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雅安中学2012-2013学年高三下期3月考试题(文)


雅安中学 2012-2013 学年高三下期月考试题(3 月) 数 学 试 题(文)
(命题人:李永安 审题人:鲜继裕) 试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 交答题卷和机读卡。

第I卷
一、选择题(共 50 分) 。 1 . ( 已 ) B. B ? A 知 ) B. ? i
i

(选择题
A ? ? x x ? 0?

50)

B ? ? 0,1, 2?











A. A ? B 2 . ( A. i 已

C. A ? B ? B 数 单 位 ,

D. A ? B ? ? 则
?1? ? ?1? i? ? i?
2013











C. 1

D. ? 1

3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是 8∶7∶10 ,用分层抽样的方法从三个年级 抽取学生到剧院观看演出,已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多 2 人,则高三观看演 出的人数为 ( A.14 ) B.16 C.20 D.25

? ? ? ? ? ? 4. 已知向量 a、 是夹角为 60°的两个单位向量,向量 a+ ? b ( ? ? R)与向量 a ? 2 b 垂直, b

则 ( ) A、1





?







B、-1

C、2

D、0

5. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是 ( ) A. 32 ? C. 12 ? B. 16 ? D. 8?
俯视图

2 4
正(主)视图

4
侧(左)视图

6. 函数 y ? ln |

1 x

| 与 y ? ? ? x ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为(
2



7、执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为 ( A.105 B.16 C.15 D.1



8. 已知函数 y ? 2 sin(? x ? ? ) 为偶函数(0<θ<π) 其图象 与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1 , x 2 , 若 | x1 ? x 2 | 的最小值为 π,则( A.ω=2,θ=
1



?
2

B.ω= ,θ=
2

1

?
2

C.ω= ,θ=
2

?
4

D.ω=2,θ=

?
4

9.

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 设不等式组 ? x ≤ 4, ? y ? ?2 ?

表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直

线 ( A. )

y +2=0











2









4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

10. 定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 满足对 ? x ? R ,有 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? f (1) ,且当 x ? [ 2 ,3 ] 时, f ( x ) ? ? 2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x ) ? log a (| x | ? 1) 在 ( 0 , ?? ) 上至少有三个零
2

点,则 a 的取值范围是 ( ) A. ( 0 ,
2 2 3 3 5 5 6 6

)

B. ( 0 ,

)

C. ( 0 ,

)

D. ( 0 ,

)

第Ⅱ卷
二、填空题(共 25 分)

(非选择题

100 分)

? 1 x ( x ? 4) ?( ) 11. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f (log ? f ( x ? 1) ( x ? 4 ) ?

2

3 ) 的值为



12. 点 P ( 2 , ? 1) 为圆 ( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? 25 的弦的中点,则该弦所在直线的方程是__

__。

13. 已知双曲线的焦点在 y 轴上,两条渐近线方程为 y ? 2 x ,则双曲线的离心率 e

等于


2 2

14.已知 a ? 0, b ? 0 , ?a ? 1??b ? 1? ? 1 ,则 (a ? 1)(b ? 1) 的最小值为



15、若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则下列结论正确的是__ ___。 (1)四面体 ABCD 每组对棱互相垂直 (2)四面体 ABCD 每个面得面积相等 (3)从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小于 180° (4)连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分 (5)从四面体 ABCD 每个顶点出发地三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三、解答题(共 75 分) 16 (12 分)已知 ? ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 3 , 且 A B ? B C ? 6 , A B与 B C 的夹角为 ? . (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? sin ? ? 2 sin ? cos ? ? 3 cos ? 的最大值.
2 2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

17、 (12 分) 某市举行了“高速公路免费政策”满意度测评,共有 1 万人参加了这次测评(满 分 100 分,得分全为整数).为了解本次测评分数情况,从中随机抽取了部分人的测评分 数进行统计,整理见下表: 组別 分组 频数 频率

1 2 3 4 5
合计 (1) 求出表中 a,b,c 的值;

[50,60) [60,70〉 [70,80) [80,90) [90,100]

60 120 180 130
a b

0.12 0. 24 0. 36
c

0.02 1.00

(2) 若分数在 60 分以上(含 60 分)的人对“高速公路免费政策”表示满意,现从全市参加 了这 次满意度测评的人中随机抽取一人,求此人满意的概率; (3) 估计全市的平均分数.

18、 (12 分)在直三棱柱(侧棱垂直底面) A B C ? A1 B1C 1 中, A B ? A C ? 1 , ? BAC ? 90 ? ,且 异面直线 A1 B 与 B1 C 1 所成的角等于 60 ? . (Ⅰ)求棱柱的高; (Ⅱ)求 B1 C 1 与平面 A1 B C 1 所成的角的大小. B1 A1 C1

A 19、 (12 分)已知数列 ?a n ? 满足: a 1 ? 2, a n ? 1 ? 2 ?
? ? ? 为等差数列; ? an ? 1 ? 1
1 an , n ? 1, 2, 3, 4, ? .

C

B

(1)求证:数列 ?

(2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3)令 T n ?

?

n

a i ?1 ai

,证明: T n ? n ?

3 4



i ?1

20、已知△ A B C 的两个顶点 A, B 的坐标分别是 (0, ? 1) , (0,1) ,且 AC , BC 所在直线的斜率之 积等于 m ( m ? 0) . (Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线; (Ⅱ)当 m ? ?
1 2

时,过点 F (1, 0) 的直线 l 交曲线 E 于 M , N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点

为 Q ( M , Q 不重合).求证直线 M Q 与 x 轴的交点为定点,并求出该定点的坐标.

21、已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? b, g ( x) ? a ln x .
3 2

(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? ??
?

?

1

3 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 2 ?

(Ⅱ)若对任意 x ? ?1, e? ,都有 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(III)在(Ⅰ)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ? x ?, x ? 1 ? g ? x ?, x ? 1

,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F (x) 上

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

雅安中学 2012-2013 学年高三下期月考试题(3 月) 数 学 试 题(文)参考答案
一、 选择题。1—5:BACDC 6—10:CCADB 二、 填空题. 11、1/24 12、 x+y-1=0 13、√5/2 三、解答题: 16 题、解: (I)由题意知 AB ? BC ? | AB || BC | cos ? ? 6 .
? ? 1 ??? ???? 1 ??? ???? S ? | A B || B C | sin ( ? ? ? ) ? | A B || B C | sin ? 2 2 ??? ???? ? 1 1 ? | A B || B C | co s ? tan ? ? ? 6 tan ? ? 3 tan ? . ? ? ? ? 4 分 2 2 ? 3 ? S ? 3 3 , 即 3 ? 3 tan ? ? 3 3 . ? 1 ? tan ? ? 3.

14、9

15、(2)(4)(5)

????1 分

又 ? ? ? [0, ? ],? ? ? [
2

? ?
, 4 3

].

? ? ? ? 6分
2 2

(II) f (? ) ? sin ? ? 2 sin ? cos ? ? 3 cos ? ? 1 ? sin 2? ? 2 cos ?
? 2 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 ? 2 sin( 2? ?

?
4

).

????9 分

?? ?[

? ?
, 4 3

],? 2? ? ? 3? 4

?
4

?[

3? 11? , ]. 4 2 时 , f (? ) 最 大 , 最 大 值 为 3. ? ? ? ? 12 分

? 当 2? ?

?
4

,即 ? ?

?
4

18 题:解:解: (Ⅰ)由三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 是直三棱柱可知, A A1 即为其高. 如图,因为 B C ∥ B1 C 1 ,所以 ? A1 B C 是异面直线 A1 B 与 B1 C 1 所成的角或其补角. 连接 A1 C ,因为 A B
? AC

,所以 A1 B ? A1C ? 1 ? AA1 2 .

在 Rt△ A B C 中,由 A B ? A C ? 1 , ? BAC ? 90 ? ,可得 B C ? 2 .????? 3 分 又异面直线 A1 B 与 B1 C 1 所成的角为 60 ? ,所以 ? A1 BC ? 60 ? ,即△ A1 B C 为正三角形. 于是 A1 B ? B1C 1 ? 2 . 在 Rt△ A1 A B 中,由 1 ? AA1 2 ? A1 B ? 2 ,得 A A1
? 1 ,即棱柱的高为 1 .??6



(Ⅱ)连结 B1 A ,设 B1 A ? B A1 ? E ,由(Ⅰ)知, B1 A1 ? A A1 ? 1 , 所以矩形 B A A1 B1 是正方形,所以 B1 E ? A1 B . 又由 A1 C 1 ? 面 A1 B1 B A 得 A1 C 1 ? B1 E ,于是得 B1 E ? 平面 A1 B C 1 . 故 ? B1 C 1 E 就是 B1 C 1 与平面 A1 B C 1 所成的角. 在 Rt△ A1 B1 C 1 中,由 A1 B1 可得 B1C 1 ? 2 . 在 Rt△ B1 E C 1 中,由 B1 E ? 得 sin ? B1C 1 E ?
B1 E B1 C 1 ? 1 2 1 2 A1 B ? 2 2
? A1 C 1 ? 1 , ? B1 A1C1 ? 90
?

?????????? 9 分 , B1 A1 C1

, B1C 1 ? 2 ,
?

E B

A

C

,故 ? B1C1 E ? 30 .

因此 B1 C 1 与平面 A1 B C 1 所成的角 30 ? . ???????????????? 12 分 19 题:证明:? a n ? 1 ? 2 ?
1 an

,

?

1 a n ?1 ? 1

?

1 an ? 1

=
2?

1 1 an ?1

?

1 an ? 1

=

an an ? 1

?

1 an ? 1

=

an ? 1 an ? 1

?1.

数列 ?

?

? ? 为等差数列. ? an ? 1 ? 1

(2) 由(1)得, ? 首项为
1 2 ?1

?

? ? 为等差数列,公差为 1, ? an ? 1 ? 1

? 1.

?

1 an ? 1

? 1 ? ( n ? 1) ? n . ? a n ? 1 ?

1 n

?

n ?1 n

.

(3) ? a n ? 1 ?
? Tn ? n ? [ 1 2
2

n?2 n ?1
1 3
2

,?

a n ?1 an

?

n(n ? 2) ( n ? 1)
1
2

2

?1?

1 ( n ? 1)
2

.

?

?

1 4
2

? ...... ?

( n ? 1)

].

当 n ? 2 时, T n ? n ? [ 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ?
1 2

1 2
2

?
3 4

1 2?3

?

1 3?4

? ...... ?

1 n ( n ? 1)

]?n?

3 4

?

1 n ?1

?n?

3 4

.

2

?

?1?

3 4

.

综上所述: T n ? n ?

3 4

.

20 题:(Ⅰ)由题知:

y ?1 y ?1 ? ? m x x

化简得: ? m x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0) ???????????2 分 当 m ? ? 1 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去 (0,1), (0, ? 1) 两点; 当 m ? ? 1 时 轨迹 E 表示以 (0, 0) 为圆心半径是1的圆,且除去 (0,1), (0, ? 1) 两点; 当 ? 1 ? m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去 (0,1), (0, ? 1) 两点; 当 m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去 (0,1), (0, ? 1) 两点; ???????????6 分 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), Q ( x 2 , ? y 2 ) ( x1 ? x 2 ? 0) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,可设 l : y ? k ( x ? 1) 代入
x
2

? y ? 1( x ? 0) 整理得: (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 2 ? 0
2
2 2 2 2

2
x1 ? x 2 ? 4k
2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

2k ? 2
2

Q M Q 的方程为 y ? y 1 ?

1 ? 2k y1 ? y 2
2


( x ? x1 )

???????????9 分 令y ? 0,
? 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? 2 ? 2

x1 ? x 2

得 x ? x1 ?

y 1 ( x 2 ? x1 ) y1 ? y 2

? x1 ?

k ( x 1 ? 1)( x 2 ? x 1 ) k ( x1 ? x 2 ? 2 )

? 直线 M Q 过定点 ( 2, 0 )

???????????13 分

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