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2016届高三文科数学试题(6)


2016 届高三文科数学试题(6)
本试卷分第 ? 卷(选择题)和第 ?? 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟

第? 卷
一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知集合 A ? {x | A. (0,3) B. (0,3

] C.

x ?3 ? 0} , B ? {x | log2 x ? 2},则 (CR A) ? B ? ( x ?1
[?1,4]
D. [?1,4)



2、已知复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数是( A.



1? i 1? i B. 2 2

C.

3、已知 tan ? ? 2 ,则

?1 ? i 2 cos(? ? ? )

D.

?1 ? i 2

cos(? ? ) 2
A. ?

?

?( )
1 2

1 2

B. ? 2

C.

D. 2 )

4、 等差数列 ?an ? 的前三项为 x ?1, x ? 1, 2x ? 3 ,则这个数列的通项公式为( A. an ? 2n ? 1 B. an ? 2n ? 1 C. an ? 2n ? 3 D. an ? 2n ? 5 )

2 2 5、已知 a, b ? R ,则“ a ? 0, b ? 0 ”是“ a ? b ? 2ab 的 (

A、充分不必要条件 C、充分必要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

?? ?? ??? ? ??? ? ??? ? y ? tan ? x ? ? OA ? OB ? AB ? 2 ? 的部分图象如下图所示,则 ?4 6、函数 ( )

?

?

A.-6

B.-4

C .4

D.6

7、将函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? 的图象向左平移 函数 g ( x) 的图象,则函数 g ( x) 是( ) A.周期为 ? 的奇函数 B.周期为 ? 的偶函数 C.周期为 2? 的 奇函数 D.周期为 2? 的偶函数 8、 ?ABC 中 A, B, C 的对边分别是 a, b, c 其面积 S ?
0
0

1 2

? 个单位得到 6

a 2 ? b2 ? c2 ,则中 C 的大小是( 4
D. 135
0



A. 30

B. 45

C. 90

0

1

9、在直角坐标系中,函数

的图像可能是(

) .

10、设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ?, ? 是常数, A ? 0, ? ? 0) ,若 f ( x) 在区间 [ 具有单调性,且 f ? A.

? ?

, ]上 6 2


?? ? ? 2? ? ?? f ? ???f ?2? ? 3 ?
3? 4
C. ?

?? ? ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为 ?6?
D. 2?
x



2? 3

B.

11、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? , g ? x ? 满足: ①f ? x ? ? a ? g ? x ? ? 0, ②g ? x ? ? 0



? f ?1? f ? ?1? 5 ? f ?n? ? ? ? ? , ④f ? ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ? ? x ? , 设数列 ? ? ? n ? N ? ? 的前 n g n g ?1? g ? ?1? 2 ? ? ? ? ? ?
)

项和为 Sn ,则 Sn 的取值范围是( A.

? 1? ? 0, ? ? 2?

B. ?1, ? ? 2?

? 3?

C.

?1 ? ,1? ? ?2 ?

D. ? , 2 ?

?3 ?2

? ?

12 、定义域为 R 的函数 f ( x )满足 f ( x+2 ) =2f ( x )﹣ 2 ,当 x∈( 0 , 2] 时, f ( x ) ,若 x∈(0,4]时,t2﹣

=

? f(x)恒成立,则实数 t

的取值范围是(



A. [1,2] B. [2, ] C. [1, ] D. [2,+ ? )

2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题各选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22—24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13、在数列 ?an ? 中, S n 为它的前 n 项和,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比 数列,则 S n = .

14、已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 , 则 y ? f ( x) 的解析式为 .

15、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(3b-c)cos A=acos C,S△ABC = ,则 · =________.

16、 已知函数 f ( x) ? ?

?? | x3 ? 2 x 2 ? x | ( x ? 1) ? ln x ( x ? 1)

, 若命题“ ?t ? R , 且t ? 0, 使得 f (t ) ? kt ”

是假命题,则实数 k 的取值范围是 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
x 17、(本小题满分 12 分)设平面向量 m ? (cos 2 , 3 sin x) , n ? (2, 1) ,函数 f ( x) ? m ? n . 2

(1)当 x ? [?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围; 3 2 13 2? ? ? ,且 ? ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 5 3 6 3

(2)当 f (? ) ?

18、(本小题满分 12 分)已知递增的等差数列 ?an ? 满足: a1 , a2 , a4 成等比数列,且 a1 ? 1 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log 2 (1 ?

1 ? 1 ? ) ,设 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求数列 ? Tn Tn?1 ? 的前 n 项和 Sn an ?2 ?2 ?

3

19、(本小题满分 12 分)四面体 D-ABC,中,AB=BC,在侧面 DAC 中,中线 AN⊥中线 DM, 且 DB⊥AN (1)求证:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)若 AN=4,DM=3,BD=5,求四面体 D-ABC 的体积。 D
N

A

M

C

B

20、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2, 且|F1F2|=2,点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△AF2B 的面积为 心且与直线 l 相切的圆的方程. ,求以 F2 为圆

21、(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=alnx﹣bx2(x>0) ; (1)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 ①求实数 a,b 的值; ②求函数 上的最大值. 都成立,求 相切

(2)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 实数 m 的取值范围.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清 题号 22、(本小题满分 10 分)如图,已知四边形 ABCD 内接于 ΘO,且 AB 是的 ΘO 直径,过点 D 的 ΘO 的切线与 BA 的延长线交于点 M. (1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

4

23、(本小题满分 10 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系.已知点 A、B 的极坐标分别为 的参数方程为 为参数) . 、 ,曲线 C

(Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,求 r 的值.

24、(本小 题满分 10 分)已知函数 f ?x? ? log2 x ?1 ? x ? 2 ? m . (1)当 m ? 7 时,求函数 f ?x ? 的定义域. (2)若关于 x 的不等式 f ?x ? ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

?

?

5

数学(文科)参考答案
一、单项选择 1 A 2 A 3 A 4 C 5 A 6 D 7 B 8 B 9 A 10 C 11 C 12 C

二、填空题

n2 ? n ? 2 13、 3 ? 2
n

14、 f ( x ) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

15、-1 三、解答题 17、

16、 ? ,1? e

?1 ? ? ?

? ? ? ? 2? 1 ? ? 当 x ? [? , ] 时, x ? ? [? , ] ,则 ? ? sin( x ? ) ? 1 , 0 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 3 , 3 2 6 6 3 2 6 6 所以 f ( x) 的取值范围是 [0, 3] .…………………………………………………………6 分

18、解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ? a1 , a2 , a4 成等 比数列,且 a1 ? 1

……………………12分

?a22 ? a1 ? a4 ,即 (1 ? d )2 ? 1 ? 3d ? d ? 1 或 d ? 0 ,因为,数列 ?an ? 为递增等差数列
? d ? 1 ,?an ? 1 ? (n ?1) ? n 所以,数列 ?an ? 的通项公式为: an ? n ……………4 分
(Ⅱ)? bn ? 1 ?

2 3 n ?1 1 n ?1 ) ? log 2 (n ? 1) ? ? Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? log 2 ( ? ????? 1 2 n an n

?

1 1 1 1 ? ? ? Tn?1 2 ?2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
Tn

1 1 1 1 1 1 ? S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 n ? ? ? 2 n ? 2 2n ? 4
所以,数列 ?

?

1 ? n ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 4 ………………………………12 分 ? Tn ? Tn ?1 ?
6

19、 (1)证明:? AN ? DM , AN ? DB 且 DB ? DM ? D

? AN ? 平面BDM ,? AN ? BM
又 AB ? BC 且 M 为 AC 中点

? BM ? 平面ACD, BM ? 平面ABC ? 平面ABC ? 平面ACD ………………………………………4 分
(2)过 D 作 DE ? AC 于E ,设 AN ? DM ? O

? 平面ABC ? 平面ACD
AM ?


? DE ? 平面A B C

AO2 ? OM 2 ?

73 2 73 AC ? 3 则 3

DE ?

DM ? AO 24 1 1 1 2 73 4 73 ? VD ? ABC ? S ? AC ? BM ? ? ?4 ? AM 73 , ?ABC 2 3 2 3 3

S ?ABC ? DE ?

24 32 1 4 73 ? ? ? 73 3 ……………………………………………12 分 3 3
,由题意可得:

20、解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . ∴ ∴a=2,又 c=1,b2=4﹣1=3, 故椭圆的方程为



.…………………………………………………… …4 分

(Ⅱ)当直线 l⊥x 轴,计算得到: , 题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x+1) , ,消去 y 得(3+ 4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0 ,不符合



7

显然△>0 成立,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 又 ,





又圆 F2 的半径



所以 化简,得 17k4+k2﹣18=0, 即(k2﹣1) (17k2+18)=0,解得 k=± 1 所以, ,



故圆 F2 的方程为: (x﹣1)2+y2=2.………………………………………………… 12 分 21、 (1)① ∵函数f(x)在x= 1处与直线 相切∴ ,

解得 ……………………………………………………………………………3分 ② 当 时,令f'(x)>0得 ;

令f'(x)<0,得1<x≤e ∴ ∴ ………………………………………………………6分 (2)当b=0时,f(x)=alnx, 若不等式f(x)≥m+x对所有的 则alnx≥m+x,即m≤alnx﹣x对所有的 令h(a)=alnx﹣x,则h(a)为一次函数,m≤h(a)min ∵x∈(1,e2],
8

上单调递增,在[1,e]上单调递减,

都成立, 都成立.

∴lnx>0,∴

上单调递增

∴h(a)min=h(0)=﹣x, ∴m≤﹣x对所有的x∈(1,e2]都成立, ∵1<x≤e2, ∴﹣e2≤﹣x<﹣1, ∴m≤(﹣x)min=﹣e2………………………………………………………………12分 22、 【解析】 (1)因为 MD 为⊙O 的切线,由切割线定理知, 2 MD =MAMB ,又 MD=6, MB=12 ,MB=MA+AB , ………………………………………( 2 分) , 所以 MA=3,AB=12﹣3=9.………………………………………………………(5 分) (2)因为 AM=AD,所以∠A MD=∠ADM,连接 DB,又 MD 为⊙O 的切线, 由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD,………………………………………………..(7 分) 又因为 AB 是⊙O 的直径,所以∠ADB 为直角,即∠BAD=90° ﹣∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是 90° ﹣∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30° ,所以∠BAD=60° .……………(8 分) 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180° , 所以∠DCB=120°………………………………………………………………(10 分) 23、 (Ⅰ)∵点A、B的极坐标分别为 ∴点A、B的直角坐标分别为 ∴直线AB的直角坐标方程为 (Ⅱ)由曲线C的参数方程 ∵直线AB和曲线C只有一个交点, ∴半径 .……………………………………………10分 、 、 , ;………………………………5分 ,化为普通方程为x2+y2=r2, ,

24、解析: (1)由题意知 x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,则有

?x ? 2 ?? 1 ? x ? 2 ? x ? ?1 或? 或? ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
所以函数 f ?x ? 的定义域为 ?? ?,?3? ? ?4,??? ………………………………………5 分 (2)不等式 f ?x ? ? 2 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 因为 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ?x ? 1? ? ?x ? 2? ? 3 . 由题意 m ? 4 ? 3 ,所以 m 的取值范围 ?? ?, ? 1? .……………………………………10 分

9


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