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宁阳一中高二数学(理科)下学期期末考试试卷


宁阳一中高二数学(理科)下学期期末模拟试卷
注意:选择题答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,填空题、解答题答案写在答题卷上。 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求) 1、已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1   2 在复平面上对应的点位于 ( · z A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

3 4 2、若 An ? 6Cn ,则 n 的值为(



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3、 市场上供应的灯泡中, 甲厂产品占 70%, 乙厂产品占 30%, 甲厂产品的合格率是 95%, 乙厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( ) A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285 答案:A
4、某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数

f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x ?80 ) 2 200

,则下列命题不正确的是(



A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学标准差为 10 答案:B 5.如果 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 的方差为 3,那么 2 (a1 ? 3) .2 (a2 ? 3) . 2 (a3 ? 3) .2 (a4 ? 3) .2 (a5 ? 3) .2 (a6 ? 3) 的方差是( )

A.0 B.3 C.6 D.12 答案:D 6、某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码,每位上的数字可在 0 到 9 这 10 个数字中选取,该人 记得箱子的密码 1,3,5 位均为 0,而忘记了 2,4 位上的数字,只要随意按下 2,4 位上的数字, 则他按对 2,4 位上的数的概率是( ) A.

2 5

B.

1 5
2

C.

1 10

D.

1 100

答案:D 7.若关于 x 的方程 x ? (1 ? 2i) x ? 3m ? i ? 0 有实根,则实数 m 等于 A. 答案 A 8、设 a 、 b 、 ? 为整数 (β>0) ,若 a 和 b 被 β 除得的余数相同,则称 a 和 b 对 β 同余,记 为
第 1 页 共 6 页

1 12

B.

1 i 12

C. ?

1 12

D. ?

1 i 12

1 2 3 20 ,已知 a ? 1 ? C20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 22 ? ??? C20 ? 219 , b ? a(mod10) ,则 b 的值可以 a ? b(modβ )

是 A.2010 答案:B B.2011 C.2008 D.2009

9、如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列:1,3, 3,4,6,5,10,?,记此数列的前 n 项之和为 Sn ,则 S21 的值为( A.66 C.295 答案:D B.153 D.361 )

10.设随机变量 ? ~ N (0,1) ,记 ?( x) ? P(? ? x) ,则 P(?1 ? ? ? 1) 等于 A. 2?(1) ? 1 C. 答案:A 11.函数 y ? B. 2?(?1) ? 1 D. ?(1) ? ?(?1)





? (1) ? ? (?1) 2

2( x ? a) 的图象如右图所示,则 ( x ? a)2 ? b A. a ? (0,1), b ? (0,1) B. a ? (0,1), b ? (1, ??)
C. a ? (?1,0), b ? (1, ??) D. a ? (?1,0), b ? (0,1)

( D )

答案:D 12、有 A.B.C.D.E.F6 个集装箱,准备用甲.乙.丙三辆卡车运送,每台卡车一次运两个.若卡 车甲不能运 A 箱,卡车乙不能运 B 箱,此外无其它任何限制;要把这 6 个集装箱分配给这 3 台卡车 运送,则不同的分配方案的种数为 A.168 答案:D B.84 ( ) C.56 D.42

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卷上)

5 ? 13、已知?x cos? ? 1?5 展开式中x 2的系数与 x ? ? 的展开式中 3的系数相等,则 ? ? _ x cos ? ? ? 4?
14、 已知函数 f ( x) ? x ? 3x及y ? f ( x)上一点P(1,?2),过点P作直线l. 则使直线 l和y ? f (x) 相切
3

4

第 2 页 共 6 页

且切点异于 P 的直线方程为



2 解答:设过 P(1,?2)的直线l与y ? f ( x)切于另一点 x0 , y0 ),由f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3知 (
3 2 ? 2 ? ( x0 ? 3x0 ) ? (3x0 ? 3)(1 ? x0 ), 3 2 即x0 ? 3x0 ? 2 ? 3( x0 ? 1)(x0 ? 1),

1 解得x0 ? 1, 或x0 ? ? , 故所求直线的斜率为 : 2 1 9 9 k ? 3( ? 1) ? ? ,? y ? (?2) ? ? ( x ? 1), 4 4 4 9 1 即 y ? g ( x) ? ? x ? . 4 4
15.观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16, 36-16=20?,这些等式反映了自然数间的某种规律, 设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表示为 . 2 2 答案:

(n ? 2) ? n ? 4(n ? 1)(n ? N ? )

16、.甲乙两地都位于长江下游,根据天气预报记录知,一年中下雨天甲市占 20%,乙市占 18%,两 市同时下雨占 12%,则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为__________. 答案:. 0.6

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)求证: (1) a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ; (2) 6 + 7 >2 2 + 5 . 18、 (1)已知复数 z 满足 z ? z ? 2iz ? 4 ? 2i ,求复数 z. (2)已知 ( 数项。

x?

2 n ) 的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56:3,求展开式中的常 x2

19、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录 了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12

昼夜温差 x(°C) 就诊人数 y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,
第 3 页 共 6 页

再用被选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (Ⅱ)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程

? ? bx ? a ; y
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的 线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? (参考公式:

b?

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

?x
i ?1

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

2

i

? nx

2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx )

2

19.【解】 :(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中选 取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可能出现的 ????????(2 分) 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 ??????????(3 分) 所以 P(A) ?

5 1 ? 15 3

????????????????????(5 分) ??????????????(7 分)

(Ⅱ)由数据求得 x ? 11, y ? 24 由公式求得 b ?

18 7 30 7

????????????????????(9 分) ????????????????(10 分)

再由 a ? y ? bx ? ?

y 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? y (Ⅲ)当 x ? 10 时, ? ?

18 30 x? 7 7

????????? (11 分)

150 150 ? 22 |? 2 ; , | ????????? (12 分) 7 7 78 78 y ? 14 |? 2 同样, 当 x ? 6 时, ? ? , | ???????????(13 分) 7 7
所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ???????????(14 分)

20、 14 分) ( 如图, 面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M , 可按下面方法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若

D

C

M

n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计值为

m S ,假设正 n
A B

方形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投 掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. (I)求 X 的均值 EX ;

???? (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在区间 (?0.03, ) 内的概
第 4 页 共 6 页

率. 附表: P(k ) ?

?C
t ?0

k

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2424

k

2425 0.0423

2574 0.9570

2575 0.9590

P(k )

0.0403

20、解: 每个点落入 M 中的概率均为 p ?

1 . 4

??????????2 分

依题意知 X ~ B ?10000, ? .??????????4 分 (Ⅰ) EX ? 10000 ?

? ?

1? 4?

1 ? 2500 .??????????8 分 4

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 ?

? ?

X ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ?

X ? ? P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) 10000 ? ? ?
2574

t ? 2426 2574

?C

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
t ? 0.25t ? 0.7510000?t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?1 t ?0 2425

?

t ? 2426

?C

t 10000

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .??????????14 分
21、 (本小题满分 12 分)已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1) n-1)且 a2=6, (a 设 bn=

a +n(n∈N*).求{b }的通项公式.
n n

21.【解】当 n=1 时,由(n-1)an+1=(n+1) n-1),得 a1=1. (a 当 n=2 时,a2=6 代入得 a3=15.同理 a4=28,再代入 bn=an+n,有 b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,???,由此猜想 bn=2n2. 要证 bn=2n2,只需证 an=2n2-n. ???4 分 ①当 n=1 时,a1=2×12-1=1 成立. ???5 分 ②假设当 n=k 时,ak=2k2-k 成立. 那么当 n=k+1 时,由(k-1)ak+1=(k+1) k-1),得 a k+1= (a =

k ?1 (ak-1) k ?1

k ?1 k ?1 (2k2-k-1)= (2k+1) (k-1)=(k+1) (2k+1)=2(k+1)2-(k+1). k ?1 k ?1

∴当 n=k+1 时,结论成立。???11 分 由①、②知 an=2n2-n,从而 bn=2n2. ???12 分 22、 (14 分)已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设 2

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两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . 22、解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 , x

??????????2 分

由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) .

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 3a 2 ? 即? 由 x0 ? 2a ? 2 x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . 即有 b ?

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a .??????????4 分 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
1

当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .
1

? 故 h(t ) 在 ? 0, e 3 ? 为增函数,在 ? e 3, ∞ ? 为减函数, ? ? ? ? ? ?
1

?

1

?

?

1

?

? 于是 h(t ) 在 (0, ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ?
?
(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

?

2 3 3 e .??????????7 分 2

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) ,??????????8 分 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) .??????????10 分 x x

? 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ∞) 为增函数,

? 于是函数 F ( x) 在 (0, ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 .
故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) .??

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