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广东省湛江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


广东省湛江市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={3,4,5},则?UA=() A.{1,2,6} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5, 6} D.? 2. (5 分)倾斜角等于 45°,在 y 轴上的截距等于 2 的

直线方程式() A.y=﹣x﹣2 B.y=﹣x+2 C.y=x﹣2 3. (5 分)函数 f(x)= A.(0.e) 的定义域是() B.(0,e] C.[e,+∞) ) ,则 f(2)=() C.﹣2 D.2 D.(e,+∞)

D.y=x+2

4. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , A.﹣ B.

5. (5 分)一个棱长为 1 的正方形的顶点都在球面上,则这个球面的表面积是() A.π B.3π C.4π D.12π 6. (5 分)使函数 f(x)=2 ﹣x 有零点的区间是() A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,0)
2 2 2 2 x 2

D.(0,1)

7. (5 分)圆 x +y +2x+8y﹣8=0 与圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣1=0 的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.内含 8. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD1 与 BA1 所成的角为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9. (5 分)一个几何体的三视图尺寸如图,则该几何体的表面积为()

A.4+8

B.20
2 2

C.4+4

D.12

10. (5 分)已知圆的方程式 x +y =36,记过点 P(1,2)的最长弦和最短弦分别为 AB、CD, 则直线 AB、CD 的斜率之和等于() A.﹣1 B. C.1 D.﹣

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. (5 分)在空间直角坐标系中,点 A(1,2,﹣1)和坐标原点 O 之间的距离|OA|=.

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(﹣3)=.

13. (5 分)由直线 2x+y﹣4=0 上任意一点向圆(x+1) +(y﹣1) =1 引切线,则切线长的最 小值为. 14. (5 分)下列五个命题中: ①函数 y=loga(2x﹣1)+2015(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,2015) ; ②若定义域为 R 函数 f(x)满足:对任意互不相等的 x1、x2 都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,则 f(x)是减函数; 2 2 ③f(x+1)=x ﹣1,则 f(x)=x ﹣2x; ④若函数 f(x)= 是奇函数,则实数 a=﹣1;

2

2

⑤若 a=

(c>0,c≠1) ,则实数 a=3.

其中正确的命题是. (填上相应的序号) .

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)计算:

(1)

(2)4

+π ﹣ln

0

+lg4﹣lg



16. (12 分)已知点 A(﹣3,0) ,B(3,﹣3) ,C(1,3) . (1)求过点 C 且和直线 AB 平行的直线 l1 的方程; (2)若过 B 的直线 l2 和直线 BC 关于直线 AB 对称,求 l2 的方程. 17. (14 分)如图,在四棱锥 O﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60°, OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,P 为 CD 的中点. (1)求证:CD⊥平面 MAP; (2)求证:MP∥平面 OBC; (3)求三棱锥 M﹣PAD 的体积.

18. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点. (1)求证:直线 BD1∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 BDD1B1; (3)求 CP 与平面 BDD1B1 所成的角大小.

19. (14 分)已知:以点 轴交于点 O、B,其中 O 为原点,

为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y

(1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 20. (14 分)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4) ,对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x) ,且有 最小值 . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x(t∈R)在区间[0,1]上的最小值; (3)是否存在实数 m,使得在区间[﹣1,3]上函数 f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方? 若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

广东省湛江市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={3,4,5},则?UA=() A.{1,2,6} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5,6} D. ? 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 集合. 由全集 U 及 A,求出 A 的补集即可. 解:∵全集 U={1,2, 3,4,5,6},集合 A={3,4,5},

∴?UA={1,2,6}, 故选:A. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)倾斜角等于 45°,在 y 轴上的截距等于 2 的直线方程式() A.y=﹣x﹣2 B.y=﹣x+2 C.y=x﹣2 D.y=x+2 考点: 直线的斜截式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用斜截式即可得出. 解答: 解:∵倾斜角等于 45°,∴斜率 k=tan45°=1. 又在 y 轴上的截距等于 2 的直线方程式为 y=x+2. 故选:D. 点评: 本题考查了斜截式方程,属于基础题. 3. (5 分)函数 f(x)= A.(0.e) 的定义域是() C.[e,+∞) D.(e,+∞)

B.(0,e]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数有意义,只需满足 ,解此不等式可得函数的定义域

解答: 解:函数 f(x)=

的定义域的定义域为:

解得 0<x≤e. 故函数的定义域为: (0,e], 故选:B 点评: 本题考查对数函数的图象和性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意 合理地进行等价转化.

4. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , A.﹣ B. C . ﹣2

) ,则 f(2)=() D.2

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数 y=f(x)的图象过点( , 解答: 解:设幂函数 y=f(x)=x , 其图象过点( , ∴ = , ) ,
a

) ,求出函数的解析式,计算 f(2)即可.

解得 a= , ∴f(x)= = ;

∴f(2)= . 故选:B. 点评: 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题,是基础题目. 5. (5 分)一个棱长为 1 的正方形的顶点都在球面上,则这个球面的表面积是() A.π B.3π C . 4π D.12π 考点: 专题: 分析: 即可. 解答: 球的体积和表面积. 计算题;空间位置关系与距离. 设出正方体的棱长,求出正方体的体对角线的长,就是球的直径,求出球的表面积 解:设正方体的棱长为:1,正方体的体对角线的长为: ,就是球的直径,

∴球的表面积为:S2=4π(

) =3π.

2

故选:B. 点评: 本题考查球的表面积,正方体的外接球的知识,仔细分析,找出二者之间的关系: 正方体的对角线就是球的直径,是解题关键,本题考查转化思想,是中档题. 6. (5 分)使函数 f(x)=2 ﹣x 有零点的区间是() A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,0) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意先判断函数 f(x)=2 ﹣x 在其定义域上连续,再求函数值,从而确定零点所 在的区间. x 2 解答: 解:函数 f(x)=2 ﹣x 在其定义域上连续, f(0)=1>0,f(﹣1)= ﹣1<0; 故 f(0)f(﹣1)<0; 故选 C. 点评: 本题考查了函数的零点判定定理的应用,属于基础题. 7. (5 分)圆 x +y +2x+8y﹣8=0 与圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣1=0 的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.内含 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 本题主求出两圆的圆心和半径,即可判断两圆的位置关系. 2 2 2 2 解答: 解:两圆的标准方程为(x+1) +(y+4) =25, (x﹣2) +(y﹣2) =9, 圆心坐标为 C1(﹣1,﹣4) ,半径 R=5,圆心坐标为 C2(2,2) ,半径 r=3, 圆心距离 C1C1= = ,
2 2 2 2 x 2 x 2

D.(0,1)

∵R+r=8,R﹣r=2, ∴R﹣r<C1C2<R+r, 即两圆相相交, 故选:A 点评: 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,根据圆心距离和半径之间的关系是解决本 题的关键. 8. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD1 与 BA1 所成的角为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由 A1B∥D1C,得异面直线 AD1,BA1 所成的角为∠AD1C. 解答: 解:∵A1B∥D1C, ∴异面直线 AD1,BA1 所成的角为∠AD1C, ∵△AD1C 为等边三角形, ∴∠AD1C=60°. 故选:C.

点评: 本题考查两异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要注意空间思维能力的培养. 9. (5 分)一个几何体的三视图尺寸如图,则该几何体的表面积为()

A.4+8 考点: 专题: 分析: 解答:

B.20

C.4+4

D.12

由三视图求面积、体积. 计算题;空间位置关系与距离. 三视图复原的几何体是正四棱锥,根据三视图的数据,求出几何体的表面积. 解:三视图复原的几何体是正四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,斜高为 2, =12,

所以正四棱锥的表面积为:S 底+S 侧=2×2+4×

故选:D. 点评: 本题考查由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,本题解题 的关键是用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式求表面积与体积, 三视图 的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”,本题是一个 基础题. 10. (5 分)已知圆的方程式 x +y =36,记过点 P(1,2)的最长弦和最短弦分别为 AB、CD, 则直线 AB、CD 的斜率之和等于() A.﹣1 B. C. 1 D.﹣
2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆相交的性质. 直线与圆. 根据过圆心的弦最长,以 P 为中点的弦最短,进行求解即可. 解:圆心坐标为 O(O,O) , ,

当过点 P(1,2)的最长弦 AB 过圆心 O 时,AB 最长此时 AB 的斜率 k= 过点 P(1,2)的弦以 P 为中点时,此时弦 CD 最短,此时满足 CD⊥AB. 则 AB 的斜率 k= , +2= ,

则直线 AB、CD 的斜率之和等于

故选:B. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,要求理解最长弦和最短弦的位置. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. (5 分)在空间直角坐标系中,点 A(1,2,﹣1)和坐标原点 O 之间的距离|OA|= 考点: 专题: 分析: 解答: |OA|= 空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 根据空间中两点间的距离公式,求出|OA|的值. 解:根据空间中两点间的距离公式,得; = .



故答案为: . 点评: 本题考查了空间中两点间的距离公式的应用问题,是基础题目.

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(﹣3)=1.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据 x 的范围,分别代入本题的表达式,从而求出 f(﹣3)=f(0)=f(3)求出即可.

解答: 解:x<2 时,f(x)=f(x+3) , ∴f(﹣3)=f(0) ,f(0)=f(3) , x≥2 时,f(x)= ∴f(3)= =1, ,

故答案为:1. 点评: 本题考查了分段函数问题,考查了函数求值问题,是一道基础题. 13. (5 分)由直线 2x+y﹣4=0 上任意一点向圆(x+1) +(y﹣1) =1 引切线,则切线长的最 小值为 2. 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结论. 解答: 解:圆心坐标 C(﹣1,1) ,半径 R=1, 要使切线长|DA|最小,则只需要点 D 到圆心的距离最小, 此时最小值为圆心 C 到直线的距离 d= = ,
2 2

此时|DA|= 故答案为:2

=



点评: 本题考查切线长的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的 距离公式的合理运用,利用数形结合是解决本题的关键. 14. (5 分)下列五个命题中: ①函数 y=loga(2x﹣1)+2015(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,2015) ; ②若定义域为 R 函数 f(x)满足:对任意互不相等的 x1、x2 都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,则 f(x)是减函数; 2 2 ③f(x+1)=x ﹣1,则 f(x)=x ﹣2x; ④若函数 f(x)= 是奇函数,则实数 a=﹣1;

⑤若 a=

(c>0,c≠1) ,则实数 a=3.

其中正确的命题是①③⑤. (填上相应的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①,令函数 y=f(x)=loga(2x﹣1)+2015(a>0 且 a≠1) ,易求 f(1)=2015,可判 断①; ②,依题意, (x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0? >0,利用函数单调性

的定义可判断②; 2 2 ③,易求 f(x+1)═(x+1) ﹣2(x+1) ,于是知 f(x)=x ﹣2x,可判断③; ④,依题意知 f(0)=0,可求得 a=1,可判断④; ⑤,利用对数的换底公式,可得 a= =log28=3(c>0,c≠1) ,可判断⑤.

解答: 解:对于①,函数 y=f(x)=loga(2x﹣1)+2015(a>0 且 a≠1) ,有 f(1)=2015, 即其图象过定点(1,2015) ,故①正确; 对于②,若定义域为 R 函数 f(x)满足:对任意互不相等的 x1、x2 都有(x1﹣x2)[f(x1) ﹣f(x2)]>0,即 k=
2 2

>0,则 f(x)是增函数,故②错误;
2 2

对于③,f(x+1)=x ﹣1=[(x+1)﹣1] ﹣1=(x+1) ﹣2(x+1) ,则 f(x)=x ﹣2x,故③ 正确; 对于④,若函数 f(x)= 解得实数 a=1,故④错误; 对于⑤,若 a= =log28(c>0,c≠1) ,则实数 a=3,故⑤正确. 是奇函数,又其定义域为 R,故 f(0)= =0,

综上所述,正确选项为:①③⑤. 故答案为:①③⑤. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查对数函数的图象与性质,考查函数的单 调性与奇偶性的判断,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)计算:

(1)

(2)4

+π ﹣ln

0

+lg4﹣lg



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= (2)原式= =2 +1﹣ +2 = .
2

=3a.

+1﹣ +lg100

点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题. 16. (12 分)已知点 A(﹣3,0) ,B(3,﹣3) ,C(1,3) . (1)求过点 C 且和直线 AB 平行的直线 l1 的方程; (2)若过 B 的直线 l2 和直线 BC 关于直线 AB 对称,求 l2 的方程. 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出 AB 的斜率,根据直线平行的斜率关系,利用点斜式方程即可求出直线 l1 的方程; (2)求出 C 关于直线 AB 的对称点.利用两点是非常即可求 l2 的方程. 解答: 解: (1)直线 AB 的斜率为 k= 则过点 C 且和直线 AB 平行的直线 l1 的方程的斜率 k= 则直线方程为 y﹣3= (x﹣1) ,即 y= (x+3) , x+ ; , ;

(2)直线 AB 的方程为 y=

设 C 关于 AB 对称的点的坐标为 D(a,b) ,



,即



即 D(﹣3,﹣5) , 则 l2 经过点 B(3,﹣3) , 则 l2 的方程为 .

即 x﹣3y﹣12=0.

点评: 本题主要考查直线方程的求解,根据直线平行以及点的对称性,利用点斜式方程和 两点式方程是求直线方程的常用方法. 17. (14 分)如图,在四棱锥 O﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60°, OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,P 为 CD 的中点. (1)求证:CD⊥平面 MAP; (2)求证:MP∥平面 OBC; (3)求三棱锥 M﹣PAD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的性质,可得 OA⊥CD,再利用线面垂直的判定,可得线面垂直; (2)设 N 为线段 OB 的中点,连接 MN、CN,可得四边形 MNCP 为平行四边形,从而可得 MP∥CN,利用线面平行的判定,可得线面平行; (3)利用三棱锥的体积公式,即可求得结论. 解答: (1)证明:∵OA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴OA⊥CD ∵四边形 ABCD 这菱形且∠ABC=60°,∴△ACD 为正三角形, ∵P 为 CD 的中点,∴AP⊥CD 又 OA∩AP=A,∴CD⊥平面 MAP;…(5 分)

(2)证明:设 N 为线段 OB 的中点,连接 MN、CN,则 ∵M 为 OA 的中点,∴MN∥AB,且 ∴四边形 MNCP 为平行四边形,∴MP∥CN ∵MP?平面 OBC,CN?平面 OBC ∴MP∥平面 OBC;…(10 分) (3)解:∵OA=CD=2,∴ ∴ …(14 分) , ,∴MN∥CP 且 MN=CP,

点评: 本题考查线面垂直,考查线面平行,考查三棱锥体积的计算,属于中档题. 18. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点. (1)求证:直线 BD1∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 BDD1B1; (3)求 CP 与平面 BDD1B1 所成的角大小.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 证明题. 分析: (1)设 AC 和 BD 交于点 O,由三角形的中位线的性质可得 PO∥BD1,从而证明直 线 BD1∥平面 PAC. (2)证明 AC⊥BD,DD1⊥AC,可证 AC⊥面 BDD1B1,进而证得平面 PAC⊥平面 BDD1B1 . (3) CP 在平面 BDD1B1 内的射影为 OP, 故∠CPO 是 CP 与平面 BDD1B1 所成的角, 在 Rt△ CPO 中,利用边角关系求得∠CPO 的大小. 解答: 解: (1)证明:设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO,由 P,O 分别是 DD1,BD 的中点, 故 PO∥BD1,

∵PO?平面 PAC,BD1?平面 PAC,所以,直线 BD1∥平面 PAC. (2) 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB=AD=1, 底面 ABCD 是正方形, 则 AC⊥BD, 又 DD1⊥ 面 ABCD,则 DD1⊥AC. ∵BD?平面 BDD1B1,D1D?平面 BDD1B1,BD∩D1D=D,∴AC⊥面 BDD1B1.∵AC?平面 PAC,∴平面 PAC⊥平面 BDD1B1 . (3)由(2)已证:AC⊥面 BDD1B1,∴CP 在平面 BDD1B1 内的射影为 OP,∴∠CPO 是 CP 与平面 BDD1B1 所成的角. 依题意得 , ,在 Rt△ CPO 中, ,∴∠CPO=30°

∴CP 与平面 BDD1B1 所成的角为 30°. 点评: 本题考查证明线面平行、面面垂直的方法,求直线和平面所称的角的大小,找出直 线和平面所成的角是解题的难点,属于中档题.

19. (14 分)已知:以点

为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y

轴交于点 O、B,其中 O 为原点, (1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;直线的截距式方程;圆的标准方程. 分析: (1)求出半径,写出圆的方程,再解出 A、B 的坐标,表示出面积即可. (2)通过题意解出 OC 的方程,解出 t 的值,直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,判断 t 是否符合要求,可得圆的方程. 解答: 解: (1)∵圆 C 过原点 O, ∴ , , ,

设圆 C 的方程是 令 x=0,得 令 y=0,得 x1=0,x2=2t ∴ 即:△ OAB 的面积为定值; (2)∵OM=ON,CM=CN, ∴OC 垂直平分线段 MN, ∵kMN=﹣2,∴ ∴直线 OC 的方程是 ∴ , , ,

,解得:t=2 或 t=﹣2, ,

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) ,

此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离



圆 C 与直线 y=﹣2x+4 相交于两点, 当 t=﹣2 时,圆心 C 的坐标为(﹣2,﹣1) , 此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离 ,



圆 C 与直线 y=﹣2x+4 不相交, ∴t=﹣2 不符合题意舍去, 2 2 ∴圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =5. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的标准方程等有关知识,是中档题. 20. (14 分)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4) ,对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x) ,且有 最小值 . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x(t∈R)在区间[0,1]上的最小值; (3)是否存在实数 m,使得在区间[﹣1,3]上函数 f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方? 若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,说明理由. 考点: 二次函数的性质;函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)用待定系数法设出函数解析式,利用条件图象过点(0,4) ,f(3﹣x)=f(x) , 最小值得到三个方程,解方程组得到本题结论; (2)分类讨论研究二次函数在区间上的最小值,得到本题结论; (3)将条件转化为恒成立问题,利用参变量分离,求出函数的最小值,得到本题结论. 解答: 解: (1)二次函数 f(x)图象经过点(0,4) ,任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x) ,则对 称轴 x= , f(x)存在最小值 , 则二次项系数 a>0,设 f(x)=a(x﹣ ) + . 将点(0,4)代入得:f(0)= 解得:a=1 ∴f(x)=(x﹣ ) + =x ﹣3x+4. (2)h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x 2 2 2 =x ﹣2tx+4=(x﹣t) +4﹣t ,x∈[0,1]. 当对称轴 x=t≤0 时,h(x)在 x=0 处取得最小值 h(0)=4; 2 当对称轴 0<x=t<1 时,h(x)在 x=t 处取得最小值 h(t)=4﹣t ; 当对称轴 x=t≥1 时,h(x)在 x=1 处取得最小值 h(1)=1﹣2t+4=﹣2t+5. 2 综上所述:当 t≤0 时,最小值 4;当 0<t<1 时,最小值 4﹣t ;当 t≥1 时,最小值﹣2t+5.
2 2 2

+ =4,

∴h(x)=



(3)由已知:f(x)>2x+m 对于 x∈[﹣1,3]恒成立, 2 ∴m<x ﹣5x+4 对 x∈[﹣1,3]恒成立, ∵g(x)=x ﹣5x+4 在 x∈[﹣1,3]上的最小值为﹣ , ∴m<﹣ . 点评: 本题考查了二次函数在区间上的最值、函数方程思想和分类讨论思想,本题计算量 适中,属于中档题.
2


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