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广东省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(8)立体几何


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一、选择题: 8. (广东省惠州市 2013 届高三第三次调研文 8)已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三 ? ? 个不同平面,下列命题中正确的有( A. 若m‖ ? ,‖ ? , m‖ n ; n 则 C. 若m‖ ? , ‖ ? , ?‖ ?

; m 则 ) B. 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; ? 则 D. 若m ? ? , ? ? , m‖ n . n 则

8.【解析】 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故 A 不正确; “墙角”三面互相垂 n n

? 直, 说明 B 错误; ? ? ? l , 只需 m / / l , 便有 m / /? , m / / ? , C 错误;m ? ? ,n ? ? 故
则同垂直于一个平面的两条直线平行,D 正确 。

6.(广东省广州市 2013 年 1 月高三年级调研文)设 m, n 是两条不同的直线,? , ? , ? 是三个 不同的平面,下列命题正确的是 A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

【答案】D 6. (广东省广州市 2013 年 1 月高三年级调研理)已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所 示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是

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A. 3

B. 2 5

C. 6

D. 8

3

3

P
4 正视图 2 2 2 侧视图

3
2

5

3

D A

2 2

N

2 2

C

俯视图 图1

M

B

6. C 【解析】三棱锥如图所示, PM ? 3 , S ?PDC ?

1 S ?PBC ? S ?PAD ? ? 2 ? 3 ? 3 , S ?PAB 2

1 ? 4? 5 ? 2 5 , 2 1 ? ? 4?3 ? 6 2

4.(广东省佛山市 2013 年普通高中高三教学质量检测一理)一个直棱柱被一个平面截去一 部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11 【答案】C

23 D. 2

2

2

3

正视图

侧视图

⒋(广东省江门市 2013 年 1 月高三调研文)如图 1, 将一个正 三棱柱截去一个三棱锥,得到几何体

1 1 俯视图

第 4 题图

BC ? DEF ,则该几何体的正视图(或称主视图)是

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A. 【答案】C 二、填空题:

B.

C.

D.

? ? 12.(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个
不同平面,下列命题中正确的有 .

n 则 ? 则 ① 若m‖ ? ,‖ ? , m‖ n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; m 则 n 则 ③ 若m‖ ? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
n n n 12. 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确;
m ? ? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④. 三、解答题 18. (广东省惠州市 2013 届高三第三次调研文 18)(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. (1)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (2)求证: CF ? B1 E ; (3)求三棱锥 VC ? B1FE 的体积. 18. (本小题满分 14 分)

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? DD1 ? CF ②????7 分
综合①②,且 DD1 ? BD ? D, DD1 , BD ? 面BDD1 B1

? CF ? 面BDD1 B1 ,而 B1 E ? 面BDD1 B1 ,

? CF ? B1 E ???????????????????9 分

18.( 广 东 省惠 州市 2013届 高 三第 三次 调研 理) (本小 题满分 14分) 如图,在 长方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动.
(1)证明:

D1 E ? A1 D ; ACD1 的距离;

(2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面

? D1 ? EC ? D 的大小为 4 ? (3) AE 等于何值时,二面角

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18. (本小题满分14分) (1)证明:如图,连接

D1 B ,依题意有:在长方形 A1 ADD1 中, AD ? AA1 ? 1 ,

四边形A1 ADD1 ?

A1 D ? AD1 ? ? ? A1 D ? 平面AD1 B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1 D ? ? ? A1 D ? D1E D1 E ? 平面AD1 B ? AD ? AB ? A? ?

.??? 4分

1 ACD1 的距离为 3 . ??????????????????? 8分 ∴点 E 到平面

DF ?DFD1 为二面 (3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 1 .由三垂线定理可知,


D1 ? EC ? D 的平面角.
?DFD1 ?

?
4,



?D1 DF ?

?

2 , D1 D ? 1 ? DF ? 1 . ????????? 10分

sin ?DCF ?

DF 1 ? ? ? ? ?DCF ? ?BCF ? DC 2 6 ,∴ 3 .???????? 12分

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tan


?
3

?

BE ? BE ? 3 BC , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 .

? D1 ? EC ? D 的平面角为 4 .??????????? 14分 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角
19. (广东省华附、省实、深中、广雅四校 2013 届高三上学 期期末联考文) (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,且
V

AC ? BC ? a , ?VDC ? 45 0 。
C (I)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ; (II)求异面直线 VD 和 BC 所成角的余弦. D ∵ ∴△ ACB 是等腰三角形,又 D 解: (Ⅰ) AC ? BC ? a , A 是 AB 的中点, ∴ CD ? AB ,又 VC ? 底面 ABC .∴VC ? AB .因 VC , CD ? 平面 VCD ,∴ AB ? 平面 VCD .又 AB ? 平面 VAB ,∴平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ) 过点 D 在平面 ABC 内 作 DE // BC 交 AC 于 E ,则 ?VDE 就是异面直线 VD 和 BC 所成的角或其补角. B

在 ?ABC 中, AB ?

2a ? CD ?

2 2 a ,又 ?VDC ? 45 0 ? VC ? a ? VD ? a ; 2 2

1 在 ?VDE 中, VD ? a , DE ? a , VE ? 2
所以, cos ?VDE ?

a2 a2 3 ? ? a 4 2 2

VD 2 ? DE 2 ? VE 2 ? 2VD ? DE

a2 ?

a 2 3a 2 ? 4 4 ?1 1 2 2a ? a 2

所以,所求为

1 2

18.(广东省广州市 2013 年 1 月高三年级调研文) (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的正视图是一个底边长为 4 、腰长为 3 的等腰三角形,图 4、图 5 分别是四棱锥 P ? ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证: AD ? PC ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积.

18. (本小题满分14分)
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(本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识,考查数形结合、化 归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E ,连接 PE , 则 PE ? 平面 ABCD . ????? 2 分 ∵ AD ? 平面 ABCD , ∴ AD ? PE . ????? 3 分 ∵ AD ? CD , CD ? PE ? E ,CD ? 平面 PCD , PE ? 平面 PCD , ∴ AD ? 平面 PCD . ????? 5 分 ∵ PC ? 平面 PCD , ∴ AD ? PC . ????? 6 分 (2)解:依题意,在等腰三角形 PCD 中, PC ? PD ? 3 , DE ? EC ? 2 , 在 Rt△ PED 中, PE ?

PD 2 ? DE 2 ?

5 ,????? 7 分

过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F ,连接 PF , ∵ PE ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ AB ? PE . ????? 8 分 ∵ EF ? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF , EF ? PE ? E , ∴ AB ? 平面 PEF . ∵ PF ? 平面 PEF , ∴ AB ? PF . 依题意得 EF ? AD ? 2 . 在 Rt△ PEF 中, PF ? ∴△ PAB 的面积为 S ? ????? 9 分 ????? 10 分 ????? 11 分

P

D F ????? 12 分 A

E B

PE 2 ? EF 2 ? 3 ,

1 ?AB?PF ? 6 . 2
????? 14 分

∴四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6 .

18. (广东省广州市 2013 年 1 月高三年级调研理)(本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值. 18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识, 考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归 与转化的数学思想方法) (1)证法 1:取 PA 的中点 E ,连接 DE , EN , ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ EN // AB, EN ?
A B N P

D
P

M 图4

C

1 AB . 2

????? 1 分

E

N

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A B

D

C

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∵点 M 是 CD 的中点,底面 ABCD 是正方形, ∴ DM // AB, DM ?

1 AB . 2

????? 2 分

∴ EN // DM , EN ? DM . ∴四边形 EDMN 是平行四边形. ∴ MN // DE . ????? 3 分
P

∵ DE ? 平面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . ????? 4 分

N

证法 2:连接 BM 并延长交 AD 的延长线于点 E ,连接 PE , ∵点 M 是 CD 的中点,
A B

∴ DM // AB, DM ? ∴点 M 是 BE 的中点. ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ MN // PE .

1 AB , ????? 1 分 2
????? 2 分
E

D

M

C

????? 3 分

∵ PE ? 面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . ????? 4 分

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过 E 作 EF ? AM ,垂足为 F ,连接 NF , ∵ NE ? EF ? E , NE ? 面 NEF , EF ? 面 NEF , ∴ AM ? 面 NEF . ∵ NF ? 面 NEF , ∴ AM ? NF . ∴ ?NFE 是二面角 N - AM - B 的平面角. ????? 8 分 ????? 9 分 ????? 7 分

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解法 2:∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD , ∴ NE ^ 面 ABCD . 在 Rt△ NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ?

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,
????? 5 分

以点 A 为原点, AD 所在直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A 0,0,0 , M ? 3, ????? 6 分

?

?

? ?

3 ? ,0 ? , E 2 ?

? 3 ? ? 0, ,0 ? , N ? 2 ? ????

? 3 ? ? 0, , 4 ? . ? 2 ? ? ? 3 ? ,4 ? . ????? 8 分 2 ?

∴ EN ? 0,0,4 , 设平面 AMN 的法向量为 n ?

????

?

?

, AN ? ? 0,

? x, y, z ? ,

由 n ? AM ? 0 , n ? AN ? 0 ,

???? ?

????

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z P

? 3 ?3 x ? 2 y ? 0, ? 得? ? 3 y ? 4 z ? 0. ?2 ?
令 x ? 1 ,得 y ? ?2 , z ?

N

3 . 4
D x

A E

B y

? 3? ∴ n ? ? 1,?2, ? 是平面 AMN 的一个法向量. 4? ? ???? 又 EN ? ? 0,0,4 ? 是平面 AMB 的一个法向量, ???? ? ???? ? 3 89 n?EN . cos n, EN ? ???? ? ? 89 n EN
∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

M

C

????? 11 分

????? 12 分 ????? 13 分

3 89 . 89

????? 14 分

18. (广东省茂名市 2013 年高三第一次高考模拟理)(本小题满分 14 分) 如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯形,平面 PDCE ^ 平面 ABCD , ?BAD ? ?ADC ? 90? ,

1 AB ? AD ? CD ? a, PD ? 2a . 2
(1)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小. 18.(1)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点


∴ MN // AC ??????2

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE

?????4 分

(2)解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原

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? ?x ? ? 解得: ? ?y ? ? ?

2 ?? 2 ,所以 n? ? ( 2 , 2 ,1) ???????????????12 分 2 2 2 2 2

2 ?? ?? ? n ? n2 1 ∴ cos ? ? ??1 ?? ? 2 ? ???????????????????13 分 ? n1 ? n2 1? 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°??????????????14 分 解法二:延长 CB、DA 相交于 G,连接 PG,过点 D 作 DH⊥PG ,垂足为 H,连结 HC ????????6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ??????8 分 ∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角 的平面角 ??????????????????10 分 在 Rt ? △ PDG 中, DG ? 2 AD ? 2a , PD = ?12 分 在 Rt △ CDH 中, tan ?DHC ?

2a 可以计算 DH ?

2 3a 3

CD 2a ? ? 3 ?????????13 DH 2 3a 3

分 所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°???????????????14 分
18.(广东省佛山市 2013 年普通高中高三教学质量检测一理)(本题满分 14 分)
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如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点, 且 AD ?

P

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC . 3

点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , PD ? DB . (1)求证: PA ? CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值. A D C
第 18 题图

O

B

法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,

DB ? 3 ,AB ? 4 , ? 2 3 , BC 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 , 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, 由
∴ ∴

BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

?BCA ? ?BDC

, -----------------3 分



C D? A O .
∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ -----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又

PD ? CD



PA ?





PAB

PA ? CD . 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB ,

, -----------------6 分



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在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30? , 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD 2 ? DB 2 ? BC 2 ? 2 DB ? BC cos 30? ? 3 , ∴ . C D? A O ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ -----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又

CD 2 ? DB 2 ? BC 2

, -----------------3 分



PD ? CD



PA ?





PAB

PA ? CD .

, -----------------6 分



法 2: (坐标法)以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标

????

??? ?

??? ?

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系. 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, PD ? DB ? 3 , CD ?

-----------------8 分

(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分. )

3,

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