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2010年广东省广州增城中学鹤岭杯高二数学竞赛题及答案新人教版


2010 年增城中学鹤岭杯高二数学竞赛试卷

题 得

号 分



二 (11) (12)

三 (13) (14) (15)





评卷员

考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不

准使用计算器;
考号

⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内. 1.已知集合 P ? ?a, b? , M ? { A | A ? P} ,则集合 P 与集合 M 的关系为( A. P ? M 2. 已知函数 f ? x ? ? ? B. P ? M C. P ? M D P?M ) . ) .

?1 ? x 2 , 0 ? x ? 1, 则 f [ f ( ?0.5)] 等于( x ? 1 ? x ? 0. ?2 ,
B. ? 1 C. 0.5 D. 1

姓名

A. ? 0.5

3.若四面体的一条棱长为 x ,其余的棱长都是 1 ,它的体积为 F ? x ? ,则 F ? x ? 在其定义 域上( ) . A.是增函数,但无最大值 C.不是增函数,但有最大值
2

B.是增函数,且有最大值 D.不是增函数,且无最大值

4. 已知方程 ( x ? 2 x ? m) x ? 2 x ? n ? 0 的四个根组成一个首项为
2

?

?

1 的等差数列,则 4

| m ? n |? (
班级 A. 1

) . B.

3 4

C.

1 2

D.

3 8

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. 5. 设 △ ABC 的 三 边 长 分 别 是 a 、 b 、 c , 外 心 、 垂 心 分 别 为 O 、 H , 那 么
? ? ? ?

OA? OB ? OC ? OH ? ______ .

用心

爱心

专心

?x ? y ? 2 ≤ 0 x2 ? y 2 ? 6.设实数 x 、 y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ≥ 0 ,则 u ? 的取值范围是__________. xy ?y ? 2≤ 0 ?
7. 数列 {an } 满足 a1 ? 0 , a n ?1 ? a n ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式 8.多项式 x ? x ? 1
2

. .

?

? ? 2 x ? 1?
9

4

展开式中 x 的奇次项系数之和为

9.古希腊数学家把数 1, 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , …,叫做三角形数,它有一定的规律性,则 第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为__________. 10.设 m ? R, M ? {? x, y ? | y ? ? 3 x ? m} , N ? {? x, y ? | x ? cos ? , y ? sin ? , 0 ? ? ? 2? } , 且 M ? N ? {? cos ?1 ,sin ?1 ? , ? cos ? 2 ,sin ? 2 ?} ,则 m 的取值范围为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R .

(1)若函数 h( x) ? f ( x ? t ) 的图象关于点 ( ? (2)设 p : x ? [

?
6

, 0) 对称,且 t ? (0, ? ) ,求 t 的值;

? ?

, ], q : f ( x) ? m ? 3 ,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 4 2

12. (本小题满分 15 分)如图,已知正方形 ABCD , E 、 F 分别是 AB 、CD 的中点,将 ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) . (1)证明: BF // 平面 ADE ; (2)若△ ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上, 证明你的结论,并求角 ? 的余弦值.

用心

爱心

专心

B

C

A B

E

F

C E F

A

D D

13. (本小题满分 20 分)

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,直线 l 过点 A ? ? a, 0 ? 和点 B ? a, t?a ? ? t ? 0 ? 交椭圆于 M ,直线 2 a y MO 交椭圆于 N . M B (1)用 a, t 表示△ AMN 的面积 S ;
已知椭圆 (2)若 t ? [1, 2] , a 为定值,求 S 的最大值.

A
N

O

x

14. (本小题满分 20 分) 如图,在 xOy 平面上有一系列点 P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ), ?,Pn ( xn,yn ), ?, 1 ( x1 对每个自然数 n, 点 Pn 位于函数 y ? x ( x ? 0) 的图象上. 以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相切,
2

且⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 又彼此外切,若 x1 ? 1 ,且 xn ?1 ? xn ( n ? N ) . (1)求证:数列 ?

?

?1? ? 是等差数列; ? xn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ,求证: Tn ? 3 ? . ?

(2)设⊙ Pn 的面积为 S n,Tn ?

用心

爱心

专心

15.(本小题满分 20 分)

1 ? x2 ? x ? R? . 1 ? x ? x2 (1)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值;
已知函数 f ? x ? ? (2)若 et ? 2 x 2 ? et x ? et ? 2 ≥ 0 对满足 x ≤ 1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取值范 围(这里 e 是自然对数的底数) ; (3) 求证: 对任意正数 a 、 恒有 f ?? b、 ? 、? ,

?

?

?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? a 2 ? ?b2 ? ? ? a ? ?b ? f? ?≥ ? ? ? ??? ? ? ??? ?

2

?

? a 2 ? ?b2 . ???

用心

爱心

专心

2010 年增城中学鹤岭杯高二数学竞赛答卷
学号 姓名 分数 一.选择题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在对应的位置.) 题号 答案 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. ) 5. 8. 6. 9. 7. 10. 1 2 3 4

三.解答题:(本大题共 5 小题,共 90 分.请在相应位置作答,要求写出解答过程.) 11. (本小题满分 15 分)

用心

爱心

专心

12、 (本小题满分 15 分)
B C A B E F C E F A D D

用心

爱心

专心

13、 (本小题满分 20 分)

y M B

A
N

O

x

14、 (本小题满分 20 分)

用心

爱心

专心

15.(本小题满分 20 分)

用心

爱心

专心

2010 年增城中学鹤岭杯高二数学竞赛参考答案
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. 1.A 2.C 3.D 4.B 3、D 将两个边长都为 1 的正三角形一条边重合,一个三角形不动,另一个三角形由重合的位 置逐渐张开,当张开到两三角形垂直位置时体积最大,再继续张开则体积逐渐减少。故选 C。 当两三角形趋向重合时, F ? x ? ? 0 ,故值域为 (0, ] 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. 5.答: 0 。如图,作直径 BD,因 AD⊥AB, ∴AD∥CH。同理 AH∥CD 于是四边形 AHCD 是平行四边形。 所以 OH ? OA? AH ? OA? DC ? OA? (OC ? OD) ? OA? OB ? OC ∴ OA? OB ? OC ? OH ? 0 。也可根据特殊值法,令△ABC 为等边三角形得答案。 6. ? 2,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 8

A D O B H C

? 10 ? ? ? 3?

7. a n ? ?

?n ? 1, n为奇数, ?n, n为偶数.

8.解 设 f ? x ? ? x ? x ? 1
2 4

?

? ? 2 x ? 1?
9

4

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? … ? a22 x 22

令 x ? 1 , f ?1? ? 3 ? a0 ? a1 ? a2 ? … ? a22 ;① 令 x ? ?1 , f ? ?1? ? ?1 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? … ? a21 ? a22 ② ①-②得, 3 ? 1 ? 2 ? a1 ? a3 ? a5 ? … ? a21 ? ,所以奇次项系数之和为 41.
4

9.解 引入自变量 n 和因变量 s ,列表得
用心 爱心 专心

n s

1

2 3

3 6

4 10

5 15
2

… …

在 猜 想 一 次 关 系 未 获 通 过 的 情 况 下 , 调 整 为 二 次 函 数 关 系 s ? an ? bn ? c , 把

?1,1? , ? 2,3? , ? 3, 6 ? 分别代入解之,得关系式为 s ?

n ? n ? 1? 1 2 1 。以 n ? n ,或化为 s ? 2 2 2

? 4,10 ? , ? 5,15? 验证均获通过。因此可求得第 24 个与第 22 个三角形数分别为 300,253,
故这两个三角形数的差为 47. 10. ?2, 3 ?

?

? ?

3, 2

?
2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 解:解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2sin (

?

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1 4 2

?

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
∴ h( x) ? f ( x ? t ) ? 2sin(2 x ? 2t ? ∴ h( x) 的图象的对称中心为 ( 又已知点 ( ?

?

?

?
6

k? ? ? ? t , 0), k ? Z . 2 6

3

),

, 0) 为 h( x) 的图象的一个对称中心,∴ t ?

而 t ? (0, ? ) ,∴ t ?

?
3



(Ⅱ)若 p 成立,即 x ? [

? ? 2? , ] 时, 2 x ? ? [ , ] , 4 2 3 6 3 f ( x) ? [1, 2] ,由 f ( x) ? m ? 3 ? m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3 ,
∵ p 是 q 的充分条件,∴ ?

5? . 6

k? ? ? (k ? Z ) . 2 3

? ?

即 m 的取值范围是 ( ?1, 4) .

?m ? 3 ? 1 ,解得 ?1 ? m ? 4 , ?m ? 3 ? 2

12. (本小题满分 15 分)(1)EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,? EB//FD,且 EB=FD, ? 四边形 EBFD 为平行四边形.? BF//ED

? EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ? BF // 平面 ADE .
(2)法一:如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD.? ? ACD 为正三角形, ? AC=AD? CG=GD ? G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角. 即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF
用心 爱心 专心

在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF ? AG ?

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

? AH ?

2 a 5

? GH ?

a 2 5

cos ? ?

GH 1 ? . AH 4

法二:点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ,垂足为 G ? . ? ? ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, ? AF ? CD 又因 EF ? CD , 所以 CD ? 平面AEF

? AG? ? 平面AEF ? AG? ? CD

又 AG ? ? EF 且 CD ? EF ? F , CD ? 平面BCDE , EF ? 平面BCDE

? AG? ? 平面BCDE

? G? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.

即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角. 即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中, AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF ? AG ?

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

? AH ?

2 a 5

? GH ?

a 2 5

cos ? ?

GH 1 ? . AH 4

法三: 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG ? ? EF ,垂足为 G ? . ? ? ACD 为正三角形, F 为 CD 的中点,

? AF ? CD

又因 EF ? CD ,

所以 CD ? 平面AEF

? CD ? 平面BCDE

? 平面AEF ? 平面BCDE
AG? ? EF

又? 平面AEF ? 平面BCDE =EF,AG ? ? EF

? AG? ? 平面BCDE

? G? 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.
用心 爱心 专心

即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角. 即 ?AHG ? ? 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF

? AG ? 2 a 5

3 a 2

在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD

? AH ?

? GH ?

a 2 5

,

cos ? ?

GH 1 ? . AH 4

13. (本小题满分 20 分)

y ? ( x ? a) ? t 2 2 2 2 ? 解: (1)易得 l 的方程为 y ? ( x ? a ) …1 分 由 ? ,得 ? a t ? 4 ? y ? 4aty ? 0 2 2 2 ?x ?a2 ? ? y ?1

?

t

解得 y ? 0 或

y?

4at a t ?4
2 2

即点 M 的纵坐标

yM ?

4at a t ?4
2 2

2 S ? S? AMN ? 2 S? AOM ?| OA |? yM ? 4a 2t 2 …7 分

4?a t

(2)由(1)得, S ? 4a t

2

4?a t

2 2

?

4a

2

4 2 ?a t t

(t ? 0)
2 a

令 V ? 4 ? a 2 t ,V ? ? ? 4 ? a 2 t t2 当t ?

由V ? ? 0 ? t ?

2 2 2 时, 2 V ? ? 0;当0 ? t ? 时, V ? ? 0 …10 分 若 1 ? a ? 2 ,则 ? [1, 2) ,故当 t ? 时, a a a a

S max ? a
若 a ? 2 ,则 0 ?

2 4 ? 1. ? V ? ? a 2 t 在 [1, 2] 上递增,进而 S ? t ? 为减函数. a t

∴当 t ? 1 时, S max ?

4a 2 4 ? a2

综上可得 S max ? ? ? 4a 2 14. (本小题满分 20 分)

?a (1 ? a ? 2) ( a ? 2) ? ?4 ? a2

用心

爱心

专心

解: 证明: (1) 依题意, ⊙ Pn 的半径 rn ? yn ? xn, 则 Pn Pn ?1 ? rn ? rn ?1 . ? Pn 与 ? Pn ?1 彼此外切,
2

即 ( xn ? xn ?1 ) ? ( yn ? yn ?1 ) ? yn ? yn ?1 ,
2 2

两边平方,化简得 ( xn ? xn ?1 ) ? 4 yn yn ?1 ,
2

即 ( xn ? xn ?1 ) ? 4 xn xn ?1 .
2 2 2

∵ xn ? xn ?1 ? 0, ? xn ? xn ?1 ? 2 xn xn ?1,

1 1 ? ? 2(n ? N? ) . xn ?1 xn
∴数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? xn ? 1 xn 1 ? (n ? 1)?2 , x1

(2)由题设,∵ x1 ? 1 , ?

∴ xn ?

1 ? 4 , ,S n ? ?xn ? 2n ? 1 ??n ???? Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n

? 1 1 ? 1 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2? (2n ? 1) ? ? 3 5 ? ? 1 1 1 ≤ ? ?1 ? ? ?? ? (2n ? 3)?(2n ? 1) ? ? 1?3 3?5 ? ? 1? 1 ?? ? ? ?1 ? ?1 ? ?? ? 2 ? 2n ? 1 ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? . ? ???n ? 1? 2
?2 x ?1 ? x ? x 2 ? ? ? 2 x ? 1? ?1 ? x 2 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 2 ?1 ? x ? x ?

15. (本小题满分 20 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

?

?

?

?

∴ f ? x ? 的增区间为 ?2 ? 3, ?2 ? 3 , f ? x ? 减区间为 ??, ?2 ? 3 和 ?2 ? 3, ?? . 极大值为 f ?2 ?

?

? ? ? ? ? 2 3 2 3 ,极小值为 f ? ?2 ? 3 ? ? ? .…………6′ 3? ? 3 3
t

?1 ? x ? x ?

2 2

?

(Ⅱ)原不等式可化为 e ≥ ∴

2 ?1 ? x 2 ?
2

2 ?1 ? x

2

1? x ? x

2

? 的最大值为 4

1? x ? x 3 3

由(Ⅰ)知, x ≤ 1 时, f ( x) 的最大值为

2 3 . 3

,由恒成立的意义知道 et ≥
用心 爱心 专心

4 3 4 3 ,从而 t ≥ ln …12′ 3 3

(Ⅲ)设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?

1 ? x2 ? x ? x ? 0? 1 ? x ? x2 ? ? x 2 ? 4 x ? 1? x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 2 则 g?? x? ? f ?? x? ?1 ? . ?1 ? ? 2 2 2 2 1 ? x ? x 1 ? x ? x ? ? ? ?
∴当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数, 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ?
2

?? ? a ? b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 ?? ≤0 ? ? 2 ??? ? ??? ? ?? ? ? ?
2 2

? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 ∴? . ? ≤ ??? ? ??? ? ?? ?a ? ?b ?2 ? ? ?a ? ?b ?2 ? ?a2 ? ?b2 ? ?a2 ? ?b2 ? ≥ f 由 g ? x ? 的单调性有: f ?? , ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ?? ? a ? ? b ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 即 f ?? .…………20′ ?≥ ? ? ?? f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

用心

爱心

专心


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