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【导与练】基本不等式




节 基本不等式

基础自主梳理 考向互动探究

最新考纲
1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题.

1.设 a>b>0,下列不等式不正确的是( C
a ?b (A)ab< 2
2 2

/>)

?a?b? (B)ab< ? ? ? 2 ?

2

2ab (C) > ab a?b
2 2

2ab (D) ab > a?b

解析:由 a +b ≥2ab,a+b≥2 ab 及 a>b>0 知,

?a?b? a ?b >ab,ab< ? ? ,选项 A、B 正确. 2 ? 2 ? 2ab 2ab < = ab ,选项 D 正确. a ? b 2 ab 故选 C.
2 2

2

2.(2012 福建四地六校联考)已知 x>0,y>0, 且 4x+3y=12,则 xy 的最大值是( C (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由 4x+3y≥2 ∴ )

12 xy ,

12 xy ≤6,∴xy≤3,故选 C.

4 3.(2013 四川泸州高中一模)若 x>0,则 x+ 的最小值 x
为( D ) (A)2 (C)2 (B)3

2

(D)4

4 4 解析:x+ ≥2 x ? x x

=4,

4 当且仅当 x= ,即 x=2(x>0)时等号成立. x
故选 D.

x 4.函数 f(x)= 的最大值为 x ?1

.

x 解析:f(x)= ,x≥0, x ?1
当 x>0 时,f(x)=
1 x? 1 x

,

∵ x+

1 x

≥2,∴0<

当 x=0 时,f(0)=0.

1 ≤ , 1 2 x? x

1

? 1? ∴f(x) ? ?0, ? , ? 2? 1 x 故函数 f(x)= 的最大值为 . 2 x ?1 1 答案: 2

a?b 1.基本不等式: ab ≤ 2 (1)基本不等式成立的条件 a>0,b>0.

(2)等号成立的条件当且仅当 a=b 时取等号.
a?b (3)其中 称为正数 a、b 的算术平均 2 数, ab 称为正数 a、b 的几何平均数.

2.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大 值,即若 a、b 为正实数,且 a+b=M,M 为定值, 2 M 则 ab≤ ,等号当且仅当 a=b 时成立.(简 4 记:和定积最大) (2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小 值,即若 a、b 为正实数,且 ab=P,P 为定值, 则 a+b≥ 2 P ,等号当且仅当 a=b 时成 立.(简记:积定和最小)

3.几个常用的不等式 (1)a +b ≥2ab(a,b ? R).
2 2

?a?b? (2)ab≤ ? ? ? 2 ?

2

(a,b ? R).
2 2

?a?b? (3) ? ? ≤ ? 2 ?
2

a ?b 2

(a,b ? R).

b a (4) + ≥2(a·b>0). a b

a 2 ? b2 a?b (5) ≤ ab ≤ ≤ 1 1 2 2 ? a b
2

(a>0,b>0).

质疑探究:上述五个不等式等号成立 的条件分别是什么? 提示:都是当且仅当 a=b.

利用基本不等式证明不等式 【例 1】 设 a>0,b>0,a+b=1,求证
1? ? 1? 25 ? . ? a ? ? + ?b ? ? ≥ a? ? b? 2 ?
2 2

证明:因为 a>0,b>0,a+b=1,
1 所以 1=a+b≥2 ab , ab ≤ , 2 1 1 所以 ab≤ ,即 ≥4. 4 ab

a 2 ? b2 a?b 因为 ≤ , 2 2

a ?b ?a?b? 所以 ≥? ? . 2 ? b ?
2 2
2

1 1? ? 2 2 ?a ? a ? b ? b ? 1? ? 1? ? 所以 ? a ? ? + ? b ? ? ≥2 ? ? = 2 a? ? b? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 1? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? a b? ab ? 25 ? ? = ≥ . 2 2 2

2

1? ? 所以 ? a ? ? a? ?

2

1? ? +?b ? ? b? ?

2

25 ≥ 2

1 (当且仅当 a=b= 时取等号). 2

a 2 ? b2 a?b (1)本题用了常见结论 ≤ , 2 2
记住这一结论可帮助我们找到解题思路. (2)利用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本不等 式及其变形,同时注意基本不等式成立的条件.对待证明 的不等式作适当变形,变出基本不等式的形式,然后利用 基本不等式进行证明.

变式训练 1 1:设 a、b 均为正实数,求证:
1 a2

+

1 b2

+ab≥2 2 .

证明:由于 a、b 均为正实数, 所以
1 a2 1 + 2 b 1 a2

1 1 2 ≥2 2 ? 2 = , a b ab
1 = 2 b

当且仅当

,即 a=b 时等号成立,

2 2 ? ab =2 2 , 又因为 +ab≥2 ab ab

2 当且仅当 =ab 时等号成立, ab 2 1 1 所以 2 + 2 +ab≥ +ab≥2 2 , ab a b

1 ?1 ? 2, 2 ?a ? b 当且仅当 ? 2 ? ? ab ? ab ?
即 a=b=
4

2 时取等号.

利用基本不等式求最值 【例 2】 (1)设 0<x<2,则函数 y=

x(4 ? 2 x) 的最大值为

.

4 (2)若 x<3,则函数 f(x)= +x 的最大 x?3
值为 .

解析:(1)∵0<x<2,∴2-x>0,
∴y=

x ( 4 ? 2 x ) ? 2 · x( 2 ? x) ≤

当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ∴当 x=1 时, 函数 y=

x?2? x 2· = 2, 2

x(4 ? 2 x) 的最大值为 2 .

(2)∵x<3, ∴x-3<0, ∴3-x>0,
4 4 ∴f(x)= +x= +(x-3)+3 x?3 x?3

4 ? 4 ? ? (3 ? x)? +3≤-2 =- ? ? (3 ? x) +3=-1, 3? x ?3 ? x ?

4 当且仅当 =3-x, 3? x
即 x=1 时,等号成立. 故 f(x)的最大值为-1. 答案:(1)

2

(2)-1

(1)利用基本不等式求最值需关注以 下三个方面①各数(式)均为正;②和或积为定值; ③等号能否成立这三个条件缺一不可,为便于记忆 简述为“一正、二定、三相等”. (2)合理拆分项或配凑因式或 “1” 代换是常用技巧, 目的是构造出基本不等式的框架形式. (3)当多次使用基本不等式时,要保证等号能同时 取得.

变式训练 2 1:(2013 成都实验外国语学校高三

2 3 月考)已知 x>0,y>0,且 + x y
最小值为( )

x y =1,则 + 2 3



25 (A)1 (B)2 (C)4 (D) 6

解析:

x y + 2 3

x y =( + 2 3

2 3 )( + x y

)

3x 2 y =1+1+ + 2 y 3x

≥2+2 =4.

3x 2 y ? 2 y 3x

当且仅当 x=4,y=6 时取等号. 故选 C.

基本不等式的实际应用 【例 3】某单位建造一间地面面积为 12 m 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的 限制 ,房子侧面的长度 x 不得超过 a m. 房屋正面的造价为 400 元/m ,房屋侧面的 造价为 150 元/m ,屋顶和地面的造价费用 合计为 5800 元,如果墙高为 3 m,且不计房
2 2 2

屋背面的费用.当侧面的长度为多少时, 总造价最低? 思维导引:用长度 x 表示出造价,利用基 本不等式求最值即可.还应注意定义域 0<x≤a,函数取最小值时的 x 是否在定义 域内,若不在定义域内,不能用基本不等 式求最值,可以考虑单调性.

解:由题意可得,造价 y=3 ? 2 x ?150 ? ?
?

12 ? ? 400? +5800= x ?

900 ? x ? ?
?

16 ? ? +5800(0<x≤a), x?

16 ? ? 则 y=900 ? x ? ? +5800≥ x? ? 16 900×2 x ? +5800=13000, x

16 当且仅当 x= , x

即 x=4 时取等号. 若 a≥4,则当 x=4 时,y 有最小值 13000; 若 a<4,任取 x1,x2 ? (0,a)且 x1<x2.

? 16 ? ? y1-y2=900 ? x1 ? ? +5800-900 ? x ? ? x1 ? ? ? ?

2

16 ? ? ? -5800 x2 ? ?

? ? 1 1 ?? 900( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 16) =900 ?( x1 ? x2 ) ? 16? ? ?? = . ?x x ? x1 x2 ? 2 ?? ? 1 ? ?

∵x1<x2<a,∴x1-x2<0,x1x2<a <16, 即 x1x2-16<0.∴y1-y2>0,
16 ? ? ∴y=900 ? x ? ? +5800 在(0,a]上是减 x? ?

2

函数.

16 ? ? ∴当 x=a 时,y 有最小值 900 ? a ? ? +5800. a? ?

综上,若 a≥4,当 x=4 时,有最小值 13000;
16 ? ? 若 a<4,当 x=a 时,有最小值 900 ? a ? ? +5800. a? ?

本题的难点在于利用基本不 等式时,在 a<4 时等号不成立.对这类定 义域有限制的函数求解最值,在使用基 本不等式时要根据等号成立和不成立进 行分类解决.

变式训练 3 1:(2012 朝阳区模拟)某公司购 买一批机器投入生产,据市场分析每台机 器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万 元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x +18x-25(x ? N ).则当每台机器运
2 *

转 是

年时,年平均利润最大,最大值 万元.

解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为
25 ? ? y y =18- ? x ? ? ,而 x>0,故 ≤18-2 25 =8, x ? x x ?

当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值 为 8 万元. 答案:5 8

【例 1】 已知 f(x)=3 -(k+1)3 +2, 当 x ? R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值 范围是( ) (B)(-∞,2 2 -1)

2x

x

(A)(-∞,-1)

(C)(-1,2 2 -1) (D)(-2 2 -1,2 2 -1)

解析:由 f(x)>0 得 3 -(k+1)3 +2>0,
2 解得 k+1<3 + x , 3 2 2 x x 而 3 + x ≥2 2 (当且仅当 3 = x 时,等号 3 3
x

2x

x

成立), ∴k+1<2 2 ,k<2 2 -1.故选 B.

【例 2】 为处理含有某种杂质的污水,要 制造一个底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱 (如图所示),污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱的底长为 a m,高度为 b m. 已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积成反比,现有 制箱材料 60 m .
2

问:当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出 的水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的 面积忽略不计)? 解:法一 设 y 为流出的水中该杂质的质
k 量分数,则 y= ,其中 k>0 为比例系数, ab

依题意,求使 y 值最小的 a、b 的值.

根据题设,有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),

30 ? a 解得 b= (0<a<30).① 2?a

k 于是,y= = ab
k

k k = 2 = 64 30a ? a ? a ? 32 ? a?2 2?a

64 ? ? 34 ? ? a ? 2 ? ? a?2? ?



k 64 34 ? 2 ( a ? 2) ? a?2

k = , 18

64 当 a+2= 时等号成立,y 取得最小值. a?2
这时 a=6 或 a=-10(舍), 将其代入①式得 b=3. 故当 a 为 6 m,b 为 3 m 时,经沉淀后流出的水 中该杂质的质量分数最小. 法二 依题意,求使 ab 值最大的 a、b 的值. 由题设知 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),

即 a+2b+ab=30(a>0,b>0). 因为 a+2b≥2 2ab ,所以 2 2 · ab +ab≤30, 当且仅当 a=2b 时,上式取等号. 由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18, 即当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. 所以 2b =18, 解得 b=3 或 b=-3(舍去), 进而求得 a=6. 故当 a 为 6 m,b 为 3 m 时,经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小.
2

忽视基本不等式成立的条件致误 【典例】 已知 x、 ? y 求 x+y 的最小值.
1 4 (0,+∞),且 + =1, x y

?1 4? y 4x 正确解析:x+y=(x+y) ? ? ? =1+ + +4= ?x y? y x ? ?

y 4x + +5≥2 y x

y 4x ? +5=9, x y

?1 4 ? ? 1, ?x y ? 当且仅当 ? y 4x ? ? , ?x y ?
即 x=3,y=6 时,等号成立, 故 x+y 的最小值为 9.

在求解过程中有些同学利用 1= + ≥2×
1 x

4 y

2 xy

=

4 xy

,得出

xy

≥4,

而又 x+y≥2 xy ≥8,这种解法的错误 之处是连续两次使用了基本不等式,但

是这两个基本不等式中的等号不能同 时成立,前者是当且仅当“ = ”而后 者是“x=y”取等号,故导致了错误.
1 x

4 y

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