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整式的乘法


整式的乘法
一、 教学内容分析:
北师大版课标初中数学七年级数学上册第一章整式的运算第 6 节第一课时。 “整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法, 整章教 材都突出了学生的自主探索过程, 依据原有的知识基础, 或运用乘法的各种运算规律, 或借助直观而又形象的图形面积,得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及 因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验,完全有利于学生形成 合理的知识结构,提高数学思维能力。

二、 学生学习情况分析
在很多人的印象中,代数除了繁琐的计算就是空洞的符号,是一门内容枯燥、脱 离实际的课程,事实上,代数是一门具有丰富内容并且与现实世界、学生生活、其他 科学联系十分密切的学科,同时代数也是一门基础的数学学科,它为数学本身和其他 学科的研究提供了语言、方法和手段。它的符号表示手段,深刻的揭示了存在于一类 实际问题中的共性,有助于人们对现实世界的认识;它的运用代数式、表格、图像等 多种表示的方法,不仅为解决实际问题提供了重要的策略,而且为数学交流提供了有 效的途径;它的模型化的方法、表示的思想、方程的思想、函数的思想以及推理的方 法等也为数学本身和其他学科的研究提供了基础。 本节在呈现形式上力求突出: 整式运算产生的实际背景——使学生经历实际问题 “符号化”的过程,发展符号感;有关运算法则的探索过程——为探索有关运算法则 设置了归纳、类比等活动;对算理的理解和基本运算技能的掌握——设置恰当数量和 难度的符号运算,同时要求学生说明运算的根据。 在整式的乘法教学中,教师应该关注以下三点: 第一、 注重对运算法则的探索过程以及对算理的理解, 发展有条理的思考与表达。 教科书为学生探索运算法则提供了较为丰富的素材,教学中不要简单的要求学生 记忆各种运算法则,而要关注学生对法则的探索过程。同时,要重视学生对算理的理 解,让学生尝试说出每一步运算的道理,有意识的培养他们有条理的思考和语言表达 能力。例如,对于“多项式乘法运算法则”的学习,老师要鼓励学生通过对同一面积 的不同表达和乘法分配率的运用两个方面,探索多项式相乘的运算法则,并体会乘法 分配律的重要作用及转化思想。 第二、注重在代数学习中发展学生的推理能力。 《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》要求学生“能通过观察、实验、归 纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例;能清晰有条理

地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据;在与他人交流的过程中,能运用 数学语言、合乎逻辑的进行讨厌与质疑” ,也就是数学教学应培养学生推理能力。也 许有人认为平面几何对发展学生逻辑推理能力有着重要作用, 因此它就是培养学生推 理能力的主要载体。事实上,逻辑推理只是推理中的一个方面,数学学习和研究还包 括观察、实验、归纳、类比等合情推理的另一个方面;即使是逻辑推理能力的培养, 也不应局限于平面几何,甚至并不局限于数学学科。总之数学学习的各个领域,包括 代数、空间与图形、统计与概率等,都应该对全面发展学生的推理能力起到应有的作 用。 第三、保证基本的运算技能,避免复杂的运算。 符号运算对数学来说是必不可少的,基本运算技能是学生学习本章内容的一个重 要目标。因此,教学中必须要适当地、分阶段地提供一些必要的训练,使学生能准确 地进行基本的符号运算,并能明白每一步的算理。

三、设计理念:
在教学中先对所学知识进行回顾,再从实际问题导入,让学生自己动手试一试, 主动探索;在教学过程中引导学生参照引例解决方法,教师先不给出单项式与单项式 相乘的运算法则,而是让学生先独立思考,再相互交流,然后由学生自己小结出如何 进行单项式的乘法,在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般,从具体到抽象的 认识过程.在这一过程中,要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践 中获得单项式与单项式相乘的运算法则,从而构建新的知识体系.在此基础上要求学 生用语言叙述这个性质,这有利于提高学生数学语言的表述能力。

四、教学目标:
(一)教学知识点 1.经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程,会进行单项式与单项式相乘 的运算。 2.理解单项式与单项式相乘的算理,体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思 想。 (二)能力训练要求 1.发展有条理的思考和语言表达能力。 2.培养学生转化的数学思想。 (三)情感与价值观要求 在探索单项式与单项式相乘的过程中,利用乘法的运算律将问题转化,使学生从 中获得成就感,培养学习数学的兴趣。

五、教学重点和难点:
1、教学重点:单项式与单项式相乘的运算法则及其应用。 2、教学难点:灵活地进行单项式与单项式相乘的运算。

六、教学过程
第一部分——情景引入 为支持北京申办 2008 年奥运会, 一位画家设计了一幅长 6000 米、 “奥运龙” 名为 的宣传画。受他的启发,京京用两张同样大小的纸,精心制作了两幅画,如图 1-16 所示,第一幅画的画面大小与纸的大小相同,第二幅画的画面在纸的上、下方各留有
1 8

x 米的空白。

图 1-16 (1)第一幅画的画面面积是 (2)第二幅画的画面面积是 米 2; 米 2。

【设计意图】 :初中学生已经具有一定的生活经验和部分的科学知识,因此选择 感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材,此情景设计应该有助于学生对知识的发 生发展的理解。这个生活问题很好地引入了单项式乘单项式的运算,并为单项式乘 单项式的运算法则探索做了铺垫。 第一部分——例题讲解 [例 1]计算:(1)(2xy2)·( 1 xy);
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(2)(-2a2b3)·(-3a);

【分析】 :让学生现学现卖,用上面的计算法则就可以得到答案。 第二部分——复习回顾乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质来探讨单项式乘 单项式的法则 让学生自主思考如何解决问题:结果可以表达的更简单些吗? 【分析】 :x·(mx) =m·(x·x)——乘法交换律、结合律 =mx2——同底数幂乘法运算性质 (mx)·( 3 x)
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=( 3 m)(x·x)——乘法交换律、结合律
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= 3 mx2——同底数幂乘法运算性质
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类似地,3a2b·2ab3 和(xyz)·y2z 也可以表达得更简单些吗?

【学生自主探究】 :3a2b·2ab3 =(3×2)·(a2·a)·(b·b3)——乘法交换律、结合律 =6a3b4——同底数幂乘法运算性质 (xyz)·y2z

=x·(y·y2)·(z·z)——乘法交换律、结合律 =xy3z2——同底数幂乘法的运算性质 【教师总结】 :单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂相乘,其余字母 连同它的指数不变,作为及的因式。 第二部分——例题讲解 [例 2]计算:(1)2ab(5ab2+3a2b); (2)( 2 ab2-2ab)· 1 ab;
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2

【分析】 :让学生现学现卖,用上面的计算法则就可以得到答案。 第三部分——引入新课 为支持北京申办奥运会, 京京受画家的启发曾精心制作了两幅画, 我们已欣赏过。 宁宁也不甘落后,也作了一幅画,如图 1-17:

图 1-17 (1)宁宁也作了一幅画, 所用纸的大小与京京的相同, 她在纸的左右两边各留了 1 x
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米的空白,这幅画的画面面积是多少? 一方面,可以先表示出画面的长与宽,由此得到画面的面积为 为 。 这两个结果表示同一画面的面积,所以 (2)如何进行单项式与多项式相乘的运算? 【学生自主探究】 :根据题意可知画面的长为(mx- 1 x- 1 x)即(mx- 1 x)米,宽为 x
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另一方面,也可以用纸的面积减去空白处的面积,由此得到画面的面积 。

4

米,所以画面的面积为 x(mx- 1 x)米 2。
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【分析】 :先由学生回答问题,教师再引导学生计算所要求的面积,根据面积公式, 获得单项式乘多项式的式子。 【设计意图】 :根据以前所学过的图形面积求法,求出所需求出的面积,进而得到单 项式与多项式的乘法表达式 问题 2:x(mx- 1 x)与 mx2- 1 x2 都表示画面的面积,它们是什么关系呢?
4 4

【学生自主探究】 :乘法分配律 a(b+c)=ab+ac.所以 x(mx- 1 x)就需用 x 去乘括号里的
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两项即 mx 和- 1 x,再把它们的积相加,即 x(mx- 1 x)=x·(mx)+x·(- 1 x)=mx2- 1 x2。
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【设计意图】 :根据之前学过的乘法分配律让学生自己动手找出解决问题的方法,进 而探索单项式乘多项式的法则。 【教师总结】 :单项式乘多项式就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把 所得的积相加。 第三部分——探究多项式乘多项式 利用下面长方形卡片中的任意两个,拼成一个更大的长方形。

图 1-18 [生]用上面卡片中的任意两个拼出如下图形:

图 1-19 [师]你能用不同的形式表示上面四个图形的面积吗? 【学生自主探究】 :图 A 的面积可以表示为(n+a)m,也可以表示为 nm+am; 图 B 的面积可以表示为 n(m+b),也可以表示为 nm+nb; 图 C 的面积可以表示为 b(n+a),也可以表示为 bn+ab; 图 D 的面积可以表示为 a(m+b),也可以表示为 am+ab。 由上面的同一图形不同的面积表示方程可得: (n+a)m=nm+am; b(n+a)=bn+ab; n(m+b)=nm+nb; a(m+b)=am+ab。

问题 2 如果再把 A、B、C、D 四个图形进一步摆拼,会得到比它们更大的长方形。你 能用不同的形式表示这个图形的面积吗?并进行比较。

【学生自主探究】 :上面的图形可以看成长为(m+b)、宽为(n+a)的长方形,其面积是 (m+b)(n+a);上面的图形还可以看成图 A 和图 C 两个图形组成的,其面积是 m(n+a)+b(n+a);还可以看成是四个小长方形的组合,其面积是 mn+ma+bn+ba 这三种 方法表示同一图形的面积。因此,它们是相等的,即 (m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba. 【设计意图】 :.通过拼更大的长方形,对比同一面积的不同表示方式,使学生对多项

式与多项式的乘法有一个直观认识,再从代数角度去探索多项式与多项式乘法的运 算法则。 【教师总结】 :多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每 一项,再把所得的积相加。 第三部分——例题讲解 [例 3]计算:(1)(1-x)(0.6-x); 试一试,计算:(a+b+c)(c+d+e) 【教师讲解】 :(a+b+c)(c+d+e) =a(c+d+e)+b(c+d+e)+c(c+d+e) =ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce 第四部分——巩固练习 课本随堂练习一(1)(2)(3)(4) 、 、 、 【设计意图】 :练习一的设计与例一衔接,主要目的是帮助学生巩固多项式乘多项式 的方法。 第五部分——小结与作业 学生自我总结 作业:1.课本 P28,习题 1.10 第 1、2 题. 2.归纳总结整式的乘法运算,并写出体会、经验在全班交流。 (2)(2x+y)(x-y); 【分析】 :让学生现学现卖,用上面的计算法则就可以得到答案。

七、教学反思
这部分内容是在学习了有理数的四则混合运算、 幂的定义、 合并同类项、 去括号、 整式的加减、幂的有关运算法则内容的基础上进行的,它是前面知识的延伸,具有承 前启后的作用,承前是继整式的加减之后而学习,启后是它是学习整式的除法、分式 的运算、函数、二次方程的解法学习以及进行整式的加、减、乘、除综合运算的基础。 整式的乘法这一部分内容主要分成三部分内容。 第一部分是单项式乘单项式, 这一部分内容主要是要注意运算的法则依据是乘法 的交换律,分成三步计算:一是各个单项式的系数相乘,二是同底数幂相乘,三是单 独的字母照抄。这部分的计算中往往会混合了积的乘方,要注意运算的顺序,有乘方 的要先算乘方,后算乘法,积的乘方应注意复习巩固。 第二部分是单项式乘多项式,这一部分内容是第一部分的延伸,其依据是乘法分 配律,要注意有乘方运算时的运算顺序以及符号的确定,还要注意分配律的复习。 第三部分内容是多项式乘多项式,注意带符号运算以及不要漏乘。混合运算是一个难 点,在混合运算中注意括号运算,不要漏括号。 在整个这一部分的内容教学中, 难点与易错点主要是: 符号不能正确的判断, 一、 其中主要是没有注意带符号运算或者没有注意整体思想,漏掉括号或者去括号错误。

二、同时注意整体思想的渗透,作为整体的相反数的的变形,根据指数的奇偶性来判 断符号。三、混合运算中符号及各种运算法则混淆不清,运用还不够熟练。对这些问 题的解决除了加强基本法则运用之外,还应对于综合题目多加练习,以达到巩固提高 的目的。

指导老师姓名 李生彪





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总评意见:

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