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湖南省祁阳四中2009届高三第一次月考数学试题(理科)


湖南省祁阳四中 2009 届高三第一次月考数学试题(理科)
(考试时间:08、9、23-24,分值:150 分,时量:120 分钟) 命题人: 李昕 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题意的. 1.若实数 x, y 满足 (1 ? i) x ? (1 ? i) y ? 2 ,则 xy 的值是( A

. 1 2. lim
x ?0

) D. -3

B. 2

C. -2

1 ? x ?1 ? ( x
1 2

) B. 1 C. 2 D. 0

A.

3. 某学校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人,现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个 容量为 n 的样本,已知女学生一共抽取了 80 人,则 n 的值是( A.. 193 B. 192 C. 191 ) D. 190 )

4.设随机变量 ? 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c ? 1) ? P(? ? c ? 1) 则 c ? ( A. 1
n n ??

B. 2

C. 3 )

D. 4

5.若 lim(1 ? 2 x ) 存在,则实数 x 的取值范围是( A. (0,1) B. [0,1] C. (0,1]

D. [0,1)

6.抛掷两个骰子,至少有一个 4 点或 5 点出现时,就说这些试验成功,则在 10 次试验中,成功次 数 ? 的期望是( A. ) B.

10 3

55 9

C.

80 9

D.

50 9
) 8.函数

7.如果函数 y ? f ( x) 的图象如右图,那么导函数 y ? f / ( x) 的图象可能是(

y ? xc o s x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数(
A. (

) C. (

? 3?
2 , 2

)

B. (? ,2? )

3? 5? , ) 2 2

D. (2? ,3? )

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f ( x) 9.设函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,且 lim ? 2 ,则 f (1) 等于( x ?1 x ? 1 A. ? 1 B. 0 C. 1

) D. 2

10. f ( x) 是定义在 (0,??) 上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a , b , 若

a ? b ,则必有(
A. af (b) ? bf (a) C. af (a) ? f (b)

) B. bf (a) ? af (b) D. bf (b) ? f (a)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分. 将答案填写在答卷相应横线上.

(1 ? i ) 2 ? 11. 1? i

.

频率 组距
0.0375 0.0125

12.为了了解高三学生的身体状况.抽取了部分 男生的体重,将所得的数据整理后,画出了 频率分布直方图(如图),已知图中从左到右 的前 3 个小组的频率之比为 1︰2︰3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的男生人数是 .

50

55 60

65

70 75 体重

? ? x ? a. ( x ? 0) ? 2 13.设 ? x ? 1. (0 ? x ? 1) 在 R 上连续,则 a ? ? b . ( x ? 1) ? ? x

,b ?

.

14.函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是: y ? ? x ? 8 ,若点 P 的横坐标为 5, 则 f (5) ? f (5) =
/

.

15.给出下列五个命题: ①可导的单调函数的导函数仍然是单调函数; ②若 f ( x) 在 ( a, b) 内是增函数,则对任意 x ? (a, b) ,都应有 f ?( x) ? 0 ; ③若函数 f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim f ( x ) 必存在;
x ? x0

④若函数 f ( x) 在 x ? x0 处不连续,则 f ( x) 在 x ? x0 处一定无定义; ⑤若连续函数 f ( x) 在定义域内存在两点 a 、b 满足 f (a) ? f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 至少有一 解. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共计 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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16. (本小题满分 12 分) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一 名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)设 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 x0 处取得极大值 5,其导数 y ? f ?( x) 的图象(如图)过点

(1,0) , (2,0) .
(Ⅰ)求 x0 的值; (Ⅱ)求 a, b, c 的值.

y

o

1

2

x

18. (本小题满分 12 分) 若 f ( x) 是多项式函数,且 lim
x ??

f ( x) ? 2 x 3 f ( x) ? 1 , lim ? ?4 . 2 x ?0 x x

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式. (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

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19. (本小题满分 12 分) 某城市有甲、乙 、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这 3 个景点的概率分别是 0.4,0.5, 0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响. 设 ? 表示客人离开该城市时已游览的景点数与没有 游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ) 记 “函数 f ( x) ? x 2 ? 3? x ? 1 在区间 [2,??) 上单调递增” 为事件 A , 求事件 A 发生的概率.

20. (本小题满分 13 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以 弥补经济损失并获得一定净收入. 在乙方不赔付甲方的情况下, 乙方的年利润 x (元) 与年产量 t (吨) 满足函数关系 x ? 2000 t . 若乙方每生产 1 吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). (Ⅰ)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (Ⅱ)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 ,在乙方按照获得最大利润的产 t 2 (元) 量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? x ? ax e . 1? x

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? (0,1) 恒有 f ( x) ? 1 ,求 a 的取值范围.

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09 届高三第一次月考数学(理)参考答案
一、选择题: 题 号 二、填 答 案 12. 48 ; 13. 1 、 2 ; 14. 2 ; 15. ③⑤ . A A B B D D A B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A 空题: 1

11. ? 1 ? i ; 三、解答题: 16.解: (Ⅰ) P ?

3 A3 1 ; ? 2 4 C5 A4 40

????????4 分

(Ⅱ) ? 的可能取值为 1,2. 故 ? 的分布列为

P(? ? 1) ?

1 3 C52 C3 A3 3 ? ; 4 4 C52 A4

P(? ? 2) ?

3 C52 A3 1 ? . 2 4 C5 A4 4

?
P

1

2

3 4

1 4
????????12 分

3 1 5 ? 2? ? 4 4 4 17. 解: (Ⅰ)由 y ? f ?( x) 的图象可得:
∴ E? ? 1 ?

x

(0,1)

f ( x)

'

?

1 0 极大值

(1,2)

?

2 0 极小值

(2,+∽)

?

f ( x)
则 x0 =1;

????????6 分

?a ? b ? c ? 5 ? f (1) ? 5 ? ? ' (Ⅱ)依题意得 ? f (1) ? 0 即 ?3a ? 2b ? c ? 0 ? f ' (2) ? 0 ?12a ? 4b ? c ? 0 ? ? ? a ? 2, b ? ?9, c ? 12 .
3

????????12 分

18.解: (Ⅰ)由 lim

f ( x) ? 2 x ? 1 ,可设 f ( x) ? 2 x 3 ? x 2 ? ax ? b , x ?? x2 f ( x) 3 2 ? ?4 ,可得 a ? ?4, b ? 0 , 即 f ( x) ? 2 x ? x ? ax ? b , 又由 lim x ?0 x 3 2 ∴ f ( x) ? 2 x ? x ? 4 x . ????????6 分 2 (Ⅱ) f ?( x) ? 6 x ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 1)(3x ? 2) , 2 由 f ?( x) ? 0 可得函数的单调递增区间为 (?? ,?1), ( ,?? ) 3 2 由 f ?( x) ? 0 可得函数的单调递减区间为 ( ?1, ) . ????????12 分 3

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19.解: (Ⅰ)依题意, ? ? 1 , 3 . 则

P(? ? 1) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.76

P(? ? 3) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.24 .
故 ? 的分布列为

?
P

1 0.76

3 0.24 ????????8 分

∴ E? ? 1? 0.76 ? 3 ? 0.24 ? 1.48
2

(Ⅱ)∵函数 f ( x) ? x ? 3? x ? 1 在区间 [2,??) 上单调递增, ∴

3? 4 ? 2?? ? , 2 3

P( A) ? P(? ? 1) ? 0.76 .

????????12 分

20.解: (Ⅰ)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润 w ? 2000 t ? st. 由 w? ?

1000 t

t 当 t ? t 0 时, w? ? 0 ;当 t ? t 0 时, w? ? 0 .
所以, t ? t 0 时, w 取得最大值.

?s ?

1000? s t

, 令 w? ? 0 得 t ? t 0 ? (

1000 2 ) . s 1000 2 ) 吨. s

因此乙方取得最大年利润的年产量为 (
2

????????6 分 (Ⅱ)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .

1000 2 ) 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 s 10002 2 ? 10003 10002 8 ? 10003 10002 ? (8000? s 3 ) ? v? ? v ? ? ? ? . ∴ . s s4 s2 s5 s5 令 v? ? 0得s ? 20, 当s ? 20时v? ? 0,当s ? 20时v? ? 0,所以s ? 20时,取得最大值 . 因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获得最大净收入.?????13 分 1 ? x ? ax e . 的 定 义 域 为 (??,1) ? (1,??) , 且 其 导 数 为 21. 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 可 得 函 数 f ( x) ? 1? x ax2 ? 2 ? a ?ax f ?( x) ? e 所以原函数的单调性只取决于函数 g ( x) ? ax2 ? 2 ? a 的正负性.又 2 (1 ? x) 因为已知 a ? 0 ,故应针对 2 ? a 进行讨论: 2 ①当 0 ? a ? 2 时, g ( x) ? ax ? 2 ? a 恒正,故原函数在 (??,1), (1,??) 上均递增; ②当 a ? 2 时, f ?( x) 只是在 x ? 0 时为 0, x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故结论同①; a?2 a?2 2 ) ,其中 0 ? ? 1 ,讨论结果见下表 ③当 a ? 2 时, g ( x ) ? a ( x ? a a
将t ? (

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即原函数在 (??,?

a?2 a?2 a?2 a?2 ), ( ,1), (1,??) 上递增,在 (? , ) 上递减. a a a a

?????8 分 (Ⅱ)由题意可得 f (0) ? 1 ,结合(Ⅰ)中①②可知,当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在(0,1)上递增, 故恒有 f ( x) ? 1 ;

1? x ? 1 , e ? ax ? 1 ,恒有 f ( x) ? 1 ; 1? x a?2 若 a ? 2 , f ?( x ) 在(0,1)的子集 (0, ) 中为负,又因为 f (0) ? 1 ,故在这个子集内会有 a f ( x) ? 1 . 综上可知: a ? (??,2] ?????14 分
若 a ? 0 ,则当 x∈(0,1)时,

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