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2014年上海高考理科数学试题解析(完美PDF版)


2014 年全国普通高等学校招生统一考试

上海
考生注意:

数学试卷(理工农医类)

1. 本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂 (选择题) 或写 (非 选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.

3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对 后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 函数 y ? 1 ? 2cos (2 x) 的最小正周期是 【解析】 :原式= ? cos 4 x , T ?
2

.

2? ? ? 4 2

2. 若复数 z ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 ? z ? 【解析】 :原式= z ? z ? 1 ? z ? 1 ? 5 ? 1 ? 6
2

? ?

1? ?? z ? z?

.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 3. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 9 5
2



.

【解析】 :椭圆右焦点为 (2, 0) ,即抛物线焦点,所以准线方程 x ? ?2 4. 设 f ( x ) ? ?

? x,
2 ?x ,

x ? (?? , a ), x ? [a , ? ?).

若 f (2) ? 4 ,则 a 的取值范围为

.

【解析】 :根据题意, 2 ? [a, ??) ,∴ a ? 2 5. 若实数 x , y 满足 xy ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为 【解析】 : x2 ? 2 y 2 ? 2 ? x ? 2 y ? 2 2 6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面夹角的大小为 三角函数值表示). 【解析】 :设圆锥母线长为 R ,底面圆半径为 r ,∵ S侧 ? 3S底 ,∴ ? ? r ? R ? 3? ? r ,即
2

2

2

.

(结果用反

1 1 R ? 3r ,∴ cos ? ? ,即母线与底面夹角大小为 arccos 3 3
整理人 谭峰

7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? (3 cos ? ? 4 sin ? ) ? 1 ,则 C 与极轴的交点到极点的距离 是 .

【解析】 :曲线 C 的直角坐标方程为 3 x ? 4 y ? 1 ,与 x 轴的交点为 ( , 0) ,到原点距离为 8. 设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim ? a3 ? a4 ? ? ? an ? ,则 q ?
n??

1 3

1 3
.

【解析】 :a1 ?

a3 a q2 ?1 ? 5 5 ?1 ? 1 ? q2 ? q ?1 ? 0 ? q ? , ∵ 0 ? q ? 1, ∴q ? 1? q 1? q 2 2
2 ? 1 2

9. 若 f ( x ) ? x 3 ? x

,则满足 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是
2 3 ? 1 2

.

【解析】 : f ( x) ? 0 ? x ? x

,结合幂函数图像,如下图,可得 x 的取值范围是 (0,1)

10. 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 【解析】 :P ? (结果用最简分数表示).

8 1 ? 3 C10 15

11. 已知互异的复数 a , b 满足 ab ? 0 ,集合 ?a , b? ? a 2 , b 2 ,则 a ? b ?
2 2

?

?

.

【解析】 :第一种情况: a ? a , b ? b ,∵ ab ? 0 ,∴ a ? b ? 1 ,与已知条件矛盾,不符; 第二种情况: a ? b 2 , b ? a 2 ,∴ a ? a 4 ? a 3 ? 1 ,∴ a 2 ? a ? 1 ? 0 ,即 a ? b ? ?1 ; 12. 设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间 [0 , 2? ] 上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则

x1 ? x2 ? x3 ?
【解析】 :化简得 2sin( x ? 即 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ?

.

? ) ? a ,根据下图,当且仅当 a ? 3 时,恰有三个交点, 3

? 7? ? 2? ? 3 3

整理人

谭峰

13. 某游戏的得分为1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,随机变量 ? 表示小白玩该游戏的得分. 若 E (? ) ? 4.2 , 则小白得 5 分的概率至少为 .

【解析】 :设得 i 分的概率为 pi ,∴ p1 ? 2 p2 ? 3 p3 ? 4 p4 ? 5 p5 ? 4.2 , 且 p1 ? p2 ? p3 ? p4 ? p5 ? 1 ,∴ 4 p1 ? 4 p2 ? 4 p3 ? 4 p4 ? 4 p5 ? 4 ,与前式相减得:

?3 p1 ? 2 p2 ? p3 ? p5 ? 0.2 ,∵ pi ? 0 ,∴ ?3 p1 ? 2 p2 ? p3 ? p5 ? p5 ,即 p5 ? 0.2
14. 已知曲线 C : x ? ? 4 ? y , 直线 l : x ? 6 . 若对于点 A( m , 0) , 存在 C 上的点 P 和 l 上 的 Q 使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为 【解析】 : 根据题意,A 是 PQ 中点, 即m ?
2

??? ? ????

?

.

xP ? xQ 2

?

xP ? 6 , ∵ ?2 ? xP ? 0 , ∴ m ? [2, 3] 2

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 设 a , b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的 ( ) (A) 充分条件. (C) 充分必要条件. 【解析】 :B 16. 如图, 四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱, P i (i ? 1, 2 , ? , 8) 是上底面上其余的
P2 P1 B P3 P4 P6 P5 P7 P8

(B) 必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.

??? ? ???? 八个点,则 AB ? AP i (i ? 1, 2, ? , 8) 的不同值的个
数为 (A) 1 . (C) 4 . ( ) (B) 2 . (D) 8 .

A

【解析】 :根据向量数量积的几何意义, AB ? AP i 等于 AB 乘以 AP i 在 AB 方向上的投影, 而 APi 在 AB 方向上的投影是定值, AB 也是定值,∴ AB ? AP i 为定值 1 ,∴选 A 17. 已知 P ( k 为常数) 上两个不同的点, 则关于 x 和 1 ( a1 , b 1) 与 P 2 ( a2 , b2 ) 是直线 y ? kx ? 1

??? ? ????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ????

整理人

谭峰

?a x ? b1 y ? 1, y 的方程组 ? 1 的解的情况是 ( ?a2 x ? b2 y ? 1
(A) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总是无解. (C) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之恰有两解.



(B) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总有唯一解. (D) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之有无穷多解.

【解析】 :由已知条件 b1 ? ka1 ? 1 , b2 ? ka2 ? 1 ,

D?

a1 a2

b1 b2

? a1b2 ? a2b1 ? a1 (ka2 ? 1) ? a2 (ka1 ? 1) ? a1 ? a2 ? 0 ,∴有唯一解,选 B

?( x ? a ) 2 , x ? 0, ? 18. 设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x ) 的最小值,则 a 的取值范围为( 1 ? x ? ? a , x ? 0. ? x
(A) [ ?1 , 2] . (B) [ ?1 , 0] . (C) [1 , 2] . (D) [0 , 2] .



【解析】 :先分析 x ? 0 的情况,是一个对称轴为 x ? a 的二次函数,当 a ? 0 时,

f ( x) min ? f (a ) ? f (0) , 不符合题意, 排除 AB 选项; 当 a ? 0 时, 根据图像 f ( x) min ? f (0) ,
即 a ? 0 符合题意,排除 C 选项;∴选 D; 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 底面边长为 2 的正三棱锥 P -ABC ,其表面展开图是 三角形 P 1P 2P 3 ,如图. 求 △ P 1P 2P 3 的各边长及此三棱锥的 体积 V .
A C P3

P1

【解析】 :根据题意可得 P 1 , B, P 2 共线, ∵ ?ABP 1 ? ?BAP 1 ? ?CBP 2 , ?ABC ? 60? ,

B

P2

∴ ?ABP 1 ? ?BAP 1 ? ?CBP 2 ? 60? ,∴ ?P 1 ? 60? ,同理 ?P 2 ? ?P 3 ? 60? , ∴△ P 1P 2P 3 是等边三角形, P ? ABC 是正四面体,所以△ P 1P 2P 3 边长为 4; ∴V ?

2 2 2 ? AB 3 ? 12 3

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
整理人 谭峰

设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a . 2x ? a
?1

(1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f

( x) ;

(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 【解析】 : (1)∵ a ? 4 ,∴ f ( x ) ? x ? y ,∴ 2 x ? ,∴ x ? log 2 , 2 ?4 y ?1 y ?1
∴ y ? f ?1 ( x) ? log 2

4x ? 4 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) x ?1

2 x ? a 2? x ? a (2)若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x ) ? f (? x ) ,∴ x ? , 2 ? a 2? x ? a
整理得 a(2 x ? 2? x ) ? 0 ,∴ a ? 0 ,此时为偶函数

2x ? a 2? x ? a 若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x ) ? ? f (? x ) ,∴ x ? ? ?x , 2 ?a 2 ?a
整理得 a ? 1 ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ,此时为奇函数 当 a ? (0,1) ? (1, ??) 时,此时 f ( x ) 既非奇函数也非偶函数
2

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,某公司要在 A 、 B 两地连线上的定点
D

其中 D 为顶端,AC 长 35 C 处建造广告牌 CD , 米, CB 长 80 米. 设点 A 、 B 在同一水平面上, 从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ? 和 ? . (1) 设 计 中 CD 是 铅 垂 方 向 . 若 要 求
?
A

?
C
B

? ? 2? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)?
(2) 施工完成后, 现在实测得 ? ? 38.12? ,? ? 18.45? , 求 CD CD 与铅垂方向有偏差. 的长(结果精确到 0.01 米). 【解析】 : (1)设 CD 的长为 x 米,则 tan ? ?

x x ? , tan ? ? ,∵ ? ? ? 2 ? ? 0 , 35 80 2

2 tan ? x ∴ tan ? ? tan 2 ? ,∴ tan ? ? ,∴ ? 2 1 ? tan ? 35

x 80 ? 160 x , x2 6400 ? x 2 1? 6400 2

解得 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 ,∴ CD 的长至多为 28.28 米 (2)设 DB ? a, DA ? b, DC ? m , ?ADB ? 180? ? ? ? ? ? 123.43? ,

整理人

谭峰



a AB 115sin 38.12? ? ,解得 a ? ? 85.06 , sin ? sin ?ADB sin123.43?

∴ m ? 802 ? a 2 ? 160a cos18.45? ? 26.93 ,∴ CD 的长为 26.93 米

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y 2 ) , 记? ? ( ax1 ? by1 ? c )( ax2 ? by2 ? c ) . 若? ? 0 ,则称点 P 1 , P 2 被直线 l 分割. 若曲线 C 与直 线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1 , P 2 被直线 l 分割,则称直线 l 为曲线 C 的一条分割 线. (1) 求证:点 A(1, 2) , B(?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分割; (2) 若直线 y ? kx 是曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的分割线,求实数 k 的取值范围; (3) 动点 M 到点 Q(0 , 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为1 , 设点 M 的轨迹为曲线 E . 求证: 通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分割线. 【解析】 : (1)将 A(1, 2), B (?1, 0) 分别代入 x ? y ? 1 ,得 (1 ? 2 ? 1) ? (?1 ? 1) ? ?4 ? 0 ∴点 A(1, 2), B (?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分割 (2)联立 ?

?x2 ? 4 y2 ? 1 ? y ? kx

,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 1 ,依题意,方程无解,

∴ 1 ? 4 k 2 ? 0 ,∴ k ? ? (3)设 M ( x, y ) ,则
2

1 1 或k ? 2 2

x 2 ? ( y ? 2)2 x ? 1 ,
2 2

∴曲线 E 的方程为 [ x ? ( y ? 2) ] x ? 1



当斜率不存在时,直线 x ? 0 ,显然与方程①联立无解, 又P 1 (1, 2), P 2 ( ?1, 2) 为 E 上两点,且代入 x ? 0 ,有? ? ?1 ? 0 , ∴ x ? 0 是一条分割线; 当斜率存在时,设直线为 y ? kx ,代入方程得: ( k ? 1) x ? 4kx ? 4 x ? 1 ? 0 , 令 f ( x ) ? ( k 2 ? 1) x 4 ? 4kx3 ? 4 x 2 ? 1 ,则 f (0) ? ?1 ,
2 4 3 2

f (1) ? k 2 ? 1 ? 4k ? 3 ? (k ? 2)2 , f (?1) ? k 2 ? 1 ? 4k ? 3 ? (k ? 2)2 ,
当 k ? 2 时, f (1) ? 0 ,∴ f (0) f (1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 0 在 (0,1) 之间存在实根, ∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 当 k ? 2 时, f (0) f (?1) ? 0 ,即 f ( x ) ? 0 在 (?1, 0) 之间存在实根,
整理人 谭峰

∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 ∴直线 y ? kx 与曲线 E 始终有公共点,∴不是分割线, 综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线 x ? 0 是 E 的分割线

23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N , a1 ? 1 . (1) 若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, S n ? a1 ? a2 ? ? ? an . 若 求 q 的取值范围; (3) 若 a1 , a2 , ? , ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及

1 3

*

1 Sn ? Sn ?1 ? 3Sn , n ? N* , 3

k 取最大值时相应数列 a1 , a2 , ? , ak 的公差.
【解析】 : (1)依题意, a2 ? a3 ? 3a2 ,∴

1 3 综上可得 3 ? x ? 6 ;

2 1 ? x ? 6 ,又 a3 ? a4 ? 3a3 ,∴ 3 ? x ? 27 , 3 3

(2)由已知得 an ? q n ?1 ,又

1 1 a1 ? a2 ? 3a1 ,∴ ? q ? 3 3 3 1 n 当 q ? 1 时, S n ? n , S n ? Sn ?1 ? 3Sn ,即 ? n ? 1 ? 3n ,成立 3 3
当1 ? q ? 3 时, Sn ?

qn ?1 1 1 q n ? 1 q n ?1 ? 1 qn ?1 , S n ? Sn ?1 ? 3Sn , 即 ? ?3 , q ?1 3 3 q ?1 q ?1 q ?1



?3q n ?1 ? q n ? 2 ? 0 1 q n ?1 ? 1 ? n ? 3 ,此不等式即 ? n ?1 ,∵ q ? 1 , n 3 q ?1 q ? 3 q ? 2 ? 0 ?

∴ 3q n ?1 ? q n ? 2 ? q n (3q ? 1) ? 2 ? 2q n ? 2 ? 0 , 对于不等式 q n ?1 ? 3q n ? 2 ? 0 ,令 n ? 1 ,得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得1 ? q ? 2 , 又当1 ? q ? 2 时, q ? 3 ? 0 , ∴ q n ?1 ? 3q n ? 2 ? q n ( q ? 3) ? 2 ? q (q ? 3) ? 2 ? (q ? 1)(q ? 2) ? 0 成立, ∴1 ? q ? 2

整理人

谭峰



1 ? qn 1 1 1 ? q n 1 ? q n ?1 1 ? qn 1 ? q ? 1 时, Sn ? , S n ? Sn ?1 ? 3Sn , 即 ? ?3 , 3 1? q 3 3 1? q 1? q 1? q

?3q n ?1 ? q n ? 2 ? 0 即 ? n ?1 , 3q ? 1 ? 0, q ? 3 ? 0 n ?q ? 3q ? 2 ? 0
∵ 3q n ?1 ? q n ? 2 ? q n (3q ? 1) ? 2 ? 2q n ? 2 ? 0

q n ?1 ? 3q n ? 2 ? q n (q ? 3) ? 2 ? q (q ? 3) ? 2 ? (q ? 1)(q ? 2) ? 0
1 ? q ? 1 时,不等式恒成立 3 1 综上, q 的取值范围为 ? q ? 2 3
∴ (3)设公差为 d ,显然,当 k ? 1000, d ? 0 时,是一组符合题意的解, ∴ kmax ? 1000 ,则由已知得 ∴?

1 ? (k ? 2)d ? 1 ? (k ? 1)d ? 3[1 ? (k ? 2)d ] , 3

? (2k ? 1)d ? ?2 2 2 ,当 k ? 1000 时,不等式即 d ? ? ,d ? ? , 2k ? 1 2k ? 5 ?(2k ? 5)d ? ?2
2 k (k ? 1)d , a1 ? a2 ? ... ? ak ? k ? ? 1000 , 2k ? 1 2

∴d ? ?

∴ k ? 1000 时, d ?

2000 ? 2k 2 ?? , k (k ? 1) 2k ? 1

解得1000 ? 999000 ? k ? 1000 ? 999000 ,∴ k ? 1999 , ∴ k 的最大值为1999 ,此时公差 d ?

2000 ? 2k 1998 1 ?? ?? k (k ? 1) 1999 ? 1998 1999

整理人

谭峰


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