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数学竞赛教案讲义——平面向量


第八章

平面向量

一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向 量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用 黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任 意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量) ,规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ? ? 0,使得 a= ? b. f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积,若非 零向量 a, b 的夹角为 ? ,则 a, b 的数量积记 作 a·b=|a|·|b|cos ? =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos ? 叫做 b 在 a 上的投影(注: 投影可能为负值) 。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2 λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x ? y12 ? x 2 ? y 2 2 1

(a, b ? 0),

4. a//b ? x1y2=x2y1, a ? b ? x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1, 2 的一点, p 则存在唯一实数 λ, P1 P ? ? PP2 , 使 λ 叫 P 分 P P2 所成的比,若 O 为平面内任意一点,则 OP ? 1

OP ? ? OP2 1 。由此可得若 1? ?

? x1 ? ?x2 ?x ? x ? x1 y ? y1 ? 1? ? P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 ? .? ? ? . x2 ? x y 2 ? y ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ? ?
定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形, F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向, 将 平移 |a|= h 2 ? k 2 个单位得到图形 F ' ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移到

F ' 上对应的点为 p' ( x' , y' ) ,则 ?

? x' ? x ? h 称为平移公式。 ? y' ? y ? k

定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】

2 2 2 2 因|a|2 ·|b|2-|a·b|2= ( x1 ? y1 )(x2 ? y2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又

|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn),
2 2 2 2 2 2 同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式: ( x1 ? x2 ? ? ? xn )( y1 ? y2 ? ? ? yn ) ?

(x1y1+x2y2+?+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn),同 样 有 |a · b|≤|a| · |b| , 化 简 即 为 柯 西 不 等 式 :
2 2 2 2 ( x12 ? x2 ? ? ? xn )( y12 ? y2 ? ? ? yn ) ? (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。

2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|≤| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证: OA1 ? OA2 ? ? ? OAn ? O.

例 2 给定△ ABC,求证:G 是△ ABC 重心的充要条件是 GA ? GB ? GC ? O.

例 3 在凸四边形 ABCD 中,P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点,求证: AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

2.证利用定理 2 证明共线。 例4 △ ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1:2。

3.利用数量积证明垂直。 例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a ? b.

例 6 已知△ ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ ACD 重心。求证:OE ? CD。

4.向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F, 求证:AF=AE。

三、基础训练题 1 . 以 下 命 题 中 正 确 的 是__________. ① a=b 的 充要 条 件 是 |a|=|b| ,且 a//b ; ② (a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c,则 b=c;④若 a, b 不共线,则 xa+yb=ma+nb 的充要 条件是 x=m, y=n;⑤若 AB ? a, CD ? b ,且 a, b 共线,则 A,B,C,D 共线;⑥a=(8, 1)在 b=(-3, 4)上的投影为-4。 2.已知正六边形 ABCDEF,在下列表达式中:① BC ? CD ? EC ;② 2BC ? DC ;③

FE ? ED ;④ 2ED ? FA 与 AC ,相等的有__________.
3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4. s, t 为非零实数, b 为单位向量, 设 a, 若|sa+tb|=|ta-sb|, a 和 b 的夹角为__________. 则 5. 已知 a, b 不共线,MN =a+kb, MP =la+b, “kl-1=0” “M, P 共线” 则 是 N, 的__________ 条件. 6.在△ ABC 中,M 是 AC 中点,N 是 AB 的三等分点,且 BN ? 2 NA ,BM 与 CN 交于 D, 若 BD ? ? BM ,则 λ=__________. 7 . 已 知 OA, OB 不 共 线 , 点 C 分 AB 所 成 的 比 为 2 , OC ? ?OA ? ?OB , 则

? ? ? ? __________.
8. 已知 OA ? a, OB =b, a· b=|a-b|=2, AOB 面积最大时, 与 b 的夹角为__________. 当△ a 9.把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象,c=(1, -1), 若 a ? b , c·b=4,则 b 的坐标为__________.

10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转

? 得到向量 b,则 b 的坐标为__________. 4

11.在 Rt△ BAC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,试问 PQ 与 BC 的 夹角 ? 取何值时 BP? CQ 的值最大?并求出这个最大值。 12. 在四边形 ABCD 中, AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , 如果 a· b=b· c=c· d=d· a, 试判断四边形 ABCD 的形状。 四、高考水平训练题 1.点 O 是平面上一定点,A,B,C 是此平面上不共线的三个点,动点 P 满足

? AB AC ? ?, ? ? ?0,???. 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 OP ? OA ? ? ? ? ? | AB | | AC | ? ? ?
2.在△ ABC 中, AB ? a, BC ? b ,且 a·b<0,则△ ABC 的形状是__________. 3 . 非 零 向 量 OA ? a, OB ? b , 若 点 B 关 于 OA 所 在 直 线 对 称 的 点 为 B1 , 则

OB1 =__________.
4.若 O 为△ ABC 的内心,且 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? O ,则△ ABC 的形状为 __________. 5.设 O 点在△ ABC 内部,且 OA ? 2OB ? 3OC ? O ,则△ AOB 与△ AOC 的面积比为 __________. 6.P 是△ ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ ABC 的 __________心. 7.已知 OP ? (cos? , sin ? ),OQ ? (1 ? sin ? ,1 ? cos? )(? ?[0, ? ]),则| PQ |的取值范 围是__________. 8.已知 a=(2, 1), b=(λ, 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是__________. 9.在△ ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值为 __________. 10.已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈ R},集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈ R},mj ? N=__________. M 11.设 G 为△ ABO 的重心,过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 P 和 Q,已知

OP ? xOA, OQ ? yOB ,△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T,
(1)求 y=f(x)的解析式及定义域; (2)求

T 的取值范围。 S

12.已知两点 M(-1,0) ,N(1,0) ,有一点 P 使得 MP ? MN, PM ? PN, NM ? PN 成 公差小于零的等差数列。 (1)试问点 P 的轨迹是什么?(2)若点 P 坐标为(x0, y0), ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan ? . 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0)(0,2) , ,当实数 p, q 满 足

1 1 ? ? 1 时,若点 C,D 分别在 x 轴,y 轴上,且 OC ? pOA, OD ? qOB ,则直线 CD p q

恒过一个定点,这个定点的坐标为___________. 2.p 为△ ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点,

OA ? x, OB ? y, OC ? z. 则 OP =___________(用 a, b, c, x, y, z 表示).
3 . 已 知 平 面 上 三 个 向 量 a, b, c 均 为 单 位 向 量 , 且 两 两 的 夹 角 均 为 1200 , 若 |ka+b+c|>1(k∈ R),则 k 的取值范围是___________. 4.平面内四点 A,B,C,D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11 | DA |? 9 ,则 AC ? BD , 的取值有___________个. 5.已知 A1A2A3A4A5 是半径为 r 的⊙O 内接正五边形,P 为⊙O 上任意一点,则

| PA1 | 2 ? | PA2 | 2 ? | PA3 | 2 ? | PA4 | 2 ? | PA5 | 2 取值的集合是___________.
6 . O 为 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , A , B , C 为 △ ABC 的 角 , 若 sinA· OA +sinB· OB +sinC· OC ? O ,则点 O 为△ ABC 的___________心. 7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) ? (a-b)”的___________条件. 8.在△ ABC 中, AB ? a, BC ? c, CA ? b ,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,则△ ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________. 9. 已知 P 为△ ABC 内一点, PA ? 2PB ? 3PC ? O , 交 AB 于 D, 且 CP 求证:DP ? PC. 10.已知△ ABC 的垂心为 H,△ HBC,△ HCA,△ HAB 的外心分别为 O1 ,O2 ,O3 ,令

HA ? a, HB ? b, HC ? c, HO1 ? p ,求证: (1)2p=b+c-a; (2)H 为△ 1O2O3 的外心。 O
11.设坐标平面上全部向量的集合为 V,a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量,已知从 V 到 V ' 的变换 T,由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈ V)确定, (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; (3)设 u=(1, 0); V ? (0,1) ,若 T (u) ? V ,求 a. 六、联赛二试水平训练题 1.已知 A,B 为两条定直线 AX,BY 上的定点,P 和 R 为射线 AX 上两点,Q 和 S 为射线

BY 上的两点,

AP AR AM PN RT 为定比, N, 分别为线段 AB, RS 上的点, M, T PQ, ? ? ? BQ BC MB NQ TS

为另一定比,试问 M,N,T 三点的位置关系如何?证明你的结论。 2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE,使得 AM:AC=CN:CE=r,如果 B,M,N 三点共线,求 r. 3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的点 M,点 P,Q,R,S 是 M 分别在直线 AD,AB,BC,CD 上的射影,求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4.在△ ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之间,F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点,求比值 EH:HG。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之 和垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2?An 内,考虑所有的 ? AiOAj,这里的 i, j 为 1 至 n 中不同 的自然数,求证:其中至少有 n-1 个不是锐角。 7.如图,在△ ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N,求证: (1)OB ? DF,OC ? DE, (2)OH ? MN。 8.平面上两个正三角形△ 1B1C1 和△ 2B2C2,字母排列顺序一致,过平面上一点 O 作 A A

OA ? A1 A2 , OB ? B1 B2 , OC ? C1 C 2 ,求证△ABC 为正三角形。
9.在平面上给出和为 O 的向量 a, b, c, d,任何两个不共线,求证: |a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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