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2016年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2016 年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 U={x∈Z|x(x﹣7)<0},A={1,4,5},B={2,3,5},则 A∩(?UB}=( ) A.{1,5}B.{1,4,6}C.{1,4}D.{1,4,5} 2.平面向量 与

的夹角为 30°, =(1,0) ,| |= ,则| ﹣ |=( ) A.2 B.1C. D.

3.欧拉在 1748 年给出了著名公式 eiθ=cosθ+isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一, 其中,底数 e=2.71828…,根据欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ,任何一个复数 z=r(cosθ+isinθ) ,都 可以表示成 z=reiθ 的形式,我们把这种形式叫做复数的指数形式,若复数 z1=2e z2=2e ,则复数 z= ,

在复平面内对应的点在(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=15,S9=63,则 a4=( ) A.3B.4C.5D.7 5.已知“p∧q”是假命题,则下列选项中一定为真命题的是( ) A.p∨qB. (¬p)∧(¬q)C. (¬p)∨qD. (¬p)∨(¬q) 6.sin80°sin40°﹣cos80°cos40°的值为( ) A.﹣ B.﹣ C. D. ,AD= ,则 ? =

7.如图,B、D 是以 AC 为直径的圆上的两点,其中 AB= ( )

A.1B.2C.tD.2t 8.已知双曲线 =1(a>0,b>0) ,若焦点 F(c,0)关于渐近线 y= x 的对称点

在另一条渐近线 y=﹣ x 上,则双曲线的离心率为( A. B.2C. D.3
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9.函数 f(x)=|lgx|﹣cosx 的零点的个数为( ) A.3B.4C.5D.6 10.已知圆 C:x2+y2=1,点 P 在直线 l:y=x+2 上,若圆 C 上存在两点 A,B 使得 则点 P 的横坐标的取值范围为( ) A. B. C.[﹣1,0]D.[﹣2,0]



11.四棱锥 M﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,若|MA|+|MB|=10,则三棱锥 A ﹣BCM 的体积的最大值是( ) A.48B.36C.30D.24 12.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1,g(x)=ln(ex﹣1) ,若?x0∈(0,+∞) ,使得 f(lgx0)> f(x0)成立,则 a 的取值范围是( ) A. (0,+∞)B. (0,1)C. (1,+∞)D.[1,+∞) 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 如图, 圆中有一内接等腰三角形, 且三角形底边经过圆心, 假设在图中随机撒一把黄豆, 则它落在阴影部分的概率为 .

14.P 为抛物线 y2=4x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(7,8) ,则|PM|与|PQ| 长度之和的最小值为 . 15.三棱锥 P﹣ABC 中,△ ABC 为等边三角形,PA=PB=PC=2,PA⊥PB,三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积为 16.给出下列命题: ①若 .

,则存在实数 λ,使得





大小关系是 c>a>b;

③已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 ④已知 a>0,b>0,函数 y=2aex+b 的图象过点(0,1) ,则 正确命题的序号是

; .其中

的最小值是

(把你认为正确的序号都填上) .

三.解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知{an}为等差数列,且满足 a1+a3=8,a2+a4=12. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3,ak+1,Sk 成等比数列,求正整数 k 的值. 18.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值;
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(2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s2; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.

19. E、 F 分别为 AB、 AD 的中点, M、 N 是平面 ABCD 如图, 正方形 ABCD 的边长为 , MA ABCD MA NC ⊥平面 ∥ 同一侧的两点, , , . (Ⅰ)设 AC∩BD=O,P 为 NC 上一点,若 OP∥平面 NEF,求 NP:PC. (Ⅱ)证明:平面 MEF⊥平面 NEF.

20.已知点 P(1,﹣1)在抛物线 C:y=ax2 上,过点 P 作两条斜率互为相反数的直线分别 交抛物线 C 于点 A、B(异于点 P) . (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标. (Ⅱ)记直线 AB 交 y 轴于点(0,y0) ,求 y0 的取值范围. 21.已知函数 f(x)= ,g(x)=ln(x+1) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的

切线方程是 5x﹣4y+1=0 (1)求 a,b 的值; (2)若当 x∈[0,+∞)时,恒有 f(x)≥kg(x)成立,求 k 的取值范围; (3)若 =22361,试估计 ln 的值(精确到 0.001)

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且 ,作直线 AF

与圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以原点 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,设 M 是圆 C 上 任一点,连结 OM 并延长到 Q,使|OM|=|MQ|. (Ⅰ)求点 Q 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与点 Q 轨迹相交于 A,B 两点,点 P 的直角坐标为(0,2) ,求|PA|+|PB|的 值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8; (2)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f(ab)>|a|f( ) .

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2016 年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 U={x∈Z|x(x﹣7)<0},A={1,4,5},B={2,3,5},则 A∩(?UB}=( ) A.{1,5}B.{1,4,6}C.{1,4}D.{1,4,5} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】先求集合 B 的补集,然后求出 A∩(C∪B)的值. 【解答】解:U={x∈Z|x(x﹣7)<0}={1,2,3,4,5,6,},B={2,3,5}, ∴?UB={1,4,6}, 而 A={1,4,5}, 则 A∩(?UB}={1,4}, 故选:C. 2.平面向量 与 的夹角为 30°, =(1,0) ,| |= A.2 B.1C. D. ,则| ﹣ |=( )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】依次计算| |, 【解答】解:| |=1,∴ ∴( ∴| ﹣ |= 故选:B. 3.欧拉在 1748 年给出了著名公式 eiθ=cosθ+isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一, 其中,底数 e=2.71828…,根据欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ,任何一个复数 z=r(cosθ+isinθ) ,都 可以表示成 z=reiθ 的形式,我们把这种形式叫做复数的指数形式,若复数 z1=2e z2=2e ,则复数 z= , )2= =1. , =1× =1. ,将 cos30°= . 开方即可.

在复平面内对应的点在(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】欧拉公式的应用. 【分析】由欧拉公式求出 z1=1+ 此能求出复数 z= i,z2=2i,再由复数代数形式的乘除运算法则求出 z,由

在复平面内对应的点所在的第四象限.

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【解答】解:∵eiθ=cosθ+isinθ, ∴z1=2e z2=2e ∴z= = =2(cos =2(cos +isin +isin )=2( )=2(0+i)=2i, )=1+ i,

=

=

=





∴复数 z= 故选:D.

在复平面内对应的点(

,﹣ )在第四象限.

4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=15,S9=63,则 a4=( ) A.3B.4C.5D.7 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,∵S5=15,S9=63, ∴5a1+ =15,9a1+ d=63,

联立解得:a1=﹣1,d=2. 则 a4=﹣1+3×2=5. 故选:C. 5.已知“p∧q”是假命题,则下列选项中一定为真命题的是( ) A.p∨qB. (¬p)∧(¬q)C. (¬p)∨qD. (¬p)∨(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【分析】由“p∧q”是假命题,可得:p 与 q 中至少有一个命题是假命题.因此¬p 与¬q 中至 少有一个是真命题.即可得出. 【解答】解:∵“p∧q”是假命题,∴p 与 q 中至少有一个命题是假命题. ∴¬p 与¬q 中至少有一个是真命题. ∴(¬p)∨(¬q)是真命题. 故选:D. 6.sin80°sin40°﹣cos80°cos40°的值为( A.﹣ B.﹣ C. D. )

【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】根据两角和的余弦公式即可求出. 【解答】解:sin80°sin40°﹣cos80°cos40°=﹣(cos80°cos40°﹣sin80°sin40°)=﹣cos120°= , 故选:C.

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7.如图,B、D 是以 AC 为直径的圆上的两点,其中 AB= ( )

,AD=

,则

?

=

A.1B.2C.tD.2t 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】连结 BC,CD,则 = . =AB2, =AD2.于是 ? =

【解答】解:连结 BC,CD.则 AD⊥CD,AB⊥BC. =AB×AC×cos∠BAC=AB2=t+1. ∴ =AD×AC×cos∠CAD=AD2=t+2. ∵ ∴ ? = , = =1.

故选:A.

8.已知双曲线

=1(a>0,b>0) ,若焦点 F(c,0)关于渐近线 y= x 的对称点

在另一条渐近线 y=﹣ x 上,则双曲线的离心率为( A. B.2C. D.3 【考点】双曲线的简单性质.



【分析】首先求出 F1 到渐近线的距离,利用焦点 F(c,0)关于渐近线 y= x 的对称点在 另一条渐近线 y=﹣ x 上,可得直角三角形,即可求出双曲线的离心率. 【解答】解:由题意,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 设一条渐近线方程为 y= x,则 F1 到渐近线的距离为 =b.

设 F1 关于渐近线的对称点为 M,F1M 与渐近线交于 A,∴|MF1|=2b,A 为 F1M 的中点, 又焦点 F(c,0)关于渐近线 y= x 的对称点在另一条渐近线 y=﹣ x 上,
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∴OA∥F2M,∴∠F1MF2 为直角, ∴△MF1F2 为直角三角形, ∴由勾股定理得 4c2=c2+4b2 ∴3c2=4(c2﹣a2) ,∴c2=4a2, ∴c=2a,∴e=2. 故选:B. 9.函数 f(x)=|lgx|﹣cosx 的零点的个数为( A.3B.4C.5D.6 )

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】由 f(x)=0 得|lgx|﹣cosx=0,即|lgx|=cosx,分别作出两个函数的图象,利用数形结 合进行判断即可. 【解答】解:∵f(x)=|lgx|﹣cosx, ∴由 f(x)=0 得|lgx|﹣cosx=0,即|lgx|=cosx, 作出函数 y=|lgx|和 y=cosx 的图象如图: 则由图象知两个图象的交点个数为 4, 故函数 f(x)的零点个数为 4, 故选:B

10.已知圆 C:x2+y2=1,点 P 在直线 l:y=x+2 上,若圆 C 上存在两点 A,B 使得 则点 P 的横坐标的取值范围为( ) A. B. C.[﹣1,0]D.[﹣2,0]



【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由题意可得点 P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径,设点 P 的坐标为(m, m+2) ,则有 ﹣1≤1,化简求得 m 的范围. ,则

【解答】解:由题意可得得圆心 C(0,0) ,根据圆 C 上存在两点 A、B 使得 点 P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径. 设点 P 的坐标为(m,m+2) ,则有 故选:D. ﹣1≤1,化简求得﹣2≤m≤0,

11.四棱锥 M﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,若|MA|+|MB|=10,则三棱锥 A ﹣BCM 的体积的最大值是( ) A.48B.36C.30D.24
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 三棱锥 A﹣BCM 体积等于三棱锥 M﹣ABC 的体积, 已知正方形 ABCD 的边长为 6, M 点的轨迹是椭球, 空间一动点 M 满足|MA|+|MB|=10, 只要求出 M 点到 AB 的最大值即可; 【解答】解:∵三棱锥 A﹣BCM 体积=三棱锥 M﹣ABC 的体积, 又正方形 ABCD 的边长为 6,S△ ABC= ×6×6=18, 又空间一动点 M 满足|MA|+|MB|=10,M 点的轨迹是椭球, 当|MA|=|MB|时,M 点到 AB 距离最大,h= =4,

∴三棱锥 M﹣ABC 的体积的最大值为 V= S△ ABCh= ×18×4=24, ∴三棱锥 A﹣BCM 体积的最大值为 24, 故选:D. 12.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1,g(x)=ln(ex﹣1) ,若?x0∈(0,+∞) ,使得 f(lgx0)> f(x0)成立,则 a 的取值范围是( ) A. (0,+∞)B. (0,1)C. (1,+∞)D.[1,+∞) 【考点】函数单调性的性质. 【分析】可知 lgx0<x0,从而根据条件便可判断 f(x)为减函数或存在极值点,求导数 f′ (x)=ex﹣a,从而可判断 f(x)不可能为减函数,只能存在极值点,从而方程 a=ex 有解, 这样由指数函数 y=ex 的单调性即可得出 a 的取值范围. 【解答】解:∵lgx0<x0; ∴要满足?x0∈(0,+∞) ,使 f(lgx0)>f(x0) ,则: 函数 f(x)为减函数或函数 f(x)存在极值点; ∵f′(x)=ex﹣a; x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0 不恒成立,即 f(x)不是减函数; ∴只能 f(x)存在极值点,∴f′(x)=0 有解,即 a=ex 有解; ∴a∈(1,+∞) ; 即 a 的取值范围为(1,+∞) . C 故选: . 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 如图, 圆中有一内接等腰三角形, 且三角形底边经过圆心, 假设在图中随机撒一把黄豆, 则它落在阴影部分的概率为 \frac{1}{π} .

【考点】几何概型. 【分析】先明确是几何概型中的面积类型,分别求三角形与圆的面积,然后求比值即可. 【解答】解:设圆的半径为 1,则 S 圆=π,S 三角形= ×2×1=1,

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故在图中随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为 故答案为: .



14.P 为抛物线 y2=4x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(7,8) ,则|PM|与|PQ| 长度之和的最小值为 9 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】抛物线焦点为 F(1,0) ,准线方程为 x=﹣1,于是|PQ|=|PF|﹣1, 2 y =4x 【解答】解:抛物线 的焦点为 F(1,0) ,准线方程为:直线 x=﹣1,∴|PQ|=|PF|﹣1, 连结 MF,则|PM|+|PF|的最小值为|MF|= ∴|PM|+|PQ|的最小值为 10﹣1=9. 故答案为:9. =10.

15.三棱锥 P﹣ABC 中,△ ABC 为等边三角形,PA=PB=PC=2,PA⊥PB,三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面积为 12π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】证明 PA⊥PC,PB⊥PC,以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图, 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P﹣ABC 外接球.算出长方体的对角线即为球直径,结 合球的表面积公式,可算出三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积. 【解答】解:∵三棱锥 P﹣ABC 中,△ ABC 为等边三角形,PA=PB=PC=2, ∴△PAB≌△PAC≌△PBC. ∵PA⊥PB, ∴PA⊥PC,PB⊥PC. 以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图: 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P﹣ABC 外接球. ∵长方体的对角线长为 , ∴球直径为 2 ,半径 R= , 因此,三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积是 4πR2=4π×
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=12π.

故答案为:12π.

16.给出下列命题: ①若 ,则存在实数 λ,使得 ;



大小关系是 c>a>b;

③已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 ④已知 a>0,b>0,函数 y=2aex+b 的图象过点(0,1) ,则 正确命题的序号是 ①② (把你认为正确的序号都填上) . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据向量关系的等价条件进行判断, ②根据对数和指数幂的运算性质进行判断, ③根据直线垂直的等价条件进行判断, ④根据基本不等式的性质进行判断即可. 【解答】解:①若 成立;故①正确, ②log 2=﹣log32∈(﹣1,0) ,b=log

; .其中

的最小值是

,则 与 共线,且方向相反,即存在实数 λ,使得

3=﹣log23<﹣1, ( )0.5>0,则 c>a>b,故②

正确, ③当 b=0,a=0 时,两直线分别为 l1:3y﹣1=0,l2:x+1=0,满足 l1⊥l2,故 l1⊥l2 的充要条 件是 错误,故③错误, =( )

④已知 a>0,b>0,函数 y=2aex+b 的图象过点(0,1) ,则 2a+b=1,则 (2a+b)=2+1+ 即则 + ≥3+2 =3+2 ,

的最小值是 3+2.故④错误,

故答案为:①② 三.解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知{an}为等差数列,且满足 a1+a3=8,a2+a4=12.
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(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3,ak+1,Sk 成等比数列,求正整数 k 的值. 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得首项和公差的方程组,解方程组可得通项公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn,进而可得 a3,ak+1,Sk,由等比数列可得 k 的方程,解方程即可. 【解答】解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d, 由题意可得 ,

解方程组可得 a1=2,d=2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ∴a3=2×3=6,ak+1=2(k+1) , ∵a3,ak+1,Sk 成等比数列,∴ ∴(2k+2)2=6(k2+k) , 2 化简可得 k ﹣k﹣2=0, 解得 k=2 或 k=﹣1, ∵k∈N*,∴k=2 18.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s2; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率. , , ,

【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图;极差、方差与标准差. 【分析】 (1)利用平均数求出 x 的值,中位数求出 y 的值,解答即可. (2)根据所给的茎叶图,得出甲班 7 位学生成绩,做出这 7 次成绩的平均数,把 7 次成绩 和平均数代入方差的计算公式,求出这组数据的方差. (3) 设甲班至少有一名学生为事件 A, 其对立事件为从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取 两名学生,甲班没有一名学生;先计算出从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生的 所有抽取方法总数,和没有甲班一名学生的方法数目,先求出从成绩在 90 分以上的学生中 随机抽取两名学生,甲班没有一名学生的概率,进而结合对立事件的概率性质求得答案. 【解答】解: (1)∵甲班学生的平均分是 85, ∴ ,
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∴x=5, ∵乙班学生成绩的中位数是 83,∴y=3; (2)甲班 7 位学生成绩的方差为 s2= =40; (3)甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A,B, 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C,D,E, 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , B C B D B E ( , ) , ( , ) , ( , ) , (C,D) , (C,E) , (D,E) 其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) . 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 甲班至少有一名学生”为事件 M,则 . .

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为

19. E、 F 分别为 AB、 AD 的中点, M、 N 是平面 ABCD 如图, 正方形 ABCD 的边长为 , 同一侧的两点,MA⊥平面 ABCD,MA∥NC, . (Ⅰ)设 AC∩BD=O,P 为 NC 上一点,若 OP∥平面 NEF,求 NP:PC. (Ⅱ)证明:平面 MEF⊥平面 NEF.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)设 AC∩EF=H,连接 NH.由线面平行的性质得出 OP∥NH,于是 据正方形的性质得出 的值; ,根

(II)连接 MH,MN,由勾股定理逆定理证明 MH⊥NH,由三线合一证明 MH⊥EF,故而 得出 MH⊥平面 NEF,于是平面 MEF⊥平面 NEF. 【解答】证明: (Ⅰ)设 AC∩EF=H,连接 NH. ∵OP∥平面 NEF,OP?平面 ACN,平面 ACN∩平面 NEF=NH, ∴OP∥NH,
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∴NP:PC=HO:OC. ∵四边形 ABCD 是正方形,E,F 分别为 AB,AD 中点, ∴HO:OC=1:2,即 NP:PC=1:2. (Ⅱ)连接 MH,MN, ∵MA=NC,MA∥NC, ∴四边形 ACNM 是平行四边形,∴MN=AC=4. ∵MA=NC= ,AH= =1,CH= =3,

∴MH=2,NH=2 . ∴MN2=MH2+NH2,∴MH⊥NH, 又 ME=MF,H 是 EF 的中点,∴MH⊥EF, ∵EF?平面 NEF,NH?平面 NEF,EF∩NH=H, ∴MH⊥平面 NEF,又 MH?平面 MEF ∴平面 MEF⊥平面 NEF.

20.已知点 P(1,﹣1)在抛物线 C:y=ax2 上,过点 P 作两条斜率互为相反数的直线分别 交抛物线 C 于点 A、B(异于点 P) . (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标. (Ⅱ)记直线 AB 交 y 轴于点(0,y0) ,求 y0 的取值范围. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)将 P(1,﹣1)代入抛物线的方程,解得 a 的值,即可得到抛物线的焦点坐 标; (Ⅱ)设直线 AP:y+1=k(x﹣1) ,代入抛物线的方程,运用韦达定理可得 A 的坐标,将 k 换为﹣k,可得 B 的坐标,求得直线 AB 的斜率和方程,令 x=0,可得 y0,运用 k≠±2,0, 即可得到所求范围. 【解答】解: (Ⅰ)将 P(1,﹣1)代入抛物线的方程, 得 a=﹣1, 即有抛物线 x2=﹣y 的焦点坐标为 ;

(Ⅱ)设直线 AP:y+1=k(x﹣1) , 与抛物线方程 y=﹣x2 联立消 y,得 x2+kx﹣k﹣1=0, 由 1?xA=﹣(k+1) ,即 xA=﹣(k+1) , 将 k 换为﹣k,同理可得 xB=k﹣1, 由题知 xA,xB,1 互不相同,即 k≠±2,0,
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则 AB 的斜率 准线 AB:y+(k+1)2=2(x+k+1) , 令 x=0,可得 又 k≠±2,0, 则 y0∈(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,1) . 21.已知函数 f(x)= =1﹣k2,



,g(x)=ln(x+1) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的

切线方程是 5x﹣4y+1=0 (1)求 a,b 的值; (2)若当 x∈[0,+∞)时,恒有 f(x)≥kg(x)成立,求 k 的取值范围; (3)若 =22361,试估计 ln 的值(精确到 0.001)

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)根据导数的几何意义即可求出 a,b 的值, (2)构造函数 F(x) ,求导,解法一:根据判别式方程的根分类讨论即可求出 k 的范围, 解法二:根据函数的单调性和数形结合的方法即可求出 k 的范围, (3)由(2)当 k≤2 时, ≥kln(1+x)在 x≥0 时恒成立,取值验证即可.

【解答】解 (1)f′(x)= 得:a=1,b=2… (2) :由(1)知:f(x)= 令 F(x)=

, 由题意:f′(1)=

=

f(1)=

=



,由题意:

﹣kln(1+x)≥0 ﹣ …

﹣kln(1+x) ,则 F′(x)=1+

解法一:F′(x)=1+



=

令△ =(2﹣k)2﹣4(2﹣k)=(k﹣2) (k+2) , 2 ①当△ ≤0 即﹣2≤k≤2 时,x +(2﹣k)x+2﹣k≥0 恒成立, ∴F′(x)≥0 ∴F(x)在 x∈[0,+∞)上单调递增, ∴F(x)≥F(0)=0 恒成立, 即 f(x)≥kg(x) 恒成立, ∴﹣2≤k≤2 时合题意

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②当△ >0 即 k<﹣2 或 k>2 时,方程 x2+(2﹣k)x+2﹣k=0 有两解 x1=



x2= 此时 x1+x2=k﹣2,x1x2=2﹣k (i)当 k<﹣2 时,x1x2=2﹣k>0,x1+x2=k﹣2<0, ∴x1<0,x2<0, ∴F′(x)= >0

∴F(x)在 x∈[0,+∞)上单调递增, ∴F(x)≥F(0)=0 恒成立 即 f(x)≥kg(x) 恒成立 ∴k<﹣2 时合题意 (ii)当 k>2 时,x1x2=2﹣k<0, ∴x1<0,x2>0 ∴F′(x)= ∴当 x∈(0,x2)时,F′(x )<0, ∴F(x)在 x∈(0,x2)上单调递减 ∴当 x∈(0,x2)时,F(x)<F(0)=0 这与 F(x)≥0 矛盾, ∴k>2 时不合题意 综上所述,k 的取值范围是(﹣∞,2]… 解法二:F′(x)=1+ ①∵1+x+ ≥2, ﹣ = (1+x+ ﹣k)

∴当 k≤2 时,F′(x)≥0 ∴F(x)在 x∈[0,+∞)上单调递增, ∴F(x)≥F(0)=0 恒成立, 即 f(x)≥kg(x) 恒成立, ∴k≤2 时合题意, ②当 k>2 时,令 F′(x)=0 得 x1<0<x2,结合图象可知,当 x∈(0,x2)时,F′(x )< 0, ∴F(x)在 x∈(0,x2)上单调递减(其中 x2= ∴当 x∈(0,x2)时,F(x)<F(0)=0 这与 F(x)≥0 矛盾, ∴k>2 时不合题意
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综上所述,k 的取值范围是(﹣∞,2]… (3)由(2)知:当 k≤2 时, ≥kln(1+x)在 x≥0 时恒成立

取 k=2,则

≥2ln(1+x) 即:

≥2ln(1+x)

令 x=

﹣1>0 得:2ln





∴ln <

≈0.2236…

由(2)知:当 k>2 时,

<kln(1+x)在(0,

)时恒成立



=

﹣1,解得:k=





ln(1+x)在 x∈(0,

)上恒成立

取 x=

﹣1 得:



ln



∴ln > ≈0.2222,

∴ln = ∵精确到 0.001, ∴取 ln =0.223…

=0.2229

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲]

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22.如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且

,作直线 AF

与圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°,由已知条件求出 AB,AC, 再由切割线定理能求出 AF. (2)过 E 作 EH⊥BC 于 H,得到 EDH∽△ADF,由此入手能够证明 AD=3ED. 【解答】 (1)解:延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°, ∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴ , 又∵ ,∴ ,∴ , ,即 AF=3

根据切割线定理得 (2)证明:过 E 作 EH⊥BC 于 H, ∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD, ∴△EDH∽△ADF, ∴ , ,EB=2, ,

又由题意知 CH= ∴EH=1,∴ ∴AD=3ED.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

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23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以原点 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,设 M 是圆 C 上 任一点,连结 OM 并延长到 Q,使|OM|=|MQ|. (Ⅰ)求点 Q 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与点 Q 轨迹相交于 A,B 两点,点 P 的直角坐标为(0,2) ,求|PA|+|PB|的 值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,化为 ρ2=4ρcosθ,把 直角坐标方程:x2+y2=4x,设 Q(x,y) ,则 代入圆的方程即可得出. , 代入即可得

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程

(t 为参数)代入点 Q 的方程可得

,利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,化为 ρ2=4ρcosθ,可得直角坐标方程: x2+y2=4x,配方为(x﹣2)2+y2=4, 设 Q(x,y) ,则 代入圆的方程可得 , ,

化为(x﹣4)2+y2=16.即为点 Q 的直角坐标方程. (t 为参数)代入(x﹣4)2+y2=16.

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程

得 令 A,B 对应参数分别为 t1,t2,则 ∴ . ,t1t2>0.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8; (2)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f(ab)>|a|f( ) .
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【考点】绝对值不等式的解法;不等式的证明.

【分析】 (Ⅰ)根据 f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=

,分类讨论求得

不等式 f(x)+f(x+4)≥8 的解集. (Ⅱ)要证的不等式即|ab﹣1|>|a﹣b|,根据|a|<1,|b|<1,可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 >0,从而 得到所证不等式成立.

【解答】解: (Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=



当 x<﹣3 时,由﹣2x﹣2≥8,解得 x≤﹣5; 当﹣3≤x≤1 时,f(x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以,不等式 f(x)≤4 的解集为{x|x≤﹣5,或 x≥3}. (Ⅱ)f(ab)>|a|f( ) ,即|ab﹣1|>|a﹣b|. 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=(a2b2﹣2ab+1)﹣(a2﹣2ab+b2)=(a2﹣1) (b2﹣1)>0, 所以|ab﹣1|>|a﹣b|,故所证不等式成立.

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2016 年 7 月 15 日

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