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高等数学上册复习3导数与微分


导数与微分
一、主要内容 ㈠导数的概念 1.导数:y ? f ( x) 在 x0 的某个邻域内有定义,lim ?y ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) 。 ?x ?0 ?x ? 0
?x ?x
x ? x0

x ? x0

y?

x ? x0

? f ?( x0 ) ?

dy dx

x ? x0

2.左导数: f ??( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) ;右导数: f ??( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x0 x?x x ? x0 x ? x0
? 0

定理: f ( x ) 在 x0 的左 (或右) 邻域上连续在其内可导, 且极限存在; 则: f ??( x0 ) ? lim f ?( x) ?
x ? x0

(或: f ??( x0 ) ? lim f ?( x) ) 。 ?
x ? x0

3.函数可导的必要条件: f ( x ) 在 x0 处可导 ? f ( x ) 在 x0 处连续 4.函数可导的充要条件: y?
x ? x0

? f ?( x0 ) 存在 ? f??( x0 ) ? f ??( x0 ) ,且存在。

5.导函数: y? ? f ?( x), x ? (a, b) f ( x ) 在 ( a, b) 内处处可导。 6.导数的几何性质: f ?( x0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上点 M ? x0 , y0 ? 处切线的斜率。 7.可导与连续的关系:若函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导,则 f ( x ) 在点 x0 处连续。但反之不 成立,即函数 y ? f ( x) 在点 x0 处连续,它在 x0 点不一定可导。例: y ? x 在点 x ? 0 处连 续但不可导。 ㈡求导法则 1.基本求导公式:(必须记住) 2.导数的四则运算: o 1(u ? v)? ? u? ? v?
o 2(u ? v)? ? u? ? v ? u ? v? ? u u ? ? v ? u ? v? (v ? 0) 3o ? ? ? ? ? v2 ?v? 3.复合函数的导数:

dx du dx ☆注意 { f [? ( x)]}? 与 f ?[? ( x)] 的区别:{ f [? ( x)]}? 表示复合函数对自变量 x 求导; f ?[? ( x)] 表示复合函数对中间变量 ? ( x) 求导。

y ? f (u), u ? ? ( x),

y ? f [? ( x)] , dy ? dy ? du ,或 { f [? ( x)]}? ? f ?[? ( x)] ? ? ?( x) 。

4.高阶导数: f ??( x) 5.隐函数求导。 6.参数方程求导。 ㈢微分的概念 1.微分: f ( x ) 在 x 的某个邻域内有定义,?y ? A( x) ? ?x ? o(?x) ;其中: A( x) 与 ?x 无关,

o(?x) 是比 ?x 较高阶的无穷小量,即: lim

o ( ?x ) ? 0 ,则称 y ? f ( x) 在 x 处可微,记作: ?x ? 0 ? x

dy ? A( x)?x , dy ? A( x)dx (?x ? 0) 。 2.导数与微分的等价关系: f ( x) 在 x 处可微 ? f ( x) 在 x 处可导,且: f ?( x) ? A( x) 。 3.微分形式不变性: dy ? f ?(u)du ,不论 u 是自变量,还是中间变量,函数的微分 dy 都具 有相同的形式。

1.求下列函数的导数 (1) y ? cos ln(1 ? 2 x) (2) y ? arctan(tan 2 x) 1? x (3) y ? ln (4) y ? 1 ? x 2 ? ln(cos x) ? e2 2 1? x 2.设函数 y ? cos(e?2 x ) ,求 y?(0) ?

? x2 ? 1 1.设 f ( x ) ? ? ? 2x ?1 ? bx 2.设 f ( x) ? ? 2 x ? ae

x ?1 x ?1

在 x ? 1 处是否可导?

x?0 , 求 a,b 的值,使 f ( x ) 处处可导。 x?0

1.求下列隐函数的二阶导数 (1) x2 ? y 2 ? r 2 ( r 为常数) (2) y ? cos( xy) (3) y ln x ? x ln y (4) sin( x2 ? y) ? xy (5) e y ? xy (6) y3 ? x ? arccos( xy) (7) x3 ? y3 ? 3xy ? 1(8) x2 ? y 2 ? 1 ? e xy 2.由方程ye x ? ln y ? x 2 确定y是x的函数,求 3. 设y ? 1 ? xy确定隐函数y ? y( x), 求dy 求下列参数方程所确定函数的二阶导数 ? x ? t ? ln ?1 ? t ? ?x ? t 2 ? ? x ? a cost ?x ? 3e?t 1) ? (2) ? 2 ;(3) ? ?y ? bsint ; (4) ? y ? 2et ? 3 2 ? ? ? y ?1? t. ?y ? t ?t ? ?

dy dx

求下列函数的导数 (1) y ? 10
x tan 2 x

(2) y ?

( x ? 1)( x ? 2) (3) y ? x x (4) y x ? x y x ?3
1

(5) y ? x2 3

ex x?2 (6) y ? (1 ? x) x (7) y ? e (8) y ? 1 ? x2 1 ? 2 x 2 x ( x ? 2)2

求下列函数的微分 (1) y ? e x sin 2 x (2) x2 y ? e y ? 1 (3) y ? ln(1 ? ex ) (4) y ? x3e2x (5)y ? 2cos x ? 1 ? x 2 (6)y ? 1 ?

x(7)y ? ? e ? e x ? x?(8)e x? y ? cos( xy) ? 0

(9) x3 ? y3 ? 3axy ? 0 (a ? 0是常数) (10) y ? x2 ? 2x


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