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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.5.1等比数列的前n项和导学案(含解析)新人教版必修5


第二章第五节等比数列前 n 项和
目标定位: 1.了解等比数列前 n 项和公式的推导过程, 掌握等数列的五个基本量之间的 关系。 2.掌握等比数列前 N 项和公式,性质及其应用。(重点) 3.能应用错位相减法对数列求和。(难点)

等比数列的前 n 项和公式 [提出问题] 已知等比数列{an}, 公比为 q, Sn 是其前 n 项的和, 则 Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q +…+a1q
n-1
2

.

问题 1:若 q=1,则 Sn 与 a1 有何关系? 提示:Sn=na1. 问题 2:若 q≠1,你能用 a1,q 直接表示 Sn 吗?如何表示? 提示:∵Sn=a1+a1q+a1q +…+a1q 两边同乘以 q,可得:
2

n-1



qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn②
①-②得: (1-q)Sn=a1-a1q , ∴当 q≠1 时,Sn=
n

a1?1-qn? . 1-q

[导入新知] 等比数列的前 n 项和公式 已知量 首项 a1 与公比 q 首项 a1,末项 an 与公比 q

公式

Sn=
错误!

na1?q=1?, ? ? Sn=?a1-anq ?q≠1? ? ? 1-q

[化解疑难] 1.在运用等比数列的前 n 项和公式时,一定要注意对公比 q 的讨论(q=1 或 q≠1).

2.当 q≠1 时,若已知 a1 及 q,则用公式 Sn=

a1?1-qn? 较好;若已知 an,则用公式 1-q

a1-anq Sn= 较好. 1-q

等比数列的前 n 项和公式的基本运算 [例 1] 在等比数列{an}中, (1)若 a1=1,a5=16,且 q>0,求 S7; (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 3 9 (3)若 a3= ,S3= ,求 a1 和公比 q. 2 2 [解] (1)因{an}为等比数列且 a1=1,a5=16 ∴a5=a1q ∴16=q
4 4

∴q=2(负舍)

a1?1-q7? 1-27 ∴S7= = =127. 1-q 1-2 a1?1-2 ? ? ?189= , a1?1-q ? n-1 1-2 (2)法一:由 Sn= ,an=a1q 以及已知条件得? 1-q ? ?96=a1·2n-1.
n n

∴a1·2 =192, 192 n ∴2 = .

n

a1

∴189=a1(2 -1)=a1?
n

?192-1?, ? ? a1 ?

∴a1=3. 又∵2
n-1

96 = =32, 3

∴n=6. 法二:由公式 Sn= 189=

a1-anq 及条件得 1-q
n-1

a1-96×2
1-2
n-1

,解得 a1=3,又由 an=a1·q



得 96=3·2

,解得 n=6.

(3)①当 q≠1 时,S3=

a1?1-q3? 9 = , 1-q 2

3 2 又 a3=a1·q = , 2 9 2 ∴a1(1+q+q )= , 2 9 2 即 2(1+q+q )= , q 2 1 解得 q=- (q=1 舍去), 2 ∴a1=6. ②当 q=1 时,S3=3a1, 3 ∴a1= . 2 3 2

a1=6, ? ? 综上得? 1 q=- , ? 2 ?
[类题通法]

3 ? ?a1= , 2 或? ? ?q=1.

在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,当条件与结论 间的联系不明显时,均可以用 a1 与 q 表示 an 与 Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常 用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. [活学活用] 1.在等比数列{an}中, (1)若 q=2,S4=1,求 S8. 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S5; 4 解:(1)设首项为 a1, ∵q=2,S4=1, ∴

a1?1-24?
1-2

1 =1,即 a1= , 15
8

1 8 ?1-2 ? a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2 (2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得

a1+a1q =10, ? ? ? 3 5 a1q +a1q5= , ? 4 ?

2

a1?1+q ?=10 ? ? 即? 3 5 a1q ?1+q2?= ② ? 4 ?
2

2



∵a1≠0,1+q ≠0,∴②÷①得,

q3= ,即 q= ,
∴a1=8.

1 8

1 2

?1?3 3 ∴a4=a1q =8×? ? =1, ?2?
a1?1-q5? S5= = 1-q

? ?1?5? 8×?1-? ? ? ? ?2? ? 31 = 1 2 1- 2
等比数列前 n 项和的性质

[例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S4=2, S8=6, 求 a17+a18+a19+a20 的值. [解] 由等比数列前 n 项和的性质,可知 S4,S8-S4,S12-S8,…,S4n-S4n-4,…成等 比数列. 由题意可知上面数列的首项为 S4=2,公比为 所以 a17+a18+a19+a20=S20-S16=2 =32. [类题通法] 等比数列前 n 项和的重要性质 (1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其 中 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为 0),这一性质可直接应用. (2)等比数列的项数是偶数时, 等比数列的项数是奇数时, [活学活用] 2.(1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( A.2 C. 8 3 B. 7 3
5

S8-S4 n =2,故 S4n-S4n-4=2 (n≥2), S4

S偶 =q; S奇

S奇-a1 =q. S偶

S6 S3

S9 S6

)

D.3

解析:(1)设公比为 q(q≠0),则题意知 q≠-1,根据等比数列前 n 项和的性质,得 = ?1+q ?S3 3 =1+q =3,
3

S6 S3

S3

即 q =2.

3

S9 1+q3+q6 1+2+4 7 于是 = = = . 3 S6 1+q 1+2 3
答案:B (2)等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比

q=________.
解析:由题意知:?
?S奇=-80, ? ? ?S偶=-160. ? ?S奇+S偶=-240, ?S奇-S偶=80, ?

∴?

∴公比 q=

S偶 -160 = =2. S奇 -80

答案:2 等比数列的综合应用 [例 3] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. [解] (1)∵S1,S3,S2 成等差数列, ∴2S3=S1+S2,显然{an}的公比 q≠1, 2a1?1-q ? a1?1-q ? 于是 =a1+ , 1-q 1-q 即 2(1+q+q )=2+q, 整理得 2q +q=0, 1 ∴q=- (q=0 舍去). 2 1 (2)∵q=- , 2 又 a1-a3=3, 1 2 ∴a1-a1·(- ) =3, 2 解得 a1=4.
2 2 3 2

? ? 1?n? 4?1-?- ? ? ? ? 2? ? 8? ? 1?n? 于是 Sn= = ?1-?- ? ?. 1? 3? ? 2? ? ? 1-?- ? ? 2?

[类题通法] 在解决等差、等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的 定义、通项公式及前 n 项和公式是解决问题的关键. [活学活用] 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-n ,an=log5bn,其中 bn>0,求数列{bn}的前 n 项 和 Tn. 解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n-n )-[2(n-1)-(n-1) ]=-2n+3, 当 n=1 时,a1=S1=2×1-1 =1 也适合上式, ∴{an}的通项公式 an=-2n+3(n∈N ). 又 an=log5bn, ∴log5bn=-2n+3, 于是 bn=5 ∴
-2n+3 * 2 2 2 2

,bn+1=5

-2n+1



bn+1 5-2n+1 -2 1 = =5 = . bn 5-2n+3 25

1 -2+3 因此{bn}是公比为 的等比数列,且 b1=5 =5, 25

? ? 1 ?n? 5?1-? ? ? ? ?25? ? 于是{bn}的前 n 项和 Tn= 1 1- 25
= 125? ? 1 ?n? ?1-? ? ?. 24 ? ?25? ?

[随堂即时演练] 1.数列{2 A.2 -1 C.2 -1 解析:选 C 数列{2 =2 -1. 2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( )
99 99 100

n-1

}的前 99 项和为(

) B.1-2 D.1-2
100

99

n-1

1-2 }为等比数列,首项为 1,公比为 2,故其前 99 项和为 S99= 1-2

99

A.2 C.4

B. D.

1 2 1 4

解析:选 C a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得 a4-a3=3a3 即 a4=4a3,∴q =4. 3.已知等比数列{an}中,q=2,n=5,Sn=62,则 a1=________. 解析:∵q=2,n=5,Sn=62, ∴

a1?1-qn? a1?1-25? =62,即 =62, 1-q 1-2

∴a1=2. 答案:2 4. 等比数列{an}的前 5 项和 S5=10, 前 10 项和 S10=50, 则它的前 15 项和 S15=________. 解析:由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5,

S15-S10 成等比数列,故(S10-S5)2=S5(S15-S10),
即(50-10) =10(S15-50),解得 S15=210. 答案:210 5.在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)若 Sn=189,a1=3,an=96,求 q 和 n. 解:(1)由题意知?
? ?a1?1+q?=30, ?a1?1+q+q ?=155, ?
2 2

? ?a1=5, 解得? ?q=5 ?

a1=180, ? ? 或? 5 q=- , ? 6 ?

1 5 n+1 从而 Sn= ×5 - 4 4

? ? 5?n? 1 080×?1-?- ? ? ? ? 6? ? 或 Sn= . 11
(2)∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189, ∴ 3-96q =189. 1-q

∴q=2. ∴an=a1q
n-1

. .

∴96=3×2

n-1

∴n=5+1=6.


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