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2013届高考空间几何体的外接球与内切球问题专项突破复习


2013 届高考球体问题专项突破复习

例 1 球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 分析:求球的表面积的关键是求球的半径,本题的条件涉及球的截面, ?ABC 是截面 的内接三角形,由此可利用三角形求截面圆的

半径,球心到截面的距离为球半径的一半,从 而可由关系式 r ? R ? d 求出球半径 R .
2 2 2

解:∵ AB ? 18 , BC ? 24 , AC ? 30 , ∴ AB ? BC ? AC , ?ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形.
2 2 2

∴ ?ABC 的外接圆的半径为 15 ,即截面圆的半径 r ? 15 , 又球心到截面的距离为 d ?

1 1 R ,∴ R 2 ? ( R ) 2 ? 15 2 ,得 R ? 10 3 . 2 2

∴球的表面积为 S ? 4?R2 ? 4? (10 3)2 ? 1200 ?. 说明:涉及到球的截面的问题,总是使用关系式 r ?

R2 ? d 2 解题,我们可以通过两

个量求第三个量,也可能是抓三个量之间的其它关系,求三个量. 例 2 . 自 半 径 为 R 的 球 面 上 一 点 M , 引 球 的 三 条 两 两 垂 直 的 弦 MA, MB, MC , 求

MA2 ? MB 2 ? MC 2 的值.
分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导 学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联. 解:以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥 M ? ABC 补成一个长方体, 则另外四个顶点必在球面上, 故长方体是球的内接长方体, 则长方体的对角线长是球的直径.

? MA2 ? MB 2 ? MC 2 = (2R) 2 ? 4R 2 .
说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算. 例 3.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小. 分析:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大小关 系. 解:设球的半径为 r ,正方体的棱长为 a ,它们的体积均为 V ,

则由

4? 3 3V 3V 3 r ? V,r3 ? ,r ? 3 ,由 a ? V , 得 a ? 3 V . 3 4? 4?

S 球 ? 4?r 2 ? 4? (3

3V 2 3 V2 . ) ? 4?V 2 . S 正方体 ? 6a 2 ? 6(3 V ) 2 ? 63 V 2 ? 3 2 1 6 4?

? 4? ? 216 ? 3 4?V 2 ? 3 216 V 2 ,即 S 球 ? S 正方体 .
1

例 4 一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为 r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少? 分析:先作出轴截面,弄清楚圆锥和球相切时的位置特征,利用铁球取出后,锥内下降部分 (圆台)的体积等于球的体积,列式求解. 解:如图作轴截面,设球未取出时水面高 PC ? h ,球取出后,水面高 PH ? x ∵ AC ? 3r , PC ? 3r ,

1 1 ? ? AC 2 ? PC ? ? ( 3r ) 2 ? 3r ? 3?r 3 , 3 3 1 1 1 3 2 2 球取出后水面下降到 EF , 水体积为 V水 ? ? ? EH ? PH ? ? ( PH tan 30 ?) PH ? ?x . 3 3 9 1 3 4 3 3 又 V水 ? V圆锥 ? V球 ,则 ?x ? 3?r ? ?r , 解得 x ? 3 15r . 9 3
则以 AB 为底面直径的圆锥容积为 V圆锥 ? 例 5.设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面 积之比及体积之比. 分析: 此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系, 第二个关键是两个球 的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的. 解:如图,正四面体 ABCD 的中心为 O , ?BCD 的中心为 O1 ,则第一个球半径为正四面 体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离. 设 OO1 ? r, OA ? R ,正四面体的一个面的面积为 S .

1 S (R ? r) , 3 ? R ? r ? 4 r 即 R ? 3r .
依题意得 V A? BCD ?

又 V A? BCD ? 4VO ? BCD ? 4 ?

1 r?S 3

4 3 ?r 内切球的表面积 4?r 2 1 内切球的体积 1 3 ? ? 所以 . . ? ? 2 4 3 27 外接球的表面积 4?R 9 外接球的体积 ?R 3
说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合 的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径 r ?

1 h ( h 为正四面体的高),且外接 4

球的半径 R ? 3r . 例 6.把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第 四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离. 分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成 正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2. 解:四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点,则正四面体的高

h ? 2 2 ? (2 ?

3 2 2 6 . ) ? 3 3

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1, 且三个球心到桌面的距离都为 1,
2

故第四个球的最高点与桌面的距离为 2 ?

2 6 . 3

例 7.如图 1 所示,在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求 两球半径之和; (2)球的半径为多少时,两球体积之和最小. 分析:此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学生一般知道作对角面,而两个球的球 心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面 ,得如图 2 的截面图,在图 2 中,观察 R 与 r 和棱长间的关系即可. 解:如图 2,球心 O1 和 O2 在 AC 上,过 O1 , O2 分别作 AD, BC 的垂线交于 E , F . 则由 AB ? 1, AC ? 3 得 AO1 ? 3r, CO2 ? 3R .

? r ? R ? 3(r ? R) ? 3 ,? R ? r ?
(1)设两球体积之和为 V , 则V ?

3 3 ?1

?

3? 3 . 2

4 4 ? ( R 3 ? r 3 ) ? ? (r ? R)( R 2 ? Rr ? r 2 ) 3 3

=

? 4 3 3? 3 3 2 3 3 4 3 3 ) ? 3R ( ? R)? ? ( R ? r ) 2 ? 3rR ? ? ?( 3 2 ? 2 2 3 2 ?

?

?

图 2

= ?

4 3

3 3 ? 2 3(3 ? 3 ) 3? 3 2? R?( ) ? ?3R ? 2 ? 2 2 ?

当R ?

3? 3 3? 3 时, V 有最小值.? 当 R ? r ? 时,体积之和有最小值. 4 4

练习: 1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为 4,棱柱的体积为 16,棱柱的各顶 点在一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 答案:C 解 : 由题意知 , 该棱柱是一个长方体 , 其长、宽、高分别为 2,2,4. 所以其外接球的半径

4 ? 4 ? 16 2 = 6 .所以球的表面积是 S=4π R =24π . 2 2、一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( A.3π B.4π

R=

)

C.3 3 π D.6π
3

答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为 1,则体 对角线长等于球的直径,即 2R= 3 ,所以 S 球=4π R =3π . 3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
2

解:将半球补成整个的球(见题中的图),同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正 方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体 ,那么这个长方体的体对角线便是它的外接 球 的 直 径 . 设 原 正 方 体 棱 长 为 a, 球 的 半 径 为 R, 则 根 据 长 方 体 的 对 角 线 性 质 , 得 2 2 2 2 2 2 (2R) =a +a +(2a) ,即 4R =6a . 所以 R=

? ? 6 6π 3 2π a.从而 V 半球= R3= 2π ? 6 a ? = a, ? ? 3 2 2 3 ? 2 ?

3

V 正方体=a3.

6π 3 3 a ∶a = 6 π∶2. 2 4.一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( A.3π B.4π
因此 V 半球∶V 正方体= C.3 3 π D.6π 答案:A

)

解析:以 PA,PB,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥 P-ABC 的外接球,所以球 的半径 R=

12 ? ( 6)2 ? 32 =2,所以球的表面积是 S=4πR2=16π. 2

5.过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ,且两两夹角都为 60 ? ,若球 半径为 R ,求弦 AB 的长度. 解:由条件可抓住 A ? BCD 是正四面体, A 、 B 、 C 、 D 为球上四点,则球心在正四面 体中心,设 AB ? a ,则截面 BCD 与球心的距离 d ?

6 a ? R ,过点 B 、 C 、 D 的截面 3

圆半径 r ?

3 3 2 6 2 6 a ,所以 ( a) ? R 2 ? ( a ? R) 2 得 a ? R. 3 3 3 3

4

6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是( B ) A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

7. 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA 1 ?2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于 。

解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO ? 中,易得球半径 R ? 故此球的表面积为 4? R ? 20? .
2

5,

2 8.正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 内接于半径为 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三棱
柱的体积为 答案 8 .

9.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

A.

2 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3 3a 2 ? 2 3 知, 4

答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ?

a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。 32 ? ,那么正方体的棱长等于( D ) 10.已知正方体外接球的体积是 3
A.2 2 B.

2 3 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

11.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C ) A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3 D. 1∶9

12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

.(

4? ) 3

13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3, 则此球的表面积为 . 14 π 14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2. 2 ? 4 2 P

C
5

D E F

B A

15.如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF , 则此正六棱锥的侧面积是________. 6 7

16.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .

2
C )

16.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为( A. 3? B. 2? C.

16? 3

D.以上都不对

2 3 17.设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( C ) 3 A. ?

8 3

B.2π

C.4π

D. ?

4 3

18 . (2012 新课标理)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长 为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为 ( ) A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

19. (2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边 长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________.

6


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