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湖北浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷


浠水一中 2013 届高三模拟考试文科数学试卷
命题人:皮本炎

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A. 1 B. 2

? 1 ? 2i 2 ? ,则 z ? ( ) 2?i 1? i
C.

r />
5

D. 2 2

2.以下说法错误的是( ) ..
2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”.
2

B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题.
2 D.若命题 p: ?x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x ? x ? 1 ? 0 .
2

3.已知程序框图如右所示,则输出的 i 为( A.7 B.8 C.9

) D.10

开始

S ?1

4.已知一个几何体的三视图如下,正视图和俯视图是两个等腰梯形, 长度单位是厘米,那么该几何体的体积是( ) A. 12 B. 28 C. 36 D. 84
正视图 侧视图


i ?3

S ? 100?


3
输出i

S=S﹡i
i ?i?2

结束

4 2 2 4

?x ? y ? 3 ? 5.已知 O 为坐标原点,点 A 的坐标是 ?2,3? ,点 P?x, y ?在不等式组 ?2 x ? y ? 6 所确定的区域内(包括 ?x ? 2 y ? 6 ?
俯视图

边界)上运动,则 OA? OP 的范围是( )
高三文科数学周测试卷 第1页 共 19 页

A. ?4,10?

B. ?6,9?

C. ?6,10?

D. ?9,10?

6.先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移 为原来的

? 个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩 4

1 ,得到函数 g (x) 的图像.则 g (x) 的一个增区间可能是( 2



A. (?? ,0)

B. (0,

?
2

)

C. (

?
2

,? )

D.

( , ) 4 2

? ?

7.已知 E、F 分别是正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 棱 BB1、AD 的中点,则直线 EF 和平面 BDB1 D1 所成 的角的正弦值是( )

A.

2 6

B.

3 6

C.

1 3

D.

6 6

2 8.直线 4kx ? 4 y ? k ? 0 ( k ? R )与抛物线 y ? x 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 4 ,则弦 AB 的中点

到直线 x ? A.

1 ? 0 的距离等于( ) 2
B. 2 C.

7 4

9 4

D. 4

A

9.如图,已知直角三角形 ?ABC 的三边 CB, BA, AC 的长度成等差数列,点 E 为直 E 角边 AB 的中点,点 D 在斜边 AC 上,且 AD ? ? AC ,若 CE ? BD ,则 ? ? ( A. ) B C D

7 17

B.

8 17

C.

9 17

D.

10 17

10.已知点 P 在半径为 1 的半圆周上沿着 A ? P ? B 路径运动, 设弧 AP 的长度为 x , 弓形面积为 f ?x ? (如图所示的阴影部分) ,则关于函数 y ? f ?x ? 的有如下结论: ①函数 y ? f ?x ? 的定义域和值域都是 ?0, ? ?; ②如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,则函数 y ? f ?x ? 是周期函数; B ③如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,则函数 y ? f ?x ? 是奇函数; ④函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0, ? ?上是单调递增函数. 以上结论的正确个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 O A P

高三文科数学周测试卷

第2页

共 19 页

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请把答案填在答题卡相应位置上. 11.某校为了解学生的睡觉情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据, 结 果 用 下 面 的 条 形 图 表 示 , 根 据 条 形 图 可 得 这 50 名 学 生 这 一 天 平 均 每 人 的 睡 眠 时 间 为 _______________ h . 频率
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

5.5

6

6.5

7

7.5

时间∕ h

12.等比数列 {an } 中,a1 ? 2, a4 ? 16 .若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项, 则数列 {bn } 的 前 n 项和 Sn =
x

.

13.已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 ? lg 8 ? lg 2 ,则
y

1 1 的最小值是 ? x 3y

.

14.在圆 x ? y ? 4 上,与直线 l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离最小值是
2 2

.

2 15.已知集合 A ? x 2 x ? 3 ? 1, x ? R ,集合 B ? x ax ?2 x ? 0, x ? R , A?CU B? ? ? ,则实数 a 的

?

?

?

?

范围是

.

16. 如 果 复 数 z ? cos ? ? i sin ? , ? ? ? 0,

? ?? n ? ? , 记 n n?N 个 z 的 积 为 z , 通 过 验 证 ? 2?

?

?

n ? 2, n ? 3, n ? 4,? ,的结果 z n ,推测 z n ?

.(结果用 ? , n, i 表示)

17.已知 x, a ? R, a ? 1 ,直线 y ? x 与函数 f ?x ? ? loga x 有且仅有一个公共点,则

a?

;公共点坐标是

.

三.解答题: 本大题共 5 小题, 共 65 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 12 分) 定义运算 ?

?sin x ? ?a b? 设函数 f ? x ? ? ? ? ad ? bc , ? ?c o s x ? ?c d? ?
高三文科数学周测试卷

c o sx? ? sin ? ?x
第3页

3 ? ix s ? n ? 7? ? ,0? 对 ? 的图象关于点 ? ? 12 ? 3 ?x ? c o? s
共 19 页

称,其中 ? 为常数,且 ? ? ?

? 1 10 ? , ?. ?7 7 ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若以函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值分别作为等差数列 ?an ? 的公差和等比数列 ? 2? ?

?bn ? 的公比,且两数列的首项均为 1,又设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

19.(本题满分 12 分) 某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历,年龄段和学历如下表,从该科研所任选一名研究人 员,是本科生概率是

2 1 ,是 35 岁以下的研究生概率是 . 3 6
本科 (单位: 名) 研究生(单位:名)

(1)求出表格中的 x 和 y 的值; (2)设“从数学教研组任选两名教师, 35 岁以下 本科一名,研究生一名,50 岁以上本 35—50 岁 科生和 35 岁以下的研究生不全选中” 50 岁以上 的事件为 A,求事件 A 概率 P(A). 3 2 0 3

y

x

20. (本小题满分 13 分) 已知平面 PAD ? 平面 ABCD , PA ? PD ? 2, 矩形 ABCD 的边长 AB ? DC ? 2 ,AD ? BC ? 2 2 . (1)证明:直线 AD // 平面 PBC ; (2)求直线 PC 和底面 ABCD 所成角的大小. P

D
高三文科数学周测试卷 第4页 共 19 页

C

A

B

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c ,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分14分) 已知椭圆 C:

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 点 M (2,3) , 2 2 a b
1 的直线与椭圆 C 交于点 A , B ( A , B 在 2

N (2, ?3) 为 C 上两点,斜率为
直线 MN 两侧) .

(1)求四边形 MANB 面积的最大值; (2)设直线 AM , BM 的斜率为 k1 , k 2 ,试判断 k1 ? k 2 是否为定值.若 是,求出这个定值;若不是,说明理由.

浠水一中 2013 届高三模拟考试文科数学试卷参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A. 1 B. 2

? 1 ? 2i 2 ? ,则 z ? ( ) 2?i 1? i
C.

5

D. 2 2

高三文科数学周测试卷

第5页

共 19 页

【答案】C 【解析】 z ?

?? 1 ? 2i ??2 ? i ? ? 2?1 ? i ? ? 5i ? 2?1 ? i ? ? 1 ? 2i ,
22 ? i 2 12 ? i 2
5 2

z ? 5 故选 C.

【命题意图】考查复数的运算法则和模的定义及运算. 2.以下说法错误的是( ) .. A.命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”.
2

B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题.
2 D.若命题 p: ?x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x ? x ? 1 ? 0 .
2

【答案】C 【解析】若 p ? q 为假命题,则只需 p 、 q 至少有一个为假命题即可. 【命题意图】考查简易逻辑基础知识. 3.已知程序框图如右,则输出的 i 为( A.7 【答案】C 【解析】由程序框图可得 i ? 3,5,7 时, S ? 3,15,105, 故输出的 i 为 9,故选 C. 【命题意图】考查程序框图的基本内容,考查 简单的逻辑推理能力.
结束

开始

S ?1

) D.10


i ?3

B.8

C.9

S ? 100?


输出i

S=S﹡i

i ?i?2

4.已知一个几何体的三视图如下,正视图和俯视图两个等腰梯形,长度单位是厘米,那么该几何体的 体积是( A. 12 B. 28 C. 36 D. 84 【答案】B 2
高三文科数学周测试卷 第6页 俯视图 正视图 侧视图

) 3

4 2 4
共 19 页

【解析】由图可知,该几何体是上下底 面试正方形,高度是 3 的四棱台, 根据台体的体积公式 V ?

V ?

1 ? 3 4 ? 4 ? 16 ? 16 ? 28 ,故选 B. 3

?

1 ? h S1 ? S1 S 2 ? S 2 得: 3

?

?

?

【命题意图】考查三视图和简单几何体的基本概念,台体的体积计算公式和运算能力.

?x ? y ? 3 ? 5.已知 O 为坐标原点,点 A 的坐标是 ?2,3? ,点 P?x, y ?在不等式组 ?2 x ? y ? 6 所确定的区域内(包括 ?x ? 2 y ? 6 ?
边界)上运动,则 OA? OP 的范围是( ) A. ?4,10? 【答案】C 【解析】先求出三条直线 x ? y ? 3, 2 x ? y ? 6, x ? 2 y ? 6 的交点,交点分别是 A?3,0? 、 B?2,2? 、 C ?0,3? ,可行域是 O A(3,0) x B. ?6,9? C. ?6,10? D. ?9,10? C(0, 3) B(2,2) y

如图所示的 ?ABC 区域(包括边界) ,因为 OA? OP ? 2x ? 3 y ,令 z ? 2 x ? 3 y ,如图平行移动直线

z ? 2 x ? 3 y ,当直线 z ? 2 x ? 3 y 过 A?3,0? 时, z 取得最小值 6,当直线 z ? 2 x ? 3 y 过 B?2,2? 时, z
取得最大值 10, 6 ? OA ? OP ? 10 ,故选 C. 【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域,简单的线性规划问题和向量的数量积. 6.先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移 为原来的
? 个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩 4

1 ,得到函数 g (x) 的图像.则 g (x) 的一个增区间可能是( 2



A. (?? ,0) 【答案】D 【解析】 g ( x ) ?

B. (0,

?
2

)

C. (

?
2

,? )

D. (

? ? , ) 4 2

1 k? ? k? cos 4 x ,它的递增区间为 [ ? , ]( k ? Z ) .故D真. 2 2 4 2

【命题意图】考查三角函数的图像变换和性质. 7.已知 E、F 分别是正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 棱 BB1、AD 的中点,则直线 EF 和平面 BDB1 D1 所成 F
高三文科数学周测试卷 第7页 A

D
共 19 页

C B E

的角的正弦值是( )

A.

2 6

B.

3 6

C.

1 3

D.

6 6

【答案】B 【解析】设正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长 为 2,由于 E、F 分别是正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 棱 BB1、AD 的中点,连接 BD,AE,过 F 作 BD 交 BD 于 H, FH⊥ BDB1 D1 , 则 因为 FH ?

2 直线 AF ? 1, AE ? 5 , EF ? 6 , EF 和平面 BDB1 D1 2

所成的角的正弦值是

3 ,故选 B. 6

【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系.
2 8.直线 4kx ? 4 y ? k ? 0 ( k ? R )与抛物线 y ? x 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 4 ,则弦 AB 的中点

到直线 x ?

1 ? 0 的距离等于( ) 2 7 A. B. 2 4
1 4

C.

9 4

D. 4

【答案】C
2 【解析】直线 4kx ? 4 y ? k ? 0 过定点 F ( , 0) 恰好为抛物线 y ? x 的焦点,根据抛物线的定义知,

弦 AB 的中点到准线 x ? ?

1 1 1 9 1 的距离 d ? AB ? 2 ,故到直线 x ? ? 0 的距离为 2 ? ? . 4 2 4 4 2

【命题意图】考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的关系. 9.如图,已知直角三角形 ?ABC 的三边 CB, BA, AC 的长度成等差数列,点 E 为直角边 AB 的中点, 点 D 在斜边 AC 上,且 AD ? ? AC ,若 CE ? BD ,则 ? ? ( A. ) A

7 17

B.

8 17

C.

9 17

D.

10 17

【答案】B 【解析】三边 CB, BA, AC 的长度成等差数列,设为 E D

a ? d , a, a ? d ?a ? 0, d ? 0, a ? d ? 0? ,则

B

C

高三文科数学周测试卷

第8页

共 19 页

?a ? d ?2 ? a 2 ? ?a ? d ?2 ,则 a ? 4d ,不妨令 d ? 1
因此三边长分别为 CB ? 3, BA ? 4, AC ? 5 ,

1 AB ? BC , BD ? BA ? AD ? BA ? ? AC ? ?1 ? ? ?BA ? ? BC . 2 2 2 1 由 CE ? BD 得: CE ? BD ? 0 ,即 ?1 ? ? ?AB ? ? BC ? 0 , 8?1 ? ? ? ? 9? ? 0 , 2 8 所以 ? ? ,因此选 B. 17 CE ?
【命题意图】考查向量的运算法则,数量积和解决问题的能力. 10.已知点 P 在半径为 1 的半圆周上沿着 A ? P ? B 路径运动, 设弧 AP 的长度为 x , 弓形面积为 f ?x ? (如图所示的阴影部分) ,则关于函数 y ? f ?x ? 的有如下结论: ①函数 y ? f ?x ? 的定义域和值域都是 ?0, ? ?; ②如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,则函数 y ? f ?x ? 是周期函数; B ③如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,则函数 y ? f ?x ? 是奇函数; ④函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0, ? ?上是单调递增函数. 以上结论的正确个数是( ) A.1 【答案】B 【解析】因为 S 扇形 ? B.2 C.3 D.4 P

O

A

y ? f ?x ? ? S扇形

1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? x ? x , S ?OAP ? ? 1 ? sin x ? sin x ,所以 2 2 2 2 1 1 1 1 ? S ?OAP ? x ? sin x ,它的定义域是 ?0, ? ?, f / ? x ? ? ? cos x ? 0 , y ? f ?x ? 2 2 2 2

在区间 ?0, ? ?上是增函数, 0 ? f ? x ? ?

?

2

,显然该函数不是周期函数,如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,

则函数 y ? f ?x ? 是奇函数,故①、②不正确,③和④正确,选 B. 【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力,考查运用数学知识解决实际问题的能力,考 查函数的基本性质.

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请把答案填在答题卡相应位置上.

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共 19 页

11.某校为了解学生的睡觉情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据, 结 果 用 下 面 的 条 形 图 表 示 , 根 据 条 形 图 可 得 这 50 名 学 生 这 一 天 平 均 每 人 的 睡 眠 时 间 为 _______________ h . 频率
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

5.5

6

6.5

7

7.5

时间∕ h

【答案】 6 .4 h. 【解析】 x ? 0.1? ?5.5 ? 7 ? 7.5? ? 0.3 ? 6 ? 0.4 ? 6.5 ? 6.4 . 【命题意图】考查直方图的基本概念,考查解决实际问题的能力. 12.等比数列 {an } 中,a1 ? 2, a4 ? 16 .若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项, 则数列 {bn } 的 前 n 项和 Sn = 【答案】 n ? n .
2

.

【解析】设 {an } 的公比为 q , 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2 .
3

又 a1 ? 2 ,所以 an ? a1q n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n .则 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b4 ? 8 , b16 ? 32 .

?b1 ? 2, ?b1 ? 3d ? 8, 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ? 解得 ? ? d ? 2. ?b1 ? 15d ? 32,
则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? nb1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 2n ? ? 2 ? n2 ? n. 2 2

【命题意图】考查等数列和等比数列的基本概念,考查等数列和等比数列通项与求和方法,考查学生 的计算能力. 13.已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 ? lg 8 ? lg 2 ,则
x y

1 1 的最小值是 ? x 3y

.

【答案】4 【 解 析 】 由 lg 2 ? lg 8 ? lg 2 , 得 lg 2
x y x ?3 y

1 1 1 1 ? ( x ? 3 y )( ? ) ? lg 2,? x ? 3 y ? 1 , ? ? x 3y x 3y
第 10 页 共 19 页

高三文科数学周测试卷

?( x?

1 1 2 ? 3y ) ? 4。 x 3y

【命题意图】考查对数基本运算及不等式的性质. 14.在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,与直线 l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离最小值是 【答案】 .

2 . 5

【解析】圆的半径是 2,圆心 O?0,0? 到 l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离是 d ?

12 4 2 ? 32

?

12 ,所以圆 5

x 2 ? y 2 ? 4 上,与直线 l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离最小值是 d ?

12 2 2 ? 2 ? ,所以应该填 . 5 5 5

【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法,考查集合的运算以及分类整合的数学思想.
2 15.已知集合 A ? x 2 x ? 3 ? 1, x ? R ,集合 B ? x ax ?2 x ? 0, x ? R , A?CU B? ? ? ,则实数 a 的

?

?

?

?

范围是 【答案】 ?? ?,1?

.

【解析】 A ? ?1,2? ,由于 A?CU B? ? ? ,则 A ? B , 当 a ? 0 时, B ? x x ? 0, x ? R ? ?0,??? ,满足 A ? B ; 当 a ? 0 时, B ? ? x x? x ?

?

?

? ?

? ?

? ? 2? 2? ? ? 0, x ? R ? ? ? ? ?, ? ? ?0,?? ? ,满足 A ? B ; a? a? ? ?

当 a ? 0 时, B ? ? x x? x ?

? ?

? ?

? ? 2? 2 2? ? ? 0, x ? R ? ? ?0, ? ,若 A ? B ,则 ? 2 ,即 0 ? a ? 1 ; a a? ? ? a?

综合以上讨论,实数 a 的范围是 ?? ?,1?. 【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法,考查集合的运算以及分类整合的数学思想. 16. 如 果 复 数 z ? cos ? ? i sin ? , ? ? ? 0,

? ?? n ? ? , 记 n n?N 个 z 的 积 为 z , 通 过 验 证 ? 2?

?

?

n ? 2, n ? 3, n ? 4,? ,的结果 z n ,推测 z n ?
【答案】 z ? cosn? ? i sin n? .
n

.(结果用 ? , n, i 表示)

【解析】由条件

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共 19 页

z 1 ? cos? ? i sin ? ,
2 z 2 ? ?cos? ? i sin ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2i sin ? cos? ? cos 2? ? i sin 2? ;

z 3 ? ?cos? ? i sin ? ? ? ?cos2? ? i sin 2? ??cos? ? i sin ? ?
3

? ?cos2? cos? ? sin 2? sin ? ? ? i?sin 2? cos? ? cos2? sin ? ? ? cos 3? ? i sin 3? ;
推测 z ? cosn? ? i sin n?
n

【命题意图】考查复数的运算和三角变换,以及归纳推理的等数学知识,考查学生运用数学知识解决 问题的能力. 17.已知 x, a ? R, a ? 1 ,直线 y ? x 与函数 f ?x ? ? loga x 有且仅有一个公共点,则 a ? 共点坐标是
1 e

;公

.

【答案】 a ? e , ?e, e ? . 【解析】构造新函数 g ?x? ? l o g x ? x , g ? x ? ? a
/

1 1 ? 1 ,令 ?1 ? 0 x ln a x ln a 1 1 1 有x ? ,因为 a ? 1 ,当 0 ? x ? 时, g / ?x? ? 0 ;当 x ? 时, g / ?x? ? 0 ln a ln a ln a
所以, g ?x? ? loga x ? x 在 x ?

1 ? 1 ? ? 1 ? 处有最大值 g ? ? ,当 g ? ? ? 0 时,直线 y ? x 与函数 ln a ? ln a ? ? ln a ?

1 1 ? 1 ? , ? log a ?ln a ? ? f ?x? ? loga x 有且仅有一个公共点,即 loga ? ?? ln a ? ln a ? ln a ? ln ?ln a ? 1 1 ? ? ln?ln a ? ? ?1,ln a ? ? a ? e e , y ? x ? 则 ln a ln a e
1
1

1 ln e
1 e

? e ,即公共点坐标是 ?e, e ? ,

所以两空分别填 a ? e e , ?e, e ? . 【命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问题的能力,考查学生创新意识、运用数学知识解决问 题的能力和计算能力.

三.解答题: 本大题共 5 小题, 共 65 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 12 分)

高三文科数学周测试卷

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共 19 页

定义运算 ?

? sin ? x cos ? x ? 3 sin ? x ? ?a b? ? 7? ? 设函数 f ? x ? ? ? ,0? 对 ? 的图象关于点 ? ? ? ad ? bc , ? cos ? x sin ? x ? 3 cos ? x ? ? 12 ? ?c d? ? ?
? 1 10 ? , ?. ?7 7 ?

称,其中 ? 为常数,且 ? ? ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若以函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值分别作为等差数列 ?an ? 的公差和等比数列 ? 2? ?

?bn ? 的公比,且两数列的首项均为 1,又设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .
【解析】 (1) f ? x ? ? ?

? sin ? x cos ? x ? 3 sin ? x ? ? ? cos ? x sin ? x ? 3 cos ? x ? ? ?

? sin ? x sin ? x ? 3 cos ? x ? cos ? x cos ? x ? 3 sin ? x

?

?

?

?

? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x
? 3 s i n? x ? 2 c o? x2 s ?

?? ? 2 i x ? s ?n? 2 ? . 6? ?
? 7? ? , 0 ? 对称, ? 12 ?

因为函数 f ? x ? 的图象关于点 ? 所以 2? ? 解得 ? ?

7? ? ? ? k? , k ? Z , 12 6

6k ? 1 ?1 10 ? , k ? Z ,由 ? ? ? , ? 得 k ? 1 ,? ? 1 , 7 ?7 7 ? 2? ?? . 2?

所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? (2)由(1)知, f

n ? x? ? 2 s i ? ? ? ? ??

2? x

??

? ? ? 5? ? ? ?? ? ,由 x ? ?0, ? 得 2 x ? ? ? ? , ? , 6? 6 ? 6 6 ? ? 2?
? 2 s i? , 2 n 2
n ?1

所以 ? f ? x ? ? ? 2 s i ? ? ? ? ? ? f ? x ? ? n 1 ? ?m i n ?, ? ? 6? 所以 an ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 1, bn ? 1? ? ?1?
n ?1

?

max

, cn ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?

.

Sn ? 1? 1? 3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 5

? 1?
2

? ?? 7

?

3

? ??? ? ? n ?2? ? ? ? 1 1
第 13 页

?

n? 1

1 ,

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共 19 页

? S n ? 1? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? 7 ? ? ?1? ? ??? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1? ,
2 3 4 n

两式相减得

2Sn ? 1 ? 2 ?? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ??? ? ? ?1? ?
2 3 4

n ?1

? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?n ?

? ?1? ? ?1 ? ? ?1? ? ? 1? 2? 1 ? ? ?1?
? ? ?1?
n ?1

n ?1

? ? ? 2n ? 1 ? ?1 n ? ? ? ?

? 2n ,
n ?1

所以 S n ? ? ?1?

?n.

【命题意图】本题主要考查三角恒等变换及三角函数的对称性和周期性,以及等差数列、等比数列的 通项公式和数列求和等.本题在新定义的基础上既考查了三角函数的图象和性质,又考查了数列的有关 知识,体现了新课程在知识交汇处命题的创新思想,并且兼顾了数列和三角内容,是难得的一道好题, 也体现了新课程下新的命题思路. 19.(本题满分 12 分) 某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历,年龄段和学历如下表,从该科研所任选一名研究人 员,是本科生概率是

2 1 ,是 35 岁以下的研究生概率是 . 3 6

(1)求出表格中的 x 和 y 的值; 本科 (单位: 名) 研究生(单位:名) (2)设“从数学教研组任选两名教师,本科一 35 岁以下 名,研究生一名,50 岁以上本科生和 35 岁以下 的研究生不全选中” 的事件为 A ,求事件 A 概 率 P ? A? . 35—50 岁 50 岁以上 3 2 0 3

y

x

【解析】 (1)从科研所任选一名研究人员,是本科生概率是

2 1 ,是 35 岁以下的研究生概率是 . 3 6

?3? 3? x 2 ?8 ? x ? y ? 3 ? 所以 ? ,解得 x ? 2, y ? 2 y 1 ? ? ? ?8 ? x ? y 6
因此该科研所的研究人员共有 12 名,其中 50 岁以上的具有本科学历的 2 名,35 岁以下具有研究生学

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历的 2 名; (2) 设具有本科学历的研究人员分别标记为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 , B7 , B8 , 其中 B7 , B8 是 50 岁以上本 科生,研究生分别标记为 Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ,35 岁以下的研究生分别标记为 Y1 ,Y2 ,事件 A 的基本事件是共有 32 种:

?B1 ,Y1 ? , ?B2 ,Y1 ? , ?B3 ,Y1 ?, ?B4 ,Y1 ? , ?B5 ,Y1 ? , ?B6 ,Y1 ? , ?B7 ,Y1 ? , ?B8 ,Y1 ?, ?B1 ,Y2 ? , ?B2 ,Y2 ? , ?B3 ,Y2 ? , ?B4 ,Y2 ? , ?B5 ,Y2 ? , ?B6 ,Y2 ? , ?B7 ,Y2 ? , ?B8 ,Y2 ? ,

?B1 ,Y3 ?, ?B2 ,Y3 ? , ?B3 ,Y3 ?, ?B4 ,Y3 ? , ?B5 ,Y3 ?, ?B6 ,Y3 ? , ?B7 ,Y3 ? , ?B8 ,Y3 ?,
?B1 ,Y4 ? , ?B2 ,Y4 ? , ?B3 ,Y4 ? , ?B4 ,Y4 ? , ?B5 ,Y4 ? , ?B6 ,Y4 ? , ?B7 ,Y4 ? , ?B8 ,Y4 ? ,
50 岁以上的具有本科学历和 35 岁以下具有研究生学历的研究人员全部被选上的有 ?B7 ,Y1 ? ,

?B8 ,Y1 ?, ?B7 ,Y2 ? , ?B8 ,Y2 ? 有 4 种,所以 P? A? ? 1 ?
力、逻辑推理能力和计算能力.

4 7 ? 32 8

【命题意图】考查古典概型基本知识和解决概率问题基本方法,考查学生应用数学知识解决问题的能

20. (本小题满分 13 分) 已知平面 PAD ? 平面 ABCD , PA ? PD ? 2, 矩形 ABCD 的边长 AB ? DC ? 2 ,AD ? BC ? 2 2 . (1)证明:直线 AD // 平面 PBC ; (2)求直线 PC 和底面 ABCD 所成角的大小. 【解析】 (1)因为四边形 ABCD 是矩形 P

AD // BC ,又 BC ? 平面 PBC AD ? 平面 PBC
所以直线 AD // 平面 PBC (2)由条件平面 PAD ? 平面 ABCD 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD 过点 P 作 PE ? AD ,又因为 CD ? AD 根据平面和平面垂直的性质定理得 P A

D

C

B

PE ? 平面 ABCD , CD ? 平面 PAD
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C

E A B

所以,直线 EC 是直线 PC 在平面 ABCD 内的射影

?PCE 直线 PC 和底面 ABCD 所成角,
且 CD ? PD 在 Rt?PCD 中, PC ?

PD2 ? CD 2 ? 2 2
PD2 ? ED2 ? 2
PE 2 1 ? ? , ?PCE ? 300 PC 2 2 2
0

因为 PA ? PD ? 2, 所以 PE ? 在 Rt?PCE 中, sin ?PCE ?

直线 PC 和底面 ABCD 所成角的大小为 30 .

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c ,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1)? f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 根据题意,得 ?

? f (1) ? ?2, ? f ?(1) ? 0,

即?

?a ? b ? 3 ? ?2, ?3a ? 2b ? 3 ? 0,

解得 ?

?a ? 1, ?b ? 0.

? f ( x) ? x 3 ? 3x.

2 (2)令 f ?( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1

? f (?1) ? 2, f (1) ? ?2 , f (?2) ? ?2, f (2) ? 2

?当x ? [?2, 2] 时, f ( x)max ? 2, f ( x)min ? ?2.
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x)max ? f ( x)min |? 4
高三文科数学周测试卷 第 16 页 共 19 页

所以 c ? 4. 所以 c 的最小值为 4。
3 (3)设切点为 ( x0 , y0 ), 则y0 ? x0 ? 3x0 2 ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3 , 2 ? 切线的斜率为 3x0 ? 3 .

3 x0 ? 3x0 ? m 则 3x ? 3 ? x0 ? 2 2 0

3 2 即 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 ,

因为过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线
3 2 所以方程 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解

即函数 g ( x) ? 2 x ? 6 x ? 6 ? m 有三个不同的零点,
3 2

则 g ?( x) ? 6 x ? 12 x.
2

令 g ?( x) ? 0解得 x ? 或 x ? , 0 0 0 极大值 (0,2) —

2.
2 0 (2,+∞) +

x
g ?( x ) g ( x)

(??, 0)
+

极小值

? g (0) ? 0 ?? ? g (2) ? 0

即?

?6 ? m ? 0 ,∴ ? 6 ? m ? 2 ?m ? 2 ? 0

22.(本小题满分14分) 已知椭圆 C:

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 点 M (2,3) , 2 2 a b
1 的直线与椭圆 C 交于点 A , B ( A , B 在 2

N (2, ?3) 为 C 上两点,斜率为
直线 MN 两侧) .

(1)求四边形 MANB 面积的最大值; (2)设直线 AM , BM 的斜率为 k1 , k 2 ,试判断 k1 ? k 2 是否为定值.若 是,求出这个定值;若不是,说明理由.

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【解析】 (1) e ?

1 x2 y2 ,设椭圆 2 ? 2 ? 1 ,将点 M (2,3) 代入椭圆,得 c ? 2 , 2 4c 3c

x2 y2 ? ?1 16 12 1 设直线的方程为 y ? x ? m ( m ? R ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , x2 ) 2
所以椭圆 C 的方程为

? x2 y2 ?1 ? ? ? 16 12 2 2 ,得 x ? mx ? m ? 12 ? 0 ? ?y ? 1 x ? m ? 2 ?
则 x1 ? x2 ? ?m , x1 x2 ? m ? 12
2
ww

又 SMANB ?

1 1 1 2 | MN | ? | x1 ? x2 |? | MN | ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 = ? 6 ? 48 ? 3m 2 2 2

显然当 m ? 0 时, S MANB = 12 3 (2)设直线 MA 、 MB 的方程分别为 y ? k1 ( x ? 2) ? 3 (5)

y ? k ( x? 2 ) ? ( k1 , 2 R ) 3 ? 2

将(5)代入(4)得: (16k12 ? 12) x2 ? (96k1 ? 64k12 ) x ? 64k12 ? 192k1 ? 48 ? 0 则 2 x1 ?

64k12 ? 192k1 ? 48 16k12 ? 12

? x1 ?

8k12 ? 24k1 ? 6 4k12 ? 3
同理: B(

? A(

8k12 ? 24k1 ? 6 ?12k12 ? 12k1 ? 9 , ) 4k12 ? 3 4k12 ? 3

8k2 2 ? 24k2 ? 6 ?12k2 2 ? 12k2 ? 9 , ) 4k 2 2 ? 3 4k2 2 ? 3

k AB

?12k12 ? 12k1 ? 9 ?12k2 2 ? 12k2 ? 9 ? y1 ? y2 4k12 ? 3 4k 2 2 ? 3 1 ? ? ? 2 2 8k1 ? 24k1 ? 6 8k2 ? 24k2 ? 6 x1 ? x2 2 ? 2 2 4k1 ? 3 4k2 ? 3

化简得: k12 ? k22 即 k1 ? k 2 ? 0 为定值。

? k1 ? k2

? k1 ? ? k2

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