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三大数学危机


第三章 若干数学典故中的数学文化

1

第一节 历史上的三次数学危机

2

历史上,数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战, 危机的解决就意味着进步。所以,危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机,都是数学的基本 部分受到质疑。实际

上,也恰恰是这三次危 机,引发了数学上的三次思想解放,大大推 动了数学科学的发展。
3

一、第一次数学危机 第一次数学危机是由 2 不能写成两 个整数之比引发的,我们在第一章已专 门讨论过,现再简要回顾一下。

4

这一危机发生在公元前5世纪,危机 来源于:当时认为所有的数都能表示为整 数比,但突然发现

2

不能表为整数比。

其实质是: 2 是无理数,全体整数之比 构成的是有理数系,有理数系需要扩充,需

要添加无理数。

5

当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危 机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”

的新说法,回避了2

是无理数的实质,而是用几

何的方法去处理不可公度比。这样做的结果,使几

何的基础牢靠了,几何从全部数学中脱颖而出。欧
几里得的《几何原本》中也采用了这一说法,以致 在以后的近二千年中,几何变成了几乎是全部严密 数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪,依赖实数

理论的建立。
6

二、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分
的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉

斯学派内部提出的,第二次数学危机则是由
牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是

对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。

7

1.危机的引发 1)牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴 含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。 微积分的一个来源,是想求运动物体在某一

时刻的瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间
内的平均速度,无法求某一时刻的瞬时速度。
8

例如,设自由落体在时间 t 下落的距离为 S (t ) , 1 2 有公式 S (t ) ? gt,其中 g 是固定的重力加速度。我
们要求物体在 t 0 的瞬时速度,先求
1 2 1 2 ?S ? S (t1 ) ? S (t0 ) ? gt1 ? gt0 2 2 1 1 2 2 ? g[(t0 ? ?t ) ? t0 ] ? g[2t0 ?t ? (?t ) 2 ] 2 2
2
?S ?t





?S 1 ? gt0 ? g (?t ) ?t 2

(*)

9

当 ?t 变成无穷小时,右端的

也变成无穷小,因而上式右端就可以认为

1 g ? (?t ) 2

是 gt 0 ,这就是物体在 t 0 时的瞬时速度, 它是两个无穷小之比。 牛顿的这一方法很好用,解决了大量过
去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严

格,遭到责难。

10

2)贝克莱的发难

英国的贝克莱大主教发表文章猛烈
攻击牛顿的理论。

贝克莱问道:“无穷小”作为一个
量,究竟是不是0?

11

?S 1 ? gt0 ? g (?t ) ?t 2

(*)
就不能

如果是0,上式左端当 ?t 成无穷小后分母为0,就
1 没有意义了。如果不是0,上式右端的 g (?t ) 2

任意去掉。 在推出上式时,假定了 ?t ? 0 才能做除法,所以 上式的成立是以 ?t ? 0 为前提的。那么,为什么又 可以让 ?t ? 0 而求得瞬时速度呢? 因此,牛顿的这一套运算方法,就如同从

5 ? 0 ? 3 ? 0 出发,两端同除以0,得出5=3一样
的荒谬。
12

贝克莱还讽刺挖苦说:即然 ?t 和 ?S 都变 成“无穷小”了,而无穷小作为一个量,既 不是0,又不是非0,那它一定是“量的鬼魂” 了。

这就是著名的“贝克莱悖论”。
对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的,但是,

13

贝克莱的质问是击中要害的
? 数学家在将近200年的时间里,不能彻底

反驳贝克莱的责难。
? 直至柯西创立极限理论,才较好地反驳了

贝克莱的责难。
? 直至魏尔斯特拉斯创立“ ?

? ? ”语言,

才彻底地反驳了贝克莱的责难。
14

3)实践是检验真理的唯一标准
应当承认,贝克莱的责难是有道理的。“无 穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它,只是由于

它使用起来方便有效,并且得出的结果总是对的。
特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子,显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以,人们 不大相信贝克莱的指责。这表明,在大多数人的 脑海里,“实践是检验真理的唯一标准。”
15

2.危机的实质

第一次数学危机的实质是 “ 2 不是有 理数,而是无理数”。那么第二次数学危机 的实质是什么?应该说,是极限的概念不清
楚,极限的理论基础不牢固。也就是说,微

积分理论缺乏逻辑基础。

16

其实,在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷
小距离与所用的无穷小时间之比”的时候,这种说

法本身就是不明确的,是含糊的。
当然,牛顿也曾在他的著作中说明,所谓“最

终的比”,就是分子、分母要成为0还不是0时的
比——例如(*)式中的gt,它不是“最终的量的 比”,而是“比所趋近的极限”。 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词,但 并没有明确说清这个词的意思。
17

德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积 分,但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此,此后近二百年间的数学家, 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以,由“无穷小”引发的第二次数学 危机,实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。

18

莱布尼茨

牛顿

19

3.危机的解决 1)必要性 微积分虽然在发展,但微积分逻辑 基础上存在的问题是那样明显,这毕竟

是数学家的一块心病。

20

而且,随着时间的推移,研究范围的扩 大,类似的悖论日益增多。数学家在研究无 穷级数的时候,做出许多错误的证明,并由 此得到许多错误的结论。由于没有严格的极 限理论作为基础。数学家们在有限与无限之 间任意通行(不考虑无穷级数收敛的问题)。

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因此,进入19世纪时,一方面微积

分取得的成就超出人们的预料,另一方
面,大量的数学理论没有正确、牢固的逻

辑基础,因此不能保证数学结论是正确无
误的。

历史要求为微积分学说奠基。

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2)严格的极限理论的建立 到19世纪,一批杰出数学家辛勤、 天才的工作,终于逐步建立了严格的极限

理论,并把它作为微积分的基础。
应该指出,严格的极限理论的建立是 逐步的、漫长的。
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① 在18世纪时,人们已经建立了极限理论,但 那是初步的、粗糙的。

② 达朗贝尔在1754年指出,必须用可靠的理论
去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能

提供这样的理论。
③ 19世纪初,捷克数学家波尔查诺开始将严格 的论证引入数学分析,他写的《无穷的悖论》一书 中包含许多真知灼见。

24

④ 而做出决定性工作、可称为分析学的
奠基人的是法国数学家柯西

(A.L.Cauchy,1789—1857)。他在1821—
1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计 算讲义》是数学史上划时代的著作。他对极 限给出比较精确的定义,然后用它定义连续、 导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性, 已与我们现在教科书上的差不太多了。
25

柯西

波尔查诺

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3)严格的实数理论的建立 ① 对以往理论的再认识

后来的一些发现,使人们认识到,极限 理论的进一步严格化,需要实数理论的严格 化。微积分或者说数学分析,是在实数范围 内研究的。但是,下边两件事,表明极限概 念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依 赖比人们想象的要深奥得多。
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一件事是,1874年德国数学家魏尔斯特拉斯
(K.T.W.Weirstrass,1815—1897)构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数”。 “连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断, 连在一起”,而“函数在一点可导”直观上是“函

数曲线在该点有切线”。所以,在直观上“连续”
与“可导”有密切的联系。

这之前甚至有人还证明过:函数在连续点上都
可导(当然是错误的)。因此根本不可想象,还会 有“点点连续而点点不可导的函数”。
28

魏尔斯特拉斯(1815~1897)
德意志帝国数学家。1815年10 月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕 费尔德,1897年2月19日卒于柏林。 1834年入波恩大学学习法律和财政。 1838年转学数学。1842~1856年, 先后在几所中学任教。1854年3月31 日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。 1856年10月受聘为柏林大学助理教 授,同年成为柏林科学院成员, 1864年升为教授。

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魏尔斯特拉斯 关于
“点点连续而点点不可导的函数”的例子是

f ( x) ?

?
n ?0

?

b n cos( a n? x )

其中 a 是奇数,b ? (0,1) , 3 。 使 ab ? 1 ? ? 2
30

另一件事是德国数学家黎曼 (B.Riemann,1826—1866)发现, 柯西把定积分限制于连续函数是没有必 要的。黎曼证明了,被积函数不连续, 其定积分也可能存在。
黎曼还造出一个函数,当自变量取

无理数时它是连续的,当自变量取有理 数时它是不连续的。
31

黎曼
1826年9月17日,黎曼生于德国 北部汉诺威的布雷塞伦茨村,父亲是 一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上

学,14岁进入大学预科学习,19岁 按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读 哲学和神学, 1847年,黎曼转到柏 林大学学习,成为雅可比、狄利克莱、 施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年 重回哥廷根大学攻读博士学位,成为 高斯晚年的学生。

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这些例子使数学家们越来越明 白,在为分析建立一个完善的基础 方面,还需要再前进一步:即需要

理解和阐明实数系的更深刻的性质。

33

② 魏尔斯特拉斯的贡献
德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 ( K a r l Weierstrass,1815—1897)的努力,终于使 分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概 念中解放出来。他的成功产生了深远的影响, 主要表现在两方面,一方面是建立了实数系, 另一方面是创造了精确的“?

??

”语言。

34

“ ? ? ? ”语言的成功,表现在:

这一语言给出极限的准确描述,消除
了历史上各种模糊的用语,诸如“最终

比”、“无限地趋近于”,等等。
这样一来,分析中的所有基本概念都

可以通过实数和它们的基本运算和关系精
确地表述出来。
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4)极限的“ ? ? ?
悖 论” 的消除

”定义及“贝克莱

① 极限的“

? ??

”定义

36

定义:设函数 f (x) 在 x 1的附近都有定 义,如果有一个确定的实数 a, ?? ? 0 (无论多 么小的正数 ? )。 0 都 ?? ? (都能找到一个正数 ? ,依赖 于 ? ),使当 0 ?| x ? x1 |? ? 时(满足不等式 | x ? x1 |? ? 的所有不等于 x 1 的 x ),有 | f ( x) ? a |? ?(这些 x 对应的函数值 f (x) 与 a 的差小于预先给定的任意小的 ? )我们就 f x a x 说“函数 (x) 在 趋近于 1 时,有极限 ” 。 记为 lim f ( x ) ? a 。
x ? x1
37

由极限的这个 “ ? ? ? ”定义,可以求 出一些基本的极限,并严格地建立一整套
丰富的极限理论。简单说,例如有 两个相等的函数,取极限后仍相等; 两个函数,和的极限等于极限的和。 等等。 由此再建立严格的微积分理论。

38

② “贝克莱悖论”的消除
回到牛顿的(*)式上:
?S 1 ? gt0 ? g (?t )(?t ? 0) (*) ?t 2 (即 t1 ? t 0 )条件下,得到的等式; ?t ? 0

这是在

(*)式等号两边都是的函数。然后,我们把物体在 t 0时刻的瞬时速度定义为:上述平均速度当?t 趋于0

1 它表明?t 时间内物体的平均速度为 gt0 ? g (?t )。 2

时的极限,即

?S lim 物体在 t 0 时刻的瞬时速度=?t ?0 。 ?t
39

下边我们对(*)式的等号两边同时取
极限 ?t ? 0 ,根据“两个相等的函数取 极 限后仍相等”,得 ( gt 0 ? 1 g (?t )) lim ?t ?0 2 瞬时速度= 再根据“两个函数和的极限等于极限的
1 1 和”,得 ? g (?t )) ? lim gt 0 ? lim g (?t ) lim ( gt 0 ?t ?0 ?t ?0 ?t ?0 2 2

然后再求极限得

? gt 0 ? 0 ? gt 0
40

上述过程所得结论与牛顿原先的结论

是一样的,但每一步都有了严格的逻辑基
础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量 ?t 是 不是0?”,在这里给出了明确的回答: ?t ? 0 。 这里也没有“最终比”或“无限趋近 于”
41

总之,第二次数学危机的核心是微积分的基础
不稳固。柯西的贡献在于,将微积分建立在极限论

的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于,逻辑地构造了
实数系,建立了严格的实数理论,使之成为极限理

论的基础。所以,建立数学分析(或者说微积分)
基础的“逻辑顺序”是:

实数理论—极限理论—微积分。
而“历史顺序”则正好相反。
42

知识的逻辑顺序与历史顺序 有时是不同的.

43

三、第三次数学危机
1.“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪,数学从各方面走向成熟。非欧几何
的出现使几何理论更加扩展和完善;实数理论(和

极限理论)的出现使微积分有了牢靠的基础;群的
理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更 为明晰,等等。人们水到渠成地思索:整个数学的 基础在哪里?正在这时,19世纪末,集合论出现了。 人们感觉到,集合论有可能成为整个数学的基础。
44

其理由是:算术以整数、分数等为对象,微积分 以变数、函数为对象,几何以点、线、面及其组成 的图形为对象。同时,用集合论的语言,算术的对 象可说成是“以整数、分数等组成的集合”;微积

分的对象可说成是“以函数等组成的集合”;几何
的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合”。 这样一来,都是以集合为对象了。集合成了更基本 的概念。

45

于是,集合论似乎给数学家带来了曙光:

可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。
尽管集合论自身的相容性尚未证明,但许多

人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900
年巴黎国际数学家大会上宣称:“现在 我们可以说,完全的严格性已经达到了!”

46

2.算术的集合论基础
1)人们按下列逻辑顺序把全部数学的基 础归结为算术,即归结为非负整数,即自然数 集合加上0——现在我国中小学就把这一集合

称为自然数集合。

n 取极限 ? (算术)非负整数n→有理数 (? ) ??? m ?1 实数 ?? ? 复数 图形 解析几何 ?

a ? b ? 1 ???? ?

47

因此,全部数学似乎都可归结为非负整数了, 或者说,全部数学都可以归结为算术了。 这样,如果能把算术建立在集合论的基础上, 就相当于解决了整个“数学基础”的问题。

法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格
(G.Frege,1848—1925)就做了这样的工作。他写

了一本名叫《算术基础》的书。

48

弗雷格

《算术基础》
49

2) 弗雷格的《算术基础》 为了使算术建立在集合论的基础上,所 有的非负整数,都需要用集合论的观点和语 言重新定义。 首先从0说起。0是什么? 应当先回答0是什么,然后才有表示“0” 的符号。
50

为此,先定义“空集”。空集是“不含元 素的集合”。例如,“ 方程

x ?1 ? 0
2

在实

数集中的根的集合 ”就是一个空集,再例 如“由最大的正整数组成的集合 ”也是一个

空集。

51

所有的空集放在一起,作成一个集合的 集合,(为说话简单我们把“集合的集合” 称作类),这个类,就可以给它一个符号:0, 中国人念“ling”,英国人念“Zero”。 空集是空的,但由所有空集组成的类, 它本身却是一个元素了,即,0是一个元素了。 由它再作成一个集合{0},则不是空集了。
52

弗雷格再定义两个集合间的双射:既是满射又是

单射的映射叫作双射,也称可逆映射;通俗地说,
就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回 地映射,所以一般称为“双射”。 弗雷格再定义两个集合的“等价”:

A ???? B ? 可逆映射
价”。

?



能够在其间建立双射的两个集合A、B称为“等

53

下边可以定义“1”了。把与集合{0}等价 的所有集合放在一起,作成一个集合的集合。

这个类,就可以给它一个符号:1。
再定义“2”。把与集合{0,1}等价的所有

集合放在一起,作成一个集合的集合。这个
类,就叫:2。

然后,把与{0,1,2}等价的集合作成的
类,叫:3。
54

一般地,在有了0,1,2,…,n的

定义后,就把所有与集合{0,1,2,…,
n}等价的集合放在一起,作成集合的集

合,这样的类,定义为:n+1。
这种定义概念的方法,叫作“归纳定 义”的方法。
55

这样,弗雷格就从空集出发,而仅仅

用到集合及集合等价的概念,把全部非负
整数定义出来了。于是根据上边说的“可

以把全部数学归结为非负整数”,就可以
说,全部数学可以建立在集合论的基础上 了。
56

3. 罗素的“集合论悖论”引发危机 1) 悖论引起震憾和危机 正当弗雷格即将出版他的《算术基

础》一书的时候,罗素的集合论悖论出来
了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学

已经建立起来!”之后刚刚两年,即1902
年。
57

伯特兰· 罗素(1872-1970)
Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell) 出生年月:1872-1970 国籍:英国 学科成就:英国著名哲学家、数学家、 逻辑学家,分析学的主要创始人,世 界和平运动的倡导者和组织者。 所获奖项:1950年诺贝尔文学奖。

罗素
58

集合论中居然有逻辑上的矛盾!
倾刻之间,算术的基础动摇了,整个 数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带 来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴 高采烈的数学家发出哀叹:我们的数学就 是建立在这样的基础上的吗? 罗素悖论引发的危机,就称为第三次 数学危机。
59

罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷 格。弗雷格在他的《算术基础》一书的末 尾无可奈何地写道:“一个科学家遇到的

最不愉快的事莫过于,当他的工作完成
时,基础崩塌了。当本书即将印刷时,罗

素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境
地。”
60

2) 罗素悖论

在叙述罗素悖论之前,我们先注意到
下边的事实:一个集合或者是它本身的成

员(元素),或者不是它本身的成员(元素),
两者必居其一。罗素把前者称为“异常集 合”,把后者称为“正常集合”。
61

例如,所有抽象概念的集合,本身还是抽象概念。 即,它是这一集合本身的元素,所以是“异常集合”。

但是,所有人的集合,不是人,即,它不是这一集合
本身的元素,所以是“正常集合”。

再例如,所有集合的集合,本身还是集合,即,
它是这一集合本身的元素,所以是“异常集合”。但

是,所有星星的集合不是星星,即,它不是这一集合
本身的元素,所以是“正常集合”。
62

罗素当年的例子
? “异常集合” 1:

不多于29个字母表达的句子所构成的集合

? “异常集合” 2:

不是麻雀的东西所构成的集合
63

罗素悖论是:以 M 表示“是其本身成员的 所有集合的集合”(所有异常集合的集合), 而以 N 表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”(所有正常集合的集合),于是任一集合 或者属于 M ,或者属于 N ,两者必居其一,且 只居其一。然后问:集合 N 是否是它本身的 成员?(集合 N 是否是异常集合?)
64

如果 N 是它本身的成员,则按 M 及 N 的 定N M N N 义, 是 的成员,而不是 的成员,即 不 是它本身的成员,这与假设矛盾。即 N ?N ? N ?M ? N ?N

N

M

N

如果 N 不是它本身的成员,则按 及 M N 的定义, 是 的成员,而不是 的成员,即 N 是它本身的成员,这又与假设矛盾。即 N ? N ? N ? N (N ? M )

悖论在于:无论哪一种情况,都得出矛盾。 65

罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”:某村的一 个理发师宣称,他给且只给村里自己不给自己刮脸的 人刮脸。问:理发师是否给自己刮脸? 如果他给自己刮脸,他就属于自己给自己刮脸的

人,按宣称的原则,理发师不应该给他自己刮脸,这
与假设矛盾。如果他不给自己刮脸,他就属于自己不

给自己刮脸的,按宣称的原则,理发师应该给他自己
刮脸,这又与假设矛盾。
66

4. 危机的消除
危机出现以后,包括罗素本人在内的许多数学 家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选 择有两种,一种是抛弃集合论,再寻找新的理论基 础,另一种是分析悖论产生的原因,改造集合论, 探讨消除悖论的可能。

人们选择了后一条路,希望在消除悖论的同
时,尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。
67

这种选择的理由是,原有的康托集合论虽然简
明,但并不是建立在明晰的公理基础之上的,这就

留下了解决问题的余地。
罗素等人分析后认为,这些悖论的共同特征

(悖论的实质)是“自我指谓”。即,一个待定义
的概念,用了包含该概念在内的一些概念来定义, 造成恶性循环。 例如,悖论中定义“不属于自身的集合”时, 涉及到“自身”这个待定义的对象。
68

为了消除悖论,数学家们要将康托

“朴素的集合论”加以公理化;并且规定构
造集合的原则,例如,不允许出现“所有 集合的集合”、“一切属于自身的集合”这

样的集合。

69

1908年,策梅洛(E.F.F.Zermelo,1871—1953) 提出了由7条公理组成的集合论体系,称为Z-系统。

1922年,弗兰克(A.A.Fraenkel)又加进一条
公理,还把公理用符号逻辑表示出来,形成了集合

论的ZF-系统。再后来,还有改进的ZFC-系统。
这样,大体完成了由朴素集合论到公理集合论

的发展过程,悖论消除了。

70

但是,新的系统的相容性尚未证明。因 此,庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来 后不久,形象地评论道:“为了防狼,羊 群已经用篱笆圈起来了,但却不知道圈内 有没有狼”。

这就是说,第三次数学危机的解决,并
不是完全令人满意的。
71

四、 三次数学危机与“无穷”的联系
我们过去就说过,无穷与有穷有本质 的区别。 现在我们可以总结说,三次数学危机 都与无穷有关,也与人们对无穷的认识有

关。
72

第一次数学危机的要害是不认识无理数,而无理 数是无限不循环小数,它可以看成是无穷个有理数

组成的数列的极限。
由于当时尚未真正认识无穷,所以那时对第一次

数学危机的解决并不彻底;第一次数学危机的彻底
解决,是在危机产生二千年后的19世纪,建立了极

限理论和实数理论之后。实际上,它差不多是与第
二次数学危机同时,才被彻底解决的。
73

第二次数学危机的要害,是极限理论的逻
辑基础不完善,而极限正是“有穷过渡到无

穷”的重要手段。贝克莱的责难,也集中在
“无穷小量”上。 由于无穷与有穷有本质的区别,所以,极 限的严格定义,极限的存在性,无穷级数的 收敛性,这样一些理论问题就显得特别重要。
74

第三次数学危机的要害,是“所有不属于
自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。

而且这里可能涉及到无穷多个集合,人们犯
了“自我指谓”、恶性循环的错误。

以上事实告诉我们,由于人们习惯于有穷,
习惯于有穷情况下的思维,所以一旦遇到无

穷时,要格外地小心;而高等数学则是经常
与无穷打交道的。
75

[思]:试叙述历史上的三次数学危
机中,涉及“有穷与无穷”的具体问题;


谈谈自己的体会。

76

本节结束
谢谢

77

牛顿
78


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数学史上三大危机 数学的发展史中,并不是那么一帆风顺的,其中历史上曾发 生过三大危机,危机的发生促使了数学本生的发展,因此我们应该辨 证地看待这三大危机。 ...
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