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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第3章 第17讲 数列的概念


1.写出下面数列的一个通项公式: 1 1 1 1 1 2n ? 4 6 8 ?1? 2 , , , ,an ?   2n ; 2 4 8 16 2n ? 1 n ?1 ? ?1? ? 2 1 3 5 7 n ? 2n ? 2 ? ?   ? 2 ? , , , ,an ? 5 10 17 26

1 解析: ? 这是一个混合数列,可看成2+ , ?1 2

1 1 1 1 4+ , , 6+ 8+ ,故an ? 2n ? 4 8 16 2n

? 2 ? 通项符号为? ?1? ? ?1?
n ?1

n ?1

;分子的通项
2

是2n ? 1;分母的通项是 ? n ? 1? ? 1,故 2n ? 1 ? 2 n ? 2n ? 2

2.下列说法中不正确的有  ①②④ ①数列1,3,5, 7可以表示为?1,3,5, 7?;

.

②数列1, 0, 1, 2与数列 ? 1, 2,1, 0是相同的数列; ? ? ? n ?1 1 ③数列{ }的第k 项为1 ? ; n k ④数列0, 2, 4, 6, 可记为?2n?. ?
解析:根据数列的定义与集合定义的不同,可知① ②不正确;对于④,因为{2n}中的n∈N*,故不正 确;③正确.

1 3.若数列?an ? 满足a1 ? 1,且an ? 1 ? (n ? 1,n ? N* ), an ?1 8 则此数列的第5项是 5  

?2 项公式an ? ? n ?1 ?2

4.数列?an ? 前n项的和为Sn,若Sn ? 2n,则数列?an ?的通

? n ? 1? * (n ? 1,n ? N )

解析:当n ? 1时,a1 ? S1 ? 2; 当n ? 2,n ? N 时,an ? S n ? S n ?1
*

?2 ?2
n

n ?1

?2 . ? n ? 1? * ( n ? 1,n ? N )

n ?1

而a1 ? 2不适合上式,故 ?2 an ? ? n ?1 ?2

5. 数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最 108 大项的值是_________ .

29 2 292 解析:因为an ? ?2(n ? ) ? 3 ? ,所以, 4 8 当n ? 7时,an 最大且等于108.

数列的概念及 通项公式
【例1】 写出下列各数列的一个通项公式: 1 1 1 1 1 ? ? ? ?1? ? ,, , , , 2 4 8 16 32 ? ? 2 ? 3,33,333,3333,33333, .

1 【解析】 an ? (?1) ? n ; (1) 2 n 10 ? 1 ? 2 ? an= 3
n

已知数列的前几项,写出数列的通项公式,

主要从以下几个方面来考虑:
①负号用(-1)n或(-1)n+1 来调节,这是因为n 和n+1奇偶相间;

②分式形式的数列,分子、分母分别找通项,
要充分借助分子、分母的关系; ③对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数 列与等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无 固定模式,但也有规律可找,主要靠观察、比较、

归纳、转化等方法.

【变式练习】 1 写出下列各数列的一个通项公式: 5 7 2 ? ?1? 4,- ,,- , ; 2 4 ? ? 2 ?10,11,10,11,10,11, .
n?3 【解析】1? an=(-1) ? ? n ?10(n为正奇数) . ? 2 ? an=? ?11(n为正偶数)
n+1

由数列的前n项的和Sn, 求通项公式

【例2】
已知数列{an}前n项的和Sn=3n+2n+ 1,求此数列的通项公式an.

【解析】当n=1时,a1=S1=6; 当n ? 2时,an=S n-S n-1 =(3n+2n+1)-[3n-1+2( n-1)+1] =2 ? 3n-1+2. 由于a1不适合此式, ?6? n ? 1? 所以an=? . n ?1 ?2 ? 3 ? 2? n ? 2,n ? N*?

已知数列{an}的前n项和Sn ,求通项公 式an的方法是:首先求出a1,再由an=Sn- Sn-1(n≥2)求an.但这样求得的an是从第2项开 始的,未必是数列的通项公式,所以必须 验证a1是否适合,如果适合,则写成an=Sn -Sn-1(n∈N*),否则,只能写成an= ?a1 ? n ? 1? 的形式. ? ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2, n ? N*?

【变式练习2】

已知数列{an}前n项的和为n2 +pn+1,
数列{bn}前n项的和为3n2-2n.若a10=b10, 求数列{an}的通项公式an.

【解析】由已知得an=(n 2+pn+1)-[(n-1) 2 +p (n-1)+1]=2n-1+p ( n ? 2), 则a10=19+p; bn=(3n 2-2n)-[3( n-1) 2-2( n-1)]=6n-5( n ? 2), 则b10=55. 所以数列?an ?的前n项和S n=n 2+36n+1, 则an=2n+35(n ? 2,n ? N* ). 由于a1=S1=38不适合上式, ?38( n ? 1) 所以an=? . ? 2n ? 35(n ? 2, n ? N*)

由简单的递推公 式,求通项公式
【例3】 求下列各数列的通项公式: (1)a1=2,an=2·n-1+an-1(n≥2); 3 (2)Sn=2an+1.

【解析】1?由an=2 ? 3n-1+an-1 (n ? 2),得an-an-1 ? =2 ? 3n-1 (n ? 2),即得a2-a1=2 ? 3,a3-a2=2 ? 32, a4-a3=2 ? 33, ,an-an-1=2 ? 3n-1, ? 将以上各式相加, 3(1 ? 3 ) n 得an-a1=2(3+3 +3 +?+3 )=2 ? =3 -3. 1? 3 ? 2 ?当n=1时,S1=2a1+1=a1,解得a1=-1;
2 3 n-1 n ?1

当n ? 2时,an=S n-S n-1=(2an+1)-(2an-1+1) =2an-2an-1, 即an=2an-1 ? 又a1=-1,所以an=(-1) ? 2
n-1

.

由递推公式求通项公式,一
般要掌握累加法、累乘法、构造 新数列的方法、利用通项与前 n

项和的关系等几种方法.

【变式练习3】
求下列各数列的通项公式: (1)已知a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2);

(2)a1=3,an+1=2an+5.

【解析】1?由(2n+1)an=(2n-3)an-1, ? an 2n ? 3 得 = , an ?1 2n ? 1 3 应用累乘法可以求得an= . ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

? 2 ?由an+1=2an+5,得an+1+5=2(an+5),
所以an+5=8 ? 2n-1=2n+2,即an=2n+2-5.

1.已知数列{an}的前n项和Sn=log2n2, 则a5+a6+a7+a8=______. 2 【解析】a5+a6+a7+a8=S8-S4=2.

2.已知an=an-1+an-2 (n ? 3),a1= ,a2=2, 1
1 an bn= ,则数列?bn ?的前4项之积为 ______ 8

an?1

1 2 3 【解析】逐个求得b1= ,b2= ,b3= , 2 3 5 5 1 b4= ,所以积为 . 8 8

  3.已知数列?an ? 满足a1=0,an+1=

an ? 3 3an ? 1

- 3 (n ? N* ),则a20等于_____________
【解析】因为a1=0,a2=- 3,a3= 3, a4=0,a5=- 3,a6= 3, 所以此数列的周期为3, 故a20=a2+3?6=a2=- 3.

1 1 3 4 4.已知一个数列的前几项为: , ? , ? ,L , 2 2 8 16 n+1 n 则它的一个通项公式为 an=(-1) 2n

1 1 3 4 【解析】由前几项 , ? , ? ,?, 得 2 2 8 16 n+1 n an=(-1) n 2

a1 ?3 ? 1? 5.设数列?an ?的前n项和为S n,S n= 2 (n ? N* ),且a4=54,求:
n

?1? a1的值; ? 2 ? 通项公式an .

a1 ?34 ? 1? a1 ?33 ? 1? 【解析】1?因为S4= ,S3= , ? 2 2 所以a4=S4-S3=27a1=54,即a1=2. 2?3 ? 1? , ? 2 ?因为Sn= 2 2?3n ?1 ? 1? 所以Sn-1= (n ? 2), 2 所以an=3n-3n-1=2 ? 3n-1 (n ? 2).
n

显然a1=2满足an=2 ? 3n-1, 所以数列?an ?的通项公式an=2 ? 3n-1 (n ? N* ).

数列的概念命题以填空题居多,主要从四个 方面考查:一是理解数列的定义及分类,能用函

数的观点认识数列;二是会用通项公式写出数列
的任意项,也要会根据给出数列的前几项归纳出

数列的一个通项公式;三是会根据递推公式写出
数列的前几项,并归纳出数列的通项公式;四是 会由数列的前n项和公式求出数列的通项公式.值

得注意的是,数列与函数、不等式结合的题目在
近几年的高考试卷中频频出现.

1.数列是一种特殊的函数,其定义 域是正整数集(或它的一个非空真子集 {1,2,3,…,n});数列中的项必须是数.

2.数列的图象是一系列孤立的点.
3.数列的单调性其实是一个恒成立 问题,往往可以用来求参数的取值范围. 判断数列的单调性的方法有两种:

若an+1-an ? 0,则数列?an ? 是递增数列;若 an+1-an ? 0,则数列?an ? 是递减数列. 1 例如:若an=n+ ,判断 ?an ?的单调性. n 1 1 因为an+1-an=(n+1)+ -n- n ?1 n 1 =1- ? 0,所以?an ? 是递增数列. n? n ? 1?

一是定义法:主要判断an+1-an的符号,

二是利用函数的单调性:若函数y= f ? x ? 在(0,+?)上为增(减)函数,则数列an =f ? n ? 在N*上为递增(减)数列. 2n 例如:若an= ,判断数列?an ?的单调性. 3n ? 1 2x 2 因为f ? x ?= = 在(0,+?)上是减 3x ? 1 3 ? 1 x 函数,所以?an ? 是递减数列.

4.根据数列的前几项写出数列的通 项公式.

?1? 要观察、分析给出的数的特征,
找出数列的一个构成规律,归纳(猜想)出 1 2 通项公式.如果能记住诸如?n?, ?,n ?, { ? n {2n-1},2n ?,-1) n }等一些特殊的数列, ? {( 对求通项公式是很有帮助的,再学会一些 基本的变形就会如虎添翼了.

? 2 ? 要注意的是并非所有的通项公式
都存在,数列的通项公式也未必唯一. 例如:数列1, 0,1, 0,1, 0, 的通项公式可以 ? 1 ? ??1? 1 n? 是an= ,也可以是an=|sin |或 2 2 ?1(n是奇数) an=? 等 ?0(n是偶数)
n?

5.由递推关系求数列的通项公式, 方法有二:

?1? 求出数列的前几项,再猜想出数
列的一个通项公式,但做解答题时要用 数学归纳法证明所得公式的正确性.

? 2 ? 将已知递推关系式整理、变形,
变成等差、等比数列的直接用公式求(后 面再介绍);变成an+1-an=f ? n ? 型的用累 an ?1 加法;变成 =f ? n ? 型的用累乘法. an

6.由数列的前n项和公式求数列的通项 公式,方法有二:

?1?已知Sn=f ? n ?,则用an=Sn-Sn-1求an,
但要注意 " n ? 2" 这一条件,且a1=S1. 例如:已知数列?an ?的前n项和S n=n 2-n+1, 求数列?an ?的通项公式. an=S n-S n-1=2(n-1)(n ? 2). 因为a1=S1=1不适合上式, ?1(n ? 1) 所以an= ? . ?2(n ? 1)(n ? 2, n ? N*)

? 2 ?已知an与Sn的关系式,可用an=Sn-Sn-1

转化为an或S n的递推关系,再求an .


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