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集合定义


第一章

集合

1.1 集合的含义与常用的数集 1.2 集合的表示方法 1.3 集合之间的关系 1.4 集合的运算

1.5 充分条件与必要条件

张婷婷

1.1 集合的含义和常用数集
? 引入 ? 根据下面的例子向同学们介绍你原来就读的 学校,你的兴趣、爱好及现在

班级同学的情 况。 ? “我就读于第二十中学” ? “我喜欢打篮球、画画” ? “我现在的班级是高一(1)班,全班共40 人,其中男生23人,女生17人。”

1.1 集合的含义和常用数集
1. 集合与元素
一般地,某些指定的对象集中在一起就 成为一个集合,也简称集,通常用大写字 母A、B、C…表示.把具有某种属性的一些 确定的对象叫做集合中的元素,通常用小 写字母a、b、c…表示;

A

B

a

b

1.1 集合的含义和常用数集
2. 集合和元素的关系
如果a是集合A的元素,记作a∈A,读作a属 于 A; 如果b不是集合B的元素,记作b ?B,读作 b不属于B;

A

a

B

b

1.1 集合的含义和常用数集
? 例: ? “中国古代的四大发明”构成一个集合, 该集合的元素就是指南针、造纸术、活字 印刷术、火药。
“math”中的字母构成一个集合,该集合 的元素就是m,a,t,h这4个字母。 “小于5的正整数”构成一个集合,该集合 的元素就是1,2,3,4这4个数。

1.1 集合的含义和常用数集
3. 集合中元素的性质
思考: “聪明的学生”能否构成一个集合? “boss”是由b,o,s,s四个元素构成的吗?

1.1 集合的含义和常用数集
(1)确定性:集合中元素必须是确定的,不确定 的对象不能构成集合,如:“高三(1)班个子较 高的同学”就不能构成集合。

(2)互异性:集合中任何两个元素都是不同的 对 象,如:“boss”中的字母构成集合中只有b,o, s 这3个,而不能写出两个s。 (3)无序性:同一集合中的元素之间无顺序。

1.1 集合的含义和常用数集
4. 常用的数集
? 一般地,我们约定用一些大写英文字母, 表示常用的一些数的集合(简称数集)。 ? 自然数集,记作N;正整数集,记作N+ 或 N* ;整数集,记作Z;有理数集,记作Q; 实数集,记作R。

1.1 集合的含义和常用数集
? 练习一 判断下列语句能否确定一个集合 (1)小于8的自然数; (2)本班个子高的同学; (3)参加2008年奥运会的中国代表团成员 (4)与1接近的实数的全体 (5)中国足球男队的队员

1.1 集合的含义和常用数集
? 练习二
判断下面关系是否正确 (1)0 ∈Z (3)0 ∈ N+ (2) 1/2∈Q (4) -8 ∈Z

1.1 集合的含义和常用数集
? 练习三
用“属于”和“不属于”的符号填入空格 (1)1/5___Z (3)-19___N (2)1.4142___Q (4)

7 ___R

1.1

复习

1、集合的含义 一般地,某些指定的对象集中在一起就成为 一个集合。 2、集合中元素的特征(1)确定性(2)互异 性(3)无序性 3、常用数集 自然数集N,正整数集N+或N*,整数集Z,有 理数集Q,实数集R.

1.2

集合的表示方法

1. 集合的几种表示方法
(1)列举法:将集合的元素一一列举出来, 并置于“{}”内,如{1,2,3,4}。用这种方法 表示集合,元素之间需用逗号分隔,列举时与 元素顺序无关。 (2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质 表示出来,写成{x|P(x)}的形式(其中x为集 合中的代表元素,P(x)为元素x具有的性质。 如{x|x<5且x∈N},{x|x是中国古代四大发明})

1.2
(3)图示法

集合的表示方法

1,2,3,4

指南针,活字印刷术, 火药,造纸术

1.2

集合的表示方法

? 例1:由方程x2 -1=0的解的全体构成的集合, 可表示为
(1)列举法:{1,-1}。 (2)描述法:{x|x2 -1=0,x∈R} (3)图示法:如下

1,-1

1.2

集合的表示方法

? 有限集:含有有限个元素的集合,叫做有 限集。{1,2,3,4}

? 无限集:含有无限个元素的集合,叫做无 限集。{x | x>1,x∈R}

1.2

集合的表示方法

? 例2:用列举法表示下列集合
(1){x|x是大于2小于12的偶数} (2){x|x2=4} 解:(1){4,6,8,10} (2){2,-2}

1.2

集合的表示方法

? 例3:用描述法表示下列集合
(1)南京市 (2)不小于2的全体实数的集合 解:(1){x|x是中华人民共和国江苏省省会}; (2){x|x≥2,x∈R};

1.2
集合共有三种表示方法

复习

(1)列举法 (2)描述法 (3)图示法(文恩图法)

1.3 集合之间的关系

?1.3.1 子集,空集,真子集

?1.3.2 集合的相等

1.3.1 子集,空集,真子集
? 引入 观察A,B集合之间有怎样的关系? (1)A={-1,1},B={-1,0,1,2}; (2)A=N,B=R; (3)A={x|x为上海人},B={x|x为中国人}。

1.3.1 子集,空集,真子集

? 很容易由上面几个例子看出集合A中的任何 一个元素都是集合B的元素,集合A,B的 关系可以用子集的概念来表述。

1.3.1 子集,空集,真子集
1. 子集 对于两个集合A与B,如果集合A的任何一 个元素都是集合B的元素,那么集合A叫集 合B的子集,记作:A ? B (或 B ? A), 读作A包含于B(或B包含A)。

B

A

如果集合A不是集合B的子集,记作: A ? B,读作:A不包含于B。

1.3.1 子集,空集,真子集
? 2. 空集
我们把不包含任何元素的集合叫空集,记 作:

我们规定:空集是任何一个集合的子集, 即 ? A

1.3.1 子集,空集,真子集
3. 真子集
对于两个集合A、B,如果A包含于B,且 B中至少有一个元素不属于A,则称集合A 是集合B的真子集,记作:A ? B(或B ? A),读作:A真包含于B(或B真包含 A)。 如:{a,b} ? {a,b,c}

1.3.1 子集,空集,真子集
? 由子集和真子集的定义可知:
对于集合A,B,C,若A ? B,B ? C,则 A ?C 对于A,B,C,若A ? B,B ? C,则 A? C

1.3.1 子集,空集,真子集
? 例1: 说出集合A={a,b}的所有子集与真子集。

解:集合A的所有子集是: ,{a},{b},{a,b} 上述集合除了{a,b},剩下的都是A的真 子集。

1.3.1 子集,空集,真子集
? 例2: 说出下列各组的三个集合中,哪两个集合 之间有包含关系? (1)S={-2,-1,0,1,2},A={-1,1} B={-2,2}; (2)S=R,A={x|x<=0,x∈R}, B={x|x>0,x∈R}。
解:在(1)与(2)中,都有A ? S,B ? S

1.3.1 复习
1、子集 对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素 都是集合B的元素,那么集合A叫集合B的子集, 记作:A ? B (或 B ?A),读作A包含于B(或 B包含A)。 2、空集 我们把不包含任何元素的集合叫空集,记作: 3、真子集 对于两个集合A、B,如果A包含于B,且B中至 少有一个元素不属于A,则称集合A是集合B的真 子集,记作:A ?B(或B ?A),读作:A真包 含于B(或B真包含A)。

1.3.2 集合的相等
?对于两个集合A与B,如果A B,且B A,则称集合A与B相等,记作A=B。
?例如:A={x|x2=4},B={2,-2} A和B就是两个相等的集合。

1.3.2 集合的相等
? 例1:说出下面两个集合的关系 (1)A={1,3,5,7},B={3,7}; (2)C={x|x2=1},D={-1,1}; (3)E={偶数},F={整数}。
解:(1)B ? C (2)C = D (3)E ? F

1.3.2 复习
对于两个集合A与B,如果A? B,且 B ? A,则称集合A与B相等,记作A=B

1.4

集合的运算

?1.4.1 交集 ?1.4.2 并集 ?1.4.3 补集

1.4.1

交集

1、引入 观察下列两组集合并用图示法表示出来 (1)A={x|x为会打篮球的同学},B={x|x为 会打排球的同学},C={x|x为既会打篮球又 会打排球的同学}; (2)A={-2,-1,0,1,2},B={-2,-1,3} C={-1,-2}。 观察上述组合A,B,C都有怎样的关系?

1.4.1

交集

? 很容易看出集合C中的元素既在集合A中, 又在集合B中。

A

C

B

1.4.1

交集

2、交集的概念 一般的,由所有属于集合A又属于集合B的 元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的 交集,记作A∩B,读作“A交B”。

A

A∩B

B

1.4.1
A B

交集

A∩B ≠ Φ
相交

A∩B=Φ

不相交 A∩A=A

B

A

A∩ Φ =Φ A∩B=B∩A

A∩B=A

1.4.1
3、交集的性质

交集

对于任意两个集合都有 (1)A∩B=B∩A (2)A∩A=A (3)A∩ = ∩A= (4)如果A ? B,则A∩B=A

1.4.1

交集

例1:已知A={1,2,3,4},B={3,4,5},求 A∩B。 解:A∩B={1,2,3,4} ∩{3,4,5}={3,4}

1,2

3,4

5

练习1: 设A={ 12的正约数 } ,B={ 18的正约 数 },用列举法写出12与18的正公约数集。

解:A={ 1,

2,3, 4,6, 12 }

B={ 1, 2,3, 6,9, 18 } 12与18的正公约数集是 A∩B= { 1, 2,3, 4,6, 12 } ∩ { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } ={ 1, 2, 3 , 6 } 练习2 A={-4,-3,-2,-1,0,1,2} B={4,3,2,1,0,-1,-2},求A∩B

1.4.1

交集

例2:已知A={菱形},B={矩形},求A∩B。
解:A∩B={菱形} ∩{矩形}={正方形}

菱形

正 方 形

矩形

1.4.1

交集

例3:已知A={(x,y)|2x+3y=1},B={(x,y) |3x-2y=3},求A∩B。 解:A∩B= {(x,y)|2x+3y=1} ∩ {(x,y) |3x-2y=3} = {(x,y)| 2x+3y=1 } 3x-2y=3 = {(11/13,-3/13)}

1.4.1
练习3

交集

1、已知A={1,3,4},B={3,4,5,6},求 A∩B。 解:A∩B={1,3,4}∩{3,4,5,6}={3,4}

1.4.1
练习4

交集

2、已知A={a,b,c,d},B={b,d,m,n}, 求A∩B。 解:A∩B={a,b,c,d} ∩ {b,d,m,n}={b, d}

1.4.1
?复习

交集

1、交集的概念和表示方法 2、交集的性质

1.4.1
?作业
1.4.1 课后作业

交集

1.4.2

并集

? 引入 观察下列集合A,B,C有怎样的关系? A={2,4,6},B={4,8,12}, C={2,4,6,8,12}
容易看出来,集合C中的元素是由集合A和 集合B中的元素合并在一起构成的

1.4.2

并集

? 定义: 一般的,对于两个给定集合A,B,把它们 所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A 与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”。

A

B

A

B

1.4.2
? 对于任何两个集合都有

并集

(1)A∪B=B∪A; (2)A∪A=A; (3)A∪ = ∪A=A。 若A ? B,则A∪B=B;若A ? B,则 A∪B=A

1.4.2
? 例1:

并集

已知:A={1,2,3,4},B={3,4,5,6, 7},求A∪B。 解:A∪B={1,2,3,4} ∪{3,4,5,6,7} ={1,2,3,4,5,6,7}

1.4.2
? 例2:

并集

已知N={自然数},Z={整数},求N∪Z。

解:N∪Z={自然数} ∪{整数}={整数}

1.4.3

补集

? 引入 观察下列各组中的三个集合,它们之间有 什么关系? (1)S={-2,-1,1,2},A={-1,1}, B={-2,2}; (2)S=R,A={x|x≤0,x∈R}, B={x|x>0,x∈R}。

1.4.3

补集

? 设有两个集合A,S,由S中不属于A的所有 元素组成的集合,成为S的子集A的补集, 记作CsA(读作“A在S中的补集”)即 CsA={x|x∈S且x ? A}。如图:深色部分为 A在S中的补集。

S A

1.4.3

补集

? 如果集合S中包含我们所要研究的各个集合, 这时S可以看做一个全集,通常记作U。例 如,在研究实数时,常把实数集R作为全集。 由补集的定义可知,对于任意集合A,有: ? A∪ CuA =U ? A∩ CuA = ? ? Cu(CuA) =A

1.4.3

补集

? 例1 已知U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,5},求CuA, A∩ CuA , A∪ C u A 。
解:CuA={3,4,6}, A∩ CuA = ? , A∪ CuA =U。

1.4.3

补集

? 例2 已知U={实数},Q={有理数},求CuQ。

解: CuQ={无理数}。

1.4.3

补集

? 例3 已知U=R,A={x|x<5},求CuA。

解:CuA={x|x≥5}。

1.5 充分条件与必要条件
? 引入 ? “如果两个三角形相似,那么它们的对应角 相等”。这是我们初中几何中用到的性质。 而形如这种:“如果p,则q”的命题也非常 多。我们经常由“如果”这部分经过推理论 证,得出“则…”这部分是正确的,我们就 说p可以推出q,记作: p? q 读作:p推出q,p是q的充分条件,q是p的 必要条件

1.5 充分条件与必要条件
? 例如: (1)如果四边形ABCD是正方形,则这个 四边形的四条边相等。 我们可以把这个命题写为: p:四边形ABCD为正方形,q:四边形的 四条边相等。 那么:p是q的充分条件,q是p的必要条件。

1.5 充分条件与必要条件
? (2)如果x-1=0,那么x2-1=0。 分析:由x-1=0推出x2-1=0是正确的。 我们可以把命题写成: p: x-1=0,q: x2-1=0 则有:p是q的充分条件,q是p的必要条 件。

1.5 充分条件与必要条件
? 我们在开课时讲的例子也可以这样写: p:两个三角形相似,q:它们的对应角相 等。 我们知道p是q的充分条件,但是由于“对 应角相等的三角形也相似”,所以我们说q 也是p的充分条件。即,p是q的充分条件, 也是p的必要条件。

1.5 充分条件与必要条件
? 一般的,如果p ?q,且q ? p,我们就说p 是q的充分且必要条件,简称充要条件,记 作:p? q ? 例如:设x,y为实数,如果x2+y2=0,则 x=0且y=0,可叙述为: x2+y2=0是x=0且 y=0的充要条件。

1.5 充分条件与必要条件
? 如果p ? q,同时q ? p,我们就说p是q的 既不充分也不必要条件。 ? 例如,x>5,是x<3的既不充分也不必要条 件。

1.5 充分条件与必要条件
A
y是有理数 X>5 m、n是奇数 a≥b x∈A且x∈B ab≠0 (x+1)(y-2)=0 m是4的倍数

B
y是实数 X>3 m+n是偶数 a> b x∈ A ? B a≠0 x=-1,y=2 m是6的倍数

A是B的 B是A的 什么条件 什么条件

1.5 充分条件与必要条件
? 例1: 已知A是B的充分条件,C是D的必要条件, A是C的充要条件,求B与D的关系。
解:根据已知条件可知, A ? B,D ? C,A ? C D? C ?A ?B 所以D ? B 即D是B的充分条件,B是D的必要条件。

第二章

不等式


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