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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教案1(人教A必修4)


1.4.2(第二课时) 正弦函数的性质 教学目标: 1. 理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法与学习指导策略建议:讲正弦函数的性质时,要从多方面讲解,一方面 要

用正弦函数的定义,从理论上分析推导;用诱导公式证明正弦函数是周期函数, 且周期为 2k? , k ? Z且k ? 0 等等。另一方面要观察图形,使学生对这些性质有直 观印象。教师在讲课时,可充分利用多媒体设备,让学生观察、理解、记忆。
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教 教学内容 师生互动 学 环 节 复 复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线 教师提问,学生回 习 答。 引 入

设计意 图

为本节 课的讲 解新课 作准备。

由正弦函数的作图过程以及正 弦函数的定义,容易得出正弦函数 概 念
y ? sin x 还有以下重要性质:

(1)定义域: 正弦函数的定义域都是实数集 R 形 [或(-∞,+∞)] , 分别记作: 成 y=sinx,x∈R (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位 圆的半径的长度; 从正弦曲线可以看出, 正弦曲线分布在两条平行线 y ?1 和
y ? ?1 之间,所以|sinx|≤1,即

教师提问:定义域、 值域分别是什么? 并说明理由。 学生回答: 从函数图 象和正弦函数定义 以及正弦线的知识, 可以知道定义域为 x ∈R, 值域 [-1, 1] 。 教师提问: 任意 一个周期函数是否 都有最小正周期? 学生回答:否。 反例: f ( x) ? C

-1≤sinx≤1 也就是说,正弦函数的值 域都是[-1,1] 正弦函数 y=sinx,x∈R ? ①当且仅当 x= +2kπ , k∈Z 时, 2 正弦函数取得最大值 1 ? ②当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 2 时,正弦函数取得最小值-1 (3)周期性 由 sin(x+2kπ )=sinx (k∈Z)知: 正弦函数值是按照一定规律不断重 复地取得的 当自变量 x 的值每增加或 减少 2? 的整数倍时,正弦函数的值重 复出现。在单位圆中,当角的终边饶原 点转动到原处时,正弦线的数量(长度 和符号)不发生变化,以及正弦曲线连 续不断无限延伸的形状都是这一性质的 几何表示。这种性质称为三角函数的周 期性。 一般地,对于函数 f(x),如果存在 一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x), 那么 函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 由此可知, 2 π ,4 π ,??,- 2 π, -4π , ??2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是 正弦函数的周期
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1. 希 望 学生不 仅能够 知道正 弦函数 的定义 域和值 域, 而且 能够体 会知识 间的联 系, 知其 然更知 其所以 然。

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2. 通 过 讨论和 提问使 学生更 深刻理 解周期 的定义。

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对于一个周期函数 f(x),如果在它 所有的周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周 期 注意: 1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界; T<0 则定义域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例, 则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往 往 是 多 值 的 ( 如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期) 周期 T 中最小的正数叫做 f (x) 的最小正周期 (有些周期函数没有最小正周期) 根据上述定义,可知:正弦函数是 周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的 周期,最小正周期是 2π (4)奇偶性 由 sin(-x)=-sinx 可知:y=sinx 为奇函数 因此正弦曲线关于原点 O 对称 (5)单调性 ? 3? 从 y=sinx,x∈[- , ]的图 2 2 象上可看出: ? ? 当 x∈[- , ]时,曲线逐渐 2 2 上升,sinx 的值由-1 增大到 1 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下 2 2 降,sinx 的值由 1 减小到-1 结合上述周期性可知: ? 正弦函数在每一个闭区间[- + 2 ? 2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数, 2 其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间 3? ? [ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是 2 2 减函数,其值从 1 减小到-1
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教师提问: 函数奇偶 性的定义及图象特 征? 学生回答。 教师提问: 正弦函数 具有什么样的性 质? 学生回答。 教师提问: 从正弦函 数的图象观察正弦 函数具有什么样的 单调性? 学生回答。

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例 1:设 sin x ? t ? 3, x ? R ,求 t 的 取值范围。 解:因为 ? 1 ? sin x ? 1, 所以 ? 1 ? t ? 3 ? 1 由此解得 2 ? t ? 4 例 2: 求使下列函数取得最大值的 自变量 x 的集合,并说出最大值是什么 应 1?y = sin2x , x ∈ R 2?
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学生独立完成, 并请 巩 固 本 两位同学板演。 由学 节 课 所 生和教师共同点评。 学知识。 对于表格规范, 图象 正确的学生给予鼓 励和表扬, 对于有不 足的学生给予指导。

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y=sin(3x+

? )-1 4

解: 举 1?令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只 需 Z∈R,且使函数 y=sinZ,Z∈R 取得 ? 例 最大值的集合是{ Z | Z = + 2k π , k 2 ∈Z} ? 由 2x=Z= +2kπ , 2 ? 得 x= +kπ 4 即 使函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值 ? 的 x 的集合是{x|x= +kπ ,k∈Z} 4
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函数 y=sin2x,x∈R 的最大值是 1 2? 当 3x+

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? ? 2k? ? =2k?+ 即 x= ? 4 2 3 12

(k?Z)时 y 的最大值为 0 例 3 :求下列三角函数的周期: 1? y=sin(x+ y=|sinx| 解: 1? 令 z= x+ 即:f (2?+z)=f (z) f [(x+2?)+ ∴周期 T=2? 2?令 z= + f
x 2

? ) 3

2? y=3sin(

x ? + ) 2 5

3?

? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3

? 则 5

(x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( n(
x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

x ? + +2?)=3si 2 5

∴周期 T=4? 3? T=? 一般地,函数 y = Asin( ω x + φ ) (其中 A ? 0, ? ? 0, x ? R ) 的周期 ,下一 ? 节将进一步研究这类函数的性质。 例 4:不通过求值,指出下列各式 大于 0 还是小于 0 ? ? (1)sin(- )-sin(- ); 18 10 23? 17? (2) sin (- )- sin (- ). 5 4 ? ? ? 解: (1) ∵- <- <- < 2 10 18 ? . 2 ? ? 且函数 y=sinx,x∈[- , ] 2 2 是增函数 ? ? ∴sin(- )<sin(- ) 10 18 ? ? 即 sin(- )-sin(- )>0 18 10 23? 23? (2)sin( - ) =- sin =- 5 5
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T?

2?

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sin

3? 2? 2? ? ? =-sin ? ? ? ? =-sin 5 5 5 ? ?

sin( - sin

? 4
∵0<

17? 17? ) = - sin =- 4 4

? 2? ? < < 4 5 2

且函数 y=sinx,x∈[0, 是增函数

? ]上 2

? 2? <sin 4 5 ? 2? ? - sin ? - sin 4 5 23? 17? ∴sin(- )-sin(- )<0 5 4 例 5.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为-4,求 k,b 的值
∴sin
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解:当 k>0 时

? k ?b ? 2 ?k ?3 ?? ? ?? k ? b ? ?4 ?b ? ?1 ?? k ? b ? 2 ?k ?3

?? 当 k<0 时 ? ? k ? b ? ?4 ?b ? ?1 (矛盾舍去) ∴k=3 b=-1

归 小结:本节课学习了正弦函数的性质, 教师归纳本节课内 纳 请大家总结一下理解和记忆的方法。 容 小 结 布 P.43,44 练习 A,练习 B 置 作 业

学生回 顾本节 课内容。 复习本 节课内 容


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