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11.2直线的倾斜角和斜率(2)ppt课件


11.2

直线的倾斜角和斜率(2)

? ? 我们知道直线的斜率 k ,直线的方向向量 d ,

都可以刻画直线 l 的方向,那么它们之间存在着什么关系呢?

? (1)已知一个方向向量 d ? (u, v) ,求直线的斜率 k
已知直线 l 上有两点 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

? ? 则直线 l 的一个方向向量 d ? ? u, v ? 与 PQ 平行

所以当 x1 ? x2 ,即 u ? 0 时, k ?

y1 ? y2 v ? ; x1 ? x2 u

当 x1 ? x2 即 u ? 0 时,斜率 k 不存在(趋向无穷大) ,直线的倾斜角 ? ?

?
2



(2)已知斜率 k ( ? ?

?
2

? ? ) ,求直线的一个方向向量 d

? ? v 设直线的一个方向向量为 d ? ? u, v ? ,则 k ? ? u ? 0 ? ,即 v ? uk u ? ? ? ? 则有: d ? ? u, v ? ? ? u, uk ? // ?1, k ? ,所以直线的一个方向向量 d ? ?1, k ?

? ? 综上,对于同一条直线 l ,设直线的斜率 k ,直线的方向向量 d ? ? u, v ? , ? v ? 则我们得到两个重要的关系式: k ? , d ? ?1, k ? u

? 若已知直线的一个法向量 n ? ? a, b ? ,直线的斜率 k ,
那么它们之间存在什么关系呢?

? (1) 已知一个法向量 n ? ? a, b ? ,求直线的斜率 k
? ? ? ? ? 因为 n ? d ,则直线的一个方向向量为 d ? ? ?b, a ? ,
所以:当 b ? 0 时, k ? ? (2)已知斜率 k ( ? ?
a b

?
2

? ) ,求直线的一个法向量 n

? ? ? ? ? 直线的一个方向向量为 d ? ?1, k ? ,因为 n ? d

? 所以直线的一个法向量为 n ? ? ?k ,1?

不同形式的方程之间的联系
名称 直线方程 方向向量 法向量 斜率 点方向式

x ? x0 y ? y 0 ? u v
a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0

(u , v )
(b,?a) (b,?a)

(v,?u )

v u

点法向式

( a, b)
( a, b)

?

a b

一般式

ax ? by ? c ? 0
y ? y0 ? k(x ? x0)

a ? b

点斜式

(1, k )
(1, k )

(?k ,1)

k
k

斜截式

y ? kx ? b

(?k ,1)

? ? 例 1.已知直线的一个方向向量为 d ,指出直线 l 斜率与倾斜角:

? ? ? ? ? ? ? ? (1) d ? ? 7, ?1? (2) d ? ? ?a, b ?? a ? 0, b ? 0 ? (3) d ? ? 3,0 ? (4) d ? ? 0,3?

1.解: k ?
2. 解: k ?

v ?1 1 ? , ? ? ? ? arctan u 7 7
v b b ? ? , ? ? ? ? arctan u a a

3.解: k ?

v 0 ? ? 0 ,? ? 0 u 3

4.解: k 不存在, ? ?

?
2

例 2.求下列方程所表示的直线的斜率,一个方向向量,一个法向量 x ?1 y ? 3 ? (1) y ? 2 x ? 1 (2) (3) 3? x ?1? ? 2 ? y ? 4? ? 0 (4) x ? ?1 2 ?3

? ? ? 1. 解: k ? 2 , d ? ?1, 2 ? , n ? ? 2, ?1?

? ? 3 ? 2. 解: d ? ? 2, ?3? , k ? ? , n ? ? 3, 2? 2 ? ? ? 3 3. 解: n ? ? 3, 2? , d ? ? 2, ?3? , k ? ? 2

? ? ? 4.解: d ? ? 0,1? , k 不存在, n ? ?1, 0 ?


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