? 2? ? 2 ? 答案 D 二、填空题 π π? ? 6.将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω >0,- ≤φ < ?图象上每一点的横坐标缩短为 2 2? ? π 原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 6 个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 ?π ? f ? ?=______. ?6? ( )

?1 π? 即 f(x)=sin? x+ ?, 6? ?2 π 2 ?π? ?π π? ∴f ? ?=sin? + ?=sin 4 = 2 . ?6? ?12 6 ? 答案 2 2

π π? ? 7.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,- ≤φ ≤ ?的图象上的两个相邻的最高 2 2? ? 1? ? 点和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=________. ? ? 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2,可得 ?T?2 ?2? +(1+1)2= ? ?

2π π ?πx ? 2 2,解得 T =4 ,故 ω = T = 2 ,即 f(x)=sin ? +φ? ,又函数图象过点 2 ? ? 1 π 1 ? ? ? ? ?2,-2?,故 f(2)=sin? ?2+φ?=-sin φ=- , 2 ? ? ?2 ? π π π ?πx π? 又- 2 ≤φ≤ 2 ,解得 φ= 6 ,故 f(x)=sin? + ?. 6? ? 2 ?π x π ? 答案 sin? + ? 6? ? 2 8.(2014· 北京卷)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x) ?π π ? ?π ? ?2π ? ?π ? 在区间? , ?上具有单调性,且 f ? ?=f ? ?=-f ? ?,则 f(x)的最小正 6 2 2 3 ? ? ? ? ? ? ?6? 周期为________. ?π π? ∵f(x)在区间? , ?上具有单调性, 2? ?6 2π T π π ?π? ?2π? 所以2 ≥ 2 - 6 ,即 T≥ 3 ,又 f ? ?=f ? ?, ?2? ? 3 ? 解析 π 2π 2+ 3 π 2π 7π 所以 x= 2 和 x= 3 均不是 f(x)的对称轴,其对称轴应为 x= = 12 , 2 ?π? ?π? 又因为 f ? ?=-f ? ?, 2 ? ? ?6? ?π π? 且 f(x) 在区间 ? , ? 上具有单调性,所以 f(x) 的一个对称中心的横坐标为 2? ?6

π π 2+6 π 2 =3, ?7π π? 故函数 f(x)的最小正周期 T=4?? - 3 ?=π. ? 12 ? 答案 π 三、解答题 ? π? 9.(2015· 景德镇测试)已知函数 f(x)=4cos x?sin?x+ ?+a 的最大值为 2. 6? ?

(1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期; (2)在坐标系上作出 f(x)在[0,π ]上的图象. ? 3 ? ? π? 1 (1)f(x)=4cos xsin?x+ ?+a=4cos x?? sin x+ cos x?+a= 3sin 2x+ 6? 2 ? ?2 ? π? ? 2cos2x+a= 3sin 2x+cos 2x+1+a=2sin?2x+ ?+1+a 的最大值为 2,∴a 6? ? 2π =-1,最小正周期 T= 2 =π . 解 (2)列表: x π 2x+ 6 π? ? f(x)=2sin?2x+ ? 6? ? 画图如下: 0 π 6 1 π 6 π 2 2 5π 12 π 0 2π 3 3π 2 -2 11π 12 2π 0 π 13π 6 1

10.(2014· 湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满 足函数关系: π π f(t)=10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? ? 3 π 1 π ? (1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t? 12 2 12 ? ?2 π? ?π =10-2sin? t+ ?,又 0≤t<24, 12 3? ? π π π 7π π? ?π 所以 3 ≤12t+ 3 < 3 ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3? ?12 π? ?π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; 3? ?12 π? ?π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. 3? ?12 解 于是 f(x)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π? ?π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, 3? ?12 π? ?π 故有 10-2sin? t+ ?>11, 3? ?12 π? 1 ?π 即 sin? t+ ?<-2. 3? ?12 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 6 <12t+ 3 < 6 ,即 10<t<18. 所以在 10 时至 18 时实验室需要降温.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
π 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,|φ |< 2 )的图象在 y 轴上的截距为 3 ? ? 1,在相邻两最值点(x0,2),?x0+2,-2?(x0>0)上 f(x)分别取得最大值和最小 ? ? 值.若函数 g(x)=af(x)+b 的最大值和最小值分别为 6 和 2,则|a|+b 的值为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 )

解析

3? T ? 3 由题意知 A=2, 2=?x0+2?-x0=2, ? ? 2π 2π =3,又 ω>0,∴ω= 3 . |ω|

∴T=3,即

π ?2π ? ?,又函数 f(x)过点(0,1),代入得 2sin φ=1,而|φ|< , ∴f(x)=2sin? x + φ 2 ? 3 ? π ∴φ= 6 , ?2π π? ?2π π? ∴f(x)=2sin? x+ 6 ?,g(x)=af(x)+b=2asin? 3 x+ 6 ?+b. 3 ? ? ? ? ?2|a|+b=6, ?|a|=1, 由? 得? ∴|a|+b=5. ?-2|a|+b=2, ?b=4, 答案 A

π π? ? 12.(2014· 东北三省三校联考)函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ |< ?向左平移 6 个单位后 2? ? π? ? 是奇函数,则函数 f(x)在?0, ?上的最小值为 ( ) 2? ? 3 1 A.- 2 B.-2 1 3 C.2 D. 2 π π? ? 解析 函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|< ?向左平移 6 个单位后得到函数为 2? ? π π ? π? ? ? π? ? ? ? f ?x+ ?=sin?2?x+ ?+φ?=sin?2x+ +φ?, 因为此时函数为奇函数, 所以 3 6? 6? 3 ? ? ? ? ? ? π π +φ=kπ(k∈Z),所以 φ=- 3 +kπ(k∈Z).因为|φ|< 2 ,所以当 k=0 时, π π π π 2π π? ? φ=- 3 ,所以 f(x)=sin?2x- 3 ?.当 0≤x≤ 2 时,- 3 ≤2x- 3 ≤ 3 ,即当 ? ? π π π? 3 ? ? π? 2x- 3 =- 3 时,函数 f(x)=sin?2x- ?有最小值为 sin?- ?=- 2 . 3? ? ? 3? 答案 A

π? ? ?π ? ?π ? ?π π ? 13.已知 f(x)=sin?ω x+ ?(ω>0),f ? ?=f ? ?,且 f(x)在区间? , ?上有最 3? 3? ? ?6? ?3? ?6 小值,无最大值,则 ω=________. π π 6+3 π 解析 依题意,x= 2 = 4 时,y 有最小值, π π 3π π? ?π ∴sin? ·ω+ ?=-1,∴ 4 ω+ 3 =2kπ+ 2 (k∈Z). 3? ?4

π 14 ?π π? ∴ω=8k+ 3 (k∈Z),因为 f(x)在区间? , ?上有最小值,无最大值,所以 3 6 3 ? ? π π 14 - 4 ≤ ,即 ω≤12,令 k=0,得 ω= 3 .

ω
14 3

答案

14.已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,再 π 把所得到的图象向左平移 6 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y ? π π? =g(x)在区间?- , ?上的值域. ? 6 12? 解 (1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1

π? ? = 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x- ?, 6? ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π , π π π 由- 2 +2kπ ≤2x- 6 ≤ 2 +2kπ ,k∈Z, π π ∴- 6 +kπ ≤x≤ 3 +kπ ,k∈Z, π ? π ? ∴f(x)的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 3 ? 6 ? 1 (2)函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,得到 π? ? y=2sin?4x- ?; 6? ? π ? ? π? π? 再把所得到的图象向左平移 6 个单位长度,得到 g(x)=2sin?4?x+ ?- ?= 6? 6? ? ? π? ? 2sin?4x+ ?=2cos 4x, 2? ? ? π π? ? 2π π ? 当 x∈?- , ?时,4x∈?- , ?, 3 3? ? 6 12? ? π 所以当 x=0 时,g(x)max=2,当 x=- 6 时,g(x)min=-1. ? π π? ∴y=g(x)在区间?- , ?上的值域为[-1,2]. ? 6 12?

第 6 讲 正弦定理、余弦定理及解三角形
最新考纲 1.掌握正弦定理、 余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题;

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题.

知 识 梳 理 1.正、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半 径,则 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2- 2bccos__A; 内容 a b c sin A=sin B=sin C=2R b2=c2+a2- 2cacos__B; c2=a2+b2- 2abcos__C (1)a=2Rsin A,b=2Rsin__B,c=2Rsin_C; 常见 变形 a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 cos B = ; (3)a∶b∶c=sin__A∶sin__B∶sin__C; 2ac 2 2 2 (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C= cos C=a +b -c 2ab csin A cos A=

1 1 1 abc 1 2.S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r(r 是三角形内切圆 的半径),并可由此计算 R,r. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方叫 仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1).

(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角. 如 B 点的 方位角为 α(如图 2). (3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东 30°,北 偏西 45°等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“?”) (1)在△ABC 中,A>B 必有 sin A>sin B.(√) (2)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,则 A=60°或 120°.(√) (3)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为 α +β=180°.(?) (4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关 π? ? 系,其范围均是?0, ?.(?) 2? ? 2.(2014· 江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a 2sin2B-sin2A =2b,则 的值为( sin2A 1 1 7 A.9 B.3 C.1 D.2 解析 ) 精彩 PPT 展示

2sin2B-sin2A 2b2-a2 ?b?2 由正弦定理知, = a2 =2?a? -1, sin2A ? ?

b 3 又知 3a=2b,所以a=2, 2sin2B-sin2A 7 ?3?2 ?2? -1= ,故选 D. = 2 ? 2 sin A 2 ? ? 答案 D

3.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线 航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方 向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点 间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 解析 ) B.10 3海里 D.20 2海里

如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB BC AB = , sin 30° sin 45°

=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得 解得 BC=10 2(海里). 答案 A

4.(2014· 福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积 等于________. 解析 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A,

所以 12=AB2+16-2?AB?4?cos 60°,解得 AB=2, 1 1 所以 S△ABC=2·AB·AC·sin A=2?2?4?sin 60°=2 3. 答案 2 3

5.(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中,acos A=bcos B,则这个三角形的 形状为________. 解析 由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B,

即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= 2 , 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形

考点一

正、余弦定理的简单运用

【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 a=2 3,b= 6,A=45°,则 c=________. (2)若(a+b+c)(a-b+c)=ac,则 B=________. 深度思考 已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余

弦定理来解决,不妨两种方法你都体验一下吧! 2 6? 2 bsin A 1 在△ABC 中,由正弦定理得 sin B= a = =2,因为 2 3

解析

(1)法一

b<a,所以 B<A,所以 B=30°,C=180°-A-B=105°,sin C=sin 105° =sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°= 6+ 2 4 = 3+3. 2 2 6+ 2 4 .

asin C 故 c= sin A =

2 3?

法二

在△ABC 中, 根据余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A, 即 c2-2 3c-6

=0,所以 c= 3±3.因为 c>0,所以 c= 3+3. (2)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 1 由余弦定理的推论得 cos B= 2ac =-2, 2π 所以 B= 3 . 2π 答案 (1)3+ 3 (2) 3 规律方法 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,

或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两 个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限

制. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c2=2a2 +2b2+ab,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 )

B.直角三角形 D.等边三角形

(2)(2014· 绍 兴 模 拟 ) 在 △ABC 中 , A = 60 ° , b = 1 , S △ ABC = 3 , 则 a+b+c =________. sin A+sin B+sin C 解析 a2+b2-c2 1 (1)由 2c =2a +2b +ab, 得 a +b -c =-2ab, 所以 cos C= 2ab
2 2 2 2 2 2

1 = 2ab =-4<0,所以 90°<C<180°,即△ABC 为钝角三角形. 1 c 3 (2)∵S△ABC=2bcsin A=2? 2 = 3,c=4, 1 ∴a2=b2+c2-2bccos A=12+42-2?4?1?2=13, ∴a= 13, a b c ∵sin A=sin B=sin C=2R(R 是△ABC 的外接圆的半径.) a+b+c ∴ =2R sin A+sin B+sin C a =sin A= 答案 考点二 13 2 39 = 3 . sin 60°

1 -2ab

2 39 (1)A (2) 3 正、余弦定理的综合运用

【例 2】 (2014· 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已 π 6 知 a=3,cos A= 3 ,B=A+ 2 . (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中,由题意知,sin A= 1-cos2A

3 =3, π 因为 B=A+ 2 , π? 6 ? 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= 3 . 2? ? 6 3? 3 asin B 由正弦定理,得 b= sin A = =3 2. 3 3 π π? 3 ? (2)由 B=A+ 2 ,得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- 3 . 2? ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B) 3 ? 6 6 1 3? =sin Acos B+cos Asin B= 3 ??- ?+ 3 ? 3 =3. ? 3? 1 1 1 因此△ABC 的面积 S=2absin C=2?3?3 2?3 3 2 = 2 . 规律方法 有关三角形面积问题的求解方法: (1)灵活运用正、 余弦定理实现边

角转化;(2)合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、两角和与差 的正弦、余弦公式、二倍角公式等. 【训练 2】 (2014· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,且 a+b+c=8. 5 (1)若 a=2,b=2,求 cos C 的值; B A 9 (2)若 sin Acos2 2 +sin Bcos2 2 =2sin C,且△ABC 的面积 S=2sin C,求 a 和 b 的值. 解 7 (1)由题意可知 c=8-(a+b)=2.
2 2 2

2 ?7?2 2 ? 5? ? ? 2 + -? ? a +b -c ?2? ?2? 由余弦定理得 cos C= 2ab = 5 2?2?2

1 =-5. B A (2)由 sin Acos2 2 +sin Bcos2 2 =2sin C 可得: sin A? 1+cos B 1+cos A + sin B ? =2sin C, 2 2

化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C, 所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. 1 9 由于 S=2absin C=2sin C,所以 ab=9, 从而 a2-6a+9=0, 解得 a=3,b=3. 考点三 正、余弦定理在实际问题中的应用

【例 3】 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向距 A 为( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉 命以 10 3海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出 所需要的时间(注: 6≈2.449).



设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则有

CD=10 3t(海里),BD=10t(海里). 在△ABC 中, ∵AB=( 3-1)海里, AC=2 海里, ∠BAC=45°+75°=120°, 根据余弦定理,可得 BC= ( 3-1)2+22-2?2?( 3-1)cos 120°= 6(海里). 根据正弦定理,可得

ACsin 120° sin∠ABC= = BC

3 2? 2 2 =2. 6

∴∠ABC=45°,易知 CB 方向与正北方向垂直, 从而∠CBD=90°+30°=120°. 在△BCD 中,根据正弦定理,可得 sin∠BCD= BDsin∠CBD 10t?sin 120° 1 = =2, CD 10 3t

∴∠BCD=30°,∠BDC=30°, ∴BD=BC= 6(海里), 6 则有 10t= 6,t= 10 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 故缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 规律方法 解三角形应用题的两种情形: (1)实际问题经抽象概括后, 已知量与

未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问 题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作 出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出 未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 【训练 3】 (2014· 新课标全国Ⅰ卷)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山 的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角 ∠CAB=45°以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

解析

在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以 AC=100 2(m).

在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定 理,得 AC AM = ,因此 AM=100 3(m). sin 45° sin 60°

MN 在 Rt△MNA 中,AM=100 3 m,∠MAN=60°,由AM =sin 60°,得 MN=

3 100 3? 2 =150(m). 答案 150 解三角形中的向量法

微型专题

解三角形问题是历年高考的必考内容, 其实质是将几何问题转化为代数问题及 方程问题.解答这类问题的关键是正确分析边角关系,依据题设条件合理地设 计解题程序,将三角形中的边角关系进行互化.解三角形问题的一般解题策略 有:公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等. 【例 4】 已知△ABC 顶点的坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(5,0),则 sin A 的值为________. 点拨 解析 先把坐标用向量来表示,再利用向量的数量积求解即可. → =(-3,-4),AC → =(2,-4), 因为AB

→ ·AC → =-6+16=10, 所以AB → |= (-3)2+(-4)2=5, |AB → |= 22+(-4)2=2 5. |AC → AC → 10 5 → ,AC → 〉= AB· 所以 cos〈AB = =5. → |· → | 10 5 |AB |AC 5 即 cos A= 5 ,因为 0<A<π, 2 5 所以 sin A= 5 . 2 5 答案 5 点评 本题的求解如果不采用向量法,难度就加大了,需要先作出图形,求得

角 A 一邻边上的高,不仅计算量加大,题目也变得复杂.而采用向量法就很轻 易地实现几何问题代数化,计算量大大降低,很容易求得结果.

[思想方法] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具, 其主要作用

是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地,利用公式 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径),可将边转化为 角的三角函数关系,然后利用三角函数知识进行化简,其中往往用到三角形内 角和定理 A+B+C=π .利用公式 cos A= = b2+c2-a2 a2+c2-b2 , cos B = , cos C 2bc 2ac

a2+b2-c2 2ab ,可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系,然后充分利用代

数知识求边. [易错防范] 1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现 一解、两解,所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解). 2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限 制. 3.解三角形实际问题时注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内 角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错,把这些角与要求解的三角 形的内角之间的关系弄错.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1 1.(2014· 北京西城区模拟)在△ABC 中,若 a=4,b=3,cos A=3,则 B=( π A. 4 解析 π B. 3 π C. 6 2π D. 3 1 2 2 4 3 1-9= 3 , 由正弦定理, 得sin A=sin B, )

1 因为 cos A=3, 所以 sin A=

π π 2 所以 sin B= 2 ,又因为 b<a,所以 B< 2 ,B= 4 ,故选 A. 答案 A

3 2.(2015· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为 3 A. 2 解析 B. 3 C.2 3 D.2 ( )

1 1 3 3 因为 S=2?AB?ACsin A=2?2? 2 AC= 2 ,所以 AC=1,所以 BC2

=AB2+AC2-2AB· ACcos 60°=3,所以 BC= 3. 答案 B π π ,C= , 6 4 ( B. 3+1 D. 3-1 )

3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= 则△ABC 的面积为 A.2 3+2 C.2 3-2 解析

b c 由正弦定理sin B=sin C及已知条件,得 c=2 2,

2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2? 2 + 2 ? 2 = 4 . 2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2?2?2 2? 4 = 3+1. 答案 B

4.(2014· 长沙模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则“a= 2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

依题意,由 a=2bcos C 及正弦定理,得 sin A=2sin Bcos C,sin(B+C)

-2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Bcos C=sin(C-B)=0,C=B,△ ABC 是等腰三角形; 反过来, 由△ABC 是等腰三角形不能得知 C=B, a=2bcos C.因此, “a=2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件,故选 A. 答案 A

5.(2014· 四川卷)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于 ( )

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m 解析

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

如图, ∠ACD=30°, ∠ABD=75°, AD=60 m, AD 60 = =60 3(m), tan ∠ACD tan 30°

在 Rt△ACD 中,CD=

AD 60 60 在 Rt△ABD 中,BD= = = = tan ∠ABD tan 75° 2+ 3 60(2- 3)(m), ∴BC=CD-BD=60 3-60(2- 3)=120( 3-1)(m). 答案 C

二、填空题 6.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2- b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. a2+c2-b2 3 解析 由余弦定理,得 2ac =cos B,结合已知等式得 cos B·tan B= 2 , π 2π 3 ∴sin B= 2 ,∴B= 3 或 3 . π 2π 答案 3 或 3 7.(2014· 广东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos a C+ccos B=2b,则b=________. 解析 a2+b2-c2 a2+c2-b2 由已知及余弦定理得 b· 2ab +c· 2ac =2b,化简得 a=2b,

a 则b=2. 答案 2 1 8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cos C=4, 则 sin B=________. 解析 1 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4,即 c=2.由 cos C=4得 sin C

15 b c bsin C 2 15 15 = 4 .由正弦定理sin B=sin C,得 sin B= c =2? 4 = 4 (或者因为 15 c=2,所以 b=c=2,即三角形为等腰三角形,所以 sin B=sin C= ). 4 15 答案 4 三、解答题 9.(2014· 湖南卷)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1, CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 (2)若 cos∠BAD=- 14 , 21 sin ∠CBA= 6 ,求 BC 的长. 解 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得

AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= . 2AC?AD 故由题设知,cos∠CAD= 7+1-4 2 7 = 7 . 2 7

(2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= 7 ,cos∠BAD=- 14 , 所以 sin ∠CAD= 1-cos 2∠CAD= 21 ?2 7?2 ? = 1-? 7 , ? 7 ?

sin ∠BAD= 1-cos 2∠BAD= 于是 sin α =sin(∠BAD-∠CAD)

? 7?2 3 21 1-?- ? = 14 . ? 14 ?

=sin ∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin ∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7? = 14 ? 7 -?- ?? 7 ? 14 ? 3 =2. 在△ABC 中,由正弦定理, BC AC = . sin α sin ∠CBA

AC?sin α 故 BC= = sin ∠CBA

3 7? 2 =3. 21 6

10.(2014· 安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3, c=1,A=2B. (1)求 a 的值; π? ? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ? 解 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· 2ac . 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 = =- 2bc 6 3. 1 2 2 由于 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos 2A= 1-9= 3 . (2)由余弦定理得 cos A= π π 2 2 π? 2 ? 1? 2 4- 2 ? 故 sin?A+ ?=sin Acos 4 +cos Asin 4 = 3 ? 2 +?-3?? 2 = 6 . 4? ? ? ?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.(2014· 东北三省四市联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c, b c + ≥1,则角 A 的范围是 ( ) a+c a+b π? π? ? ? ?π ? ?π ? A.?0, ? B.?0, ? C.? ,π ? D.? ,π ? 3? 6? ? ? ?3 ? ?6 ? b c 解析 由 + ≥1,得 b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简得 b2+c2 a+c a+b 满足

b2+c2-a2 1 π 1 -a ≥bc,即 2bc ≥2,即 cos A≥2(0<A<π),所以 0<A≤ 3 ,故选
2

A. 答案 A

12.(2015· 石家庄模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 满足 csin A= 3acos C,则 sin A+sin B 的最大值是 A.1 C. 3 解析 B. 2 D.3 由 csin A= 3acos C,得 sin Csin A= 3sin Acos C,又在△ABC 中 sin A ( )

π ≠0,所以 sin C= 3cos C,tan C= 3,C∈(0,π),所以 C= 3 .所以 sin A+ π? 2π? 3 ?π ? 3 ? ? sin B=sin A+sin? +A?=2sin A+ 2 cos A= 3sin?A+ ?,A∈?0, ?,所 6? 3 ? ?3 ? ? ? π 以当 A= 3 时,sin A+sin B 取得最大值 3,故选 C. 答案 C

13.在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 解析 AB 由正弦定理知sin C= 3 BC = , sin 60° sin A

∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又 A+C=120°,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C) =2(sin C+2sin 120°cos C-2cos 120°sin C) =2(sin C+ 3cos C+sin C) =2(2sin C+ 3cos C)=2 7sin(C+α), 3 其中 tan α= 2 , α是第一象限角, 由于 0°<C<120°, 且 α 是第一象限角, 因此 AB+2BC 有最大值 2 7. 答案 2 7

14.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理, ①

得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又 A=π -(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由①,②和 C∈(0,π )得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π ),所以 B= 4 . 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. 由已知及余弦定理,得 π 4=a2+c2-2accos 4 .又 a2+c2≥2ac, 故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2



因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

阶段回扣练 4

三角函数、解三角形

(建议用时:90 分钟)
一、选择题 1.下列函数中周期为π 且为偶函数的是 π? π? ? ? A.y=sin?2x- ? B.y=cos?2x- ? 2? 2? ? ? ? π? ? π? C.y=sin?x+ ? D.y=cos?x+ ? 2? 2? ? ? π? ? 解析 y=sin?2x- ?=-cos 2x 为偶函数,且周期是π,故选 A. 2? ? 答案 A π? 2 ? 2.(2014· 包头市测试)已知 sin 2α =3,则 sin2?α + ?= ( ) 4? ? 1 1 3 5 A.3 B.2 C.4 D.6 π? 1 1 5 ? 解析 依题意得 sin2?α+ ?=2(sin α+cos α)2=2(1+sin 2α)=6,故选 D. 4? ? 答案 D ) ( )

3.(2015· 合肥检测)函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x 图象的一条对称轴方程是( π A.x=-12 5π C.x= 12 π B.x= 3

2π D.x= 3 π? 2π π? ? ?2π? ? ?=-2,因此 解析 依题意得 f(x)=2sin?2x+ ?,且 f? ?=2sin?2? 6? 3 +6? ? ? 3 ? ? 2π 其图象关于直线 x= 3 对称,故选 D. 答案 D

π cos2x 4.(2015· 天津南开模拟)当 0<x< 4 时,函数 f(x)= 的最小值是 cos xsin x-sin2x ( 1 A.4 1 B.2 C.2 D.4 )

解析 f(x)=

π 当 0<x< 4 时,0<tan x<1, cos2x 1 . 2 = cos xsin x-sin x tan x-tan2x

1 1 1 设 t=tan x,则 0<t<1,y= = ≥ =4,当且仅当 t=1 t-t2 t(1-t) ?t+1-t?2 ? ? ? 2 ? 1 -t,即 t=2时,等号成立. 答案 D

5.(2014· 南昌模拟)已知函数 f(x)=cos ω x(x∈R,ω >0)的最小正周期为π ,为 π? ? 了得到函数 g(x)=sin?ω x+ ?的图象,只要将 y=f(x)的图象 4? ? π π A.向左平移 8 个单位长度 B.向右平移 8 个单位长度 π π C.向左平移 4 个单位长度 D.向右平移 4 个单位长度 解析 依题意得 2π ( )

ω

=π,ω=2,f(x)=cos 2x,

π? π? ? ?π ? ? g(x)=sin?2x+ ?=cos? -2x?=cos?2x- ?= 4? 4? ? ?4 ? ? π ? ? π?? cos?2?x- ??,因此只需将 y=f(x)=cos 2x 的图象向右平移 8 个单位长度. 8 ?? ? ? 答案 B 6.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45°,沿倾斜角为 30°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 60°,则山的高度 BC 为( A.500( 3+1)m C.500( 2+1)m 解析 B.500 m D.1 000 m )

过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=

30°, 故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°-150°- 60°=150°.又∠BAD=45°-30°=15°, 故∠ABD=15°,由正弦定理,得 AB= 1 000sin 150° =500( 6+ 2)(m) sin 15° ADsin∠ADB sin∠ABD



所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45°=500( 3+1)(m). 答案 A

π π? ? 7. (2015· 湖北七市(州)联考)将函数 g(x)=3sin?2x+ ?图象上所有点向左平移 6 个 6? ? 1 单位,再将各点横坐标缩短为原来的2,得到函数 f(x),则 ( ) π? ? A.f(x)在?0, ?上单调递减 4? ? ?π 3π ? B.f(x)在? , ?上单调递减 4 ? ?4 π? ? C.f(x)在?0, ?上单调递增 4? ? ?π 3π ? D.f(x)在? , ?上单调递增 4 ? ?4 π 解析 依题意,将函数 g(x)的图象向左平移 6 个单位长度得到的曲线方程是 y 1 ? ? π? π? =3sin?2?x+ ?+ ?=3cos 2x,再将各点横坐标缩短为原来的2,得到的曲线 6? 6? ? ? π? ? 方程是 y=3cos 4x,即 f(x)=3cos 4x,易知函数 f(x)=3cos 4x 在?0, ?上单调 4? ? 递减,故选 A. 答案 A

5 8.(2014· 乌鲁木齐诊断)在△ABC 中,AC?cos A=3BC· cos B,且 cos C= 5 ,则 A= A.30° 解析 B.45° C.60° ( D.120° )

由题意及正弦定理得 sin Bcos A=3sin Acos B,

π 5 2 5 ∴tan B=3tan A,∴0<A,B< 2 ,又 cos C= 5 ,故 sin C= 5 ,∴tan C=2, 而 A+B+C=180°, ∴tan(A+B)=-tan C=-2,即 tan A+tan B =-2,将 tan B=3tan A 代入,得 1-tan Atan B

4tan A 1 =-2,∴tan A=1 或 tan A=-3,而 0°<A<90°,则 A=45°, 1-3tan2A 故选 B. 答案 B π? ? 9.已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x-m 在?0, ?上有两个零点,则 m 的取值范 2? ?

围是 A.(1,2) 解析 B.[1,2) C.(1,2]

(

)

D.[1,2]

利用三角函数公式转化一下,

π? ? 得 f(x)=2sin?2x+ ?-m, 6? ? π? ? 它的零点是函数 y1=2sin?2x+ ?和 y2=m 的交点所对应的 x 的值,∴要在 6? ? π? ? ?0, ?上有两个零点,y1 和 y2 就要有两个交点, 2? ? π? ? π? ? 结合函数 y1=2sin?2x+ ?在?0, ?上的图象,知当 y2=m 在[1,2)上移动时, 6 2? ? ? ? 两个函数有两个交点. 答案 B

10. (2014· 天津卷)已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω>0), x∈R.在曲线 y=f(x) π 与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 3 ,则 f(x)的最小正周期 为 π A. 2 解析 2π B. 3 C.π D.2π ( )

π? π? ? ? f(x) = 3sin ω x + cos ω x = 2sin ?ωx+ ? ,由 2sin ?ωx+ ? = 1 ,得 6? 6? ? ? π π? 1 ? sin?ωx+ ?=2, 设 x1, x2 分别为距离最小的相邻交点的横坐标, 则 ωx1+ 6 = 6? ? π π 5π 2π π 2kπ+ 6 ,ωx2+ 6 =2kπ+ 6 (k∈Z),两式相减,得 x2-x1= = ,所 3ω 3 π? ? 以 ω=2,故 f(x)=2sin?2x+ ?的最小正周期为π,故选 C. 6? ? 答案 C 二、填空题 π? 7 2 ? ?π π ? 11.已知 sin?α + ?= 10 ,α ∈? , ?,则 cos α =________. 4? 2? ? ?4 解析 π ?π 3π? ?π π? ∵α∈? , ?,∴α+ 4 ∈? , ?, 2? 4 ? ?4 ?2 π? ? 1-sin2?α+ ?=- 4? ? ?7 2?2 ? 1-? ? 10 ?

π? ? ∴cos?α+ ?=- 4? ?

2 =- 10 , π π? π? π? ?? ? ∴cos α=cos??α+ ?- ?=cos?α+ ?cos 4 + 4? 4? 4? ? ?? π ? π? 2 7 2 2 3 ? 2? sin?α+ ?sin 4 =?- ?? 2 + 10 ? 2 =5. 4? ? ? 10 ? 答案 3 5

12.(2014· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b- 1 c=4a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 解析 1 由已知及正弦定理得 2b=3c,因为 b-c=4a,不妨设 b=3,c=2,所 b2+c2-a2 1 =- 2bc 4.

以 a=4,所以 cos A= 答案 1 -4

13 . 如 图 所 示 的 是 函 数

y = Asin(ωx +

π? ? φ)?A>0,ω >0,|φ |< ?图象的一部分,则其函 2? ? 数解析式是________. T π ? π? π ? ? 由图象知 A=1, 得 T=2π, 则 ω=1, 所以 y=sin(x 4= 6 -?- 3 ?= 2 , π ?π ? +φ).由图象过点? ,1?,可得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z), ?6 ? π π 又|φ|< 2 ,所以 φ= 3 ,所以所求函数解析式是 ? π? y=sin?x+ ?. 3? ? ? π? 答案 y=sin?x+ ? 3? ? 解析 14.(2014· 江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小 值是________. 解析 由已知 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b=2c.又由余弦定

a2+b2-c2 理得 cos C= 2ab = ?a+ 2b?2 ? a2+b2-? 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab ? 2 ? = ≥ 2ab 8ab 8ab



6- 2 a 6 2 2 4 ,当且仅当 3a =2b ,即b= 3 时等号成立, 6- 2 4 .

所以 cos C 的最小值为 6- 2 4

答案

15.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, a = 2 ,且 (2 + b)(sin A - sin B) = (c - b)sin C ,则△ABC 面积的最大值为 ________. 解析 由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c,即(a+b)· (a-b)=(c-b)c,即 b2 b2+c2-a2 1 π 2 = ,又 A ∈ (0 ,π ) ,所以 A = 2bc 2 3 ,又 b

+c2-a2=bc,所以 cos A=

+c2-a2=bc≥2bc-4,当且仅当 b=c=2 时,等号成立,即 bc≤4,故 S△ABC 1 1 3 =2bcsin A≤2?4? 2 = 3,则△ABC 面积的最大值为 3. 答案 三、解答题 1 16.(2014· 福建卷)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)-2. π 2 (1)若 0<α< 2 ,且 sin α = 2 ,求 f(α)的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 (1)因为 0<α< 2 ,sin α = 2 , 2 所以 cos α = 2 . 解 法一 2? 2 2? 1 1 所以 f(α)= 2 ? + ?-2=2. 2? ?2 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x-2 1+cos 2x 1 1 =2sin 2x+ -2 2 1 1 =2sin 2x+2cos 2x 3

π? 2 ? = 2 sin?2x+ ?, 4? ? 2π 所以 T= 2 =π . π π π 由 2kπ - 2 ≤2x+ 4 ≤2kπ + 2 ,k∈Z, 3π π 得 kπ - 8 ≤x≤kπ + 8 ,k∈Z. 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + 8 ?,k∈Z. 8 ? ? 1 法二 f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1+cos 2x 1 1 =2sin 2x+ -2 2 1 1 =2sin 2x+2cos 2x π? 2 ? = 2 sin?2x+ ?. 4? ? π π 2 (1)因为 0<α< 2 ,sin α = 2 ,所以 α= 4 , 从而 f(α)= π? 2 ? 2 3π 1 sin?2α + ?= sin = . 2 4 2 4? 2 ?

2π (2)T= 2 =π . π π π 由 2kπ - 2 ≤2x+ 4 ≤2kπ + 2 ,k∈Z, 3π π 得 kπ - 8 ≤x≤kπ + 8 ,k∈Z. 3π π? ? ?,k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - 8 ,kπ + 8 ? ? π 17.(2014· 北京卷)如图,在△ABC 中,∠B= 3 ,AB=8, 点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 1 cos∠ADC=7. (1)求 sin ∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 解 1 (1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC=7,

4 3 所以 sin ∠ADC= 7 . 所以 sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin ∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin ∠B 4 3 1 1 3 = 7 ?2-7? 2 3 3 = 14 . (2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8? 14 AB?sin ∠BAD BD= = =3. sin ∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos∠B 1 =82+52-2?8?5?2=49. 所以 AC=7. 18. (2014· 浙江卷)在△ABC 中, 内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c.已知 a≠b, c= 3,cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A=5,求△ABC 的面积. 1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 3 - = 2 sin 2A- 2 sin 2B,即 2 sin 2A- 2 2 1 3 1 2cos 2A= 2 sin 2B-2cos 2B, π? π? ? ? sin?2A- ?=sin?2B- ?. 6? 6? ? ? 解 (1)由题意得 由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π ), π π 得 2A- 6 +2B- 6 =π , 2π π 即 A+B= 3 ,所以 C= 3 . 4 a c 8 (2)由 c= 3,sin A=5,sin A=sin C,得 a=5. 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A=5,

故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=

4+3 3 10 ,

8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S=2acsin B= 25 . π 19 .已知函数 f(x)= 3sin 2 ω x- cos 2 ω x 的图象关于直线 x= 3 对称,其中 ? 1 5? ω∈?-2,2?. ? ? (1)求函数 f(x)的解析式; ?B π ? (2)在△ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A, B, C 的对边, 锐角 B 满足 f ? + ? ? 2 12? 2 5 = 3 ,b= 2,求△ABC 面积的最大值. π? ? 解 (1)因为 f(x)= 3sin 2ω x-cos 2ω x=2sin?2ω x- ?的图象关于直线 x= 6? ? π 3 对称, π π π 3k 所以 2ω? 3 - 6 =kπ + 2 (k∈Z),所以 ω= 2 +1. 1 3k 5 ? 1 5? 因为 ω∈?-2,2?,所以-2< 2 +1<2, ? ? 所以-1<k<1(k∈Z),所以 k=0,ω =1, π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- ?. 6? ? π 2 5 5 ?B π ? (2)f? + ?=2sin B= 3 ,所以 sin B= 3 ,因为 B 为锐角,所以 0<B< 2 , ? 2 12? a2+c2-b2 a2+c2-b2 2 2 4 所以 cos B=3,因为 cos B= 2ac ,所以 2ac =3,所以3ac=a2+c2 -2≥2ac-2,所以 ac≤3,当且仅当 a=c= 3时,ac 取到最大值 3, 1 1 5 5 所以△ABC 面积的最大值为2acsin B=2?3? 3 = 2 .


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