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第4讲 定积分的概念与微积分基本定理


第 4 讲 定积分的概念与微积分基本定理
一、选择题 1.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度 v=40-10t2,则此物体 达到最高时的高度为( A. C. 160 m 3 40 m 3 ). B. D. 80 m 3 20 m 3 10 3?? 10 ? ?40t- t ??2 0=40×2- 3 3 ? ??

解析

/>
2 2 v=40-10t2=0, t=2, ? (40-10t )dt=

?0

×8= 答案

160 (m). 3 A ( 9 2 ).

2.已知 f(x)=2-|x|,则?2-1f(x)dx 等于 ? A.3 解析 B.4 C. 7 2 D.

?2-x?x≥0?, f(x)=2-|x|=? ?2+x?x<0?,

x2?? x2??2 3 ? ? 2 x - ? ?= + ∴?2-1f(x)dx=?0-1(2+x)dx+?2(2-x)dx= ?2x+ 2 ??0 + 2? ? ??-1 ? ??0 2 ? ? ?
0

7 2=2. 答案 C

3. 函数 f(x)满足 f(0)=0, 其导函数 f′(x)的图象如图所示, 则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( 1 A.3 C.2 解析 4 B.3 8 D.3 由导函数 f′(x)的图象可知函数 f(x)为二次函数,且对称轴为 x=-1, ).

开口方向向上.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),由 f(0)=0,得 c=0.f′(x)=2ax ?2a×?-1?+b=0, ?a=1, +b,因过点 (-1,0)与 (0,2),则有 ? ∴? ∴ f(x)= x2 ?2a×0+b=2, ?b=2. +2x,则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S=?0-2(-x2-2x)dx ? 4 ? 1 ??0 1 = ?-3x3-x2??- = ×(-2)3+(-2)2=3. ? ?? 2 3 答案 B
n

4.已知 a= ?
i=1

1?i?2 ? ? ,n∈N*,b=?1x2dx,则 a,b 的大小关系是( n?n? ?0 B.a=b D.不确定

).

A.a>b C.a<b 答案 A

5.下列积分中 1 4-x2 ①?e dx;②?2-2x dx;③?2 dx; ? ?1x ?0 π ④∫ A.1 解析 ① π 0 2 cos 2x x-sin x B.2 ? e1 ? xdx=ln x?e 1=1, ?1 ? dx,积分值等于 1 的个数是( C.3 ). D.4



1 2?2 2-2xdx= x ? =0, ? ? 2 ?-2
2

③? ?0 ④∫

4-x2 1 1 dx= ( π 22)=1, π π 4 π 0 2 2 cos 2x cos x-sin x 1 π dx= ∫ 0(cos x+sin x)dx 2 2

1 π = (sin x-cos)| 0=1. 2 2 答案 C

6.如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y=x2 和曲线 y= x围成

一个叶形图(阴影部分), 向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( ).

1 A.2 解析

1 B.6

1 C.4

1 D.3

依题意知,题中的正方形区域的面积为 12=1,阴影区域的面积等于?1 ?0

1 ?2 3 1 ??1 1 ( x-x2)dx= ?3x2-3x3??0 = ,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于3, ? ?? 3 选 D. 答案 D

二、填空题 7.如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10 cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6 cm,则力 所做的功为______. 解析 由 F(x)=kx,得 k=100,F(x)=100x,W=∫0 100xdx=0.18(J).
0.06

答案 0.18 J 1 8.曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为____________.

x

答案

3 -ln 2 2

?2x+1,x∈[-2,2], 40 9.已知 f(x)=? 若?3f(x)dx= 3 (k<2).则 k=________. 2 ?k ?1+x ,x∈[2,4] 解析 40 2 2 3 2 3 ? f(x)dx=? (2x+1)dx+? (1+x )dx= 3 ,所以得到 k +k=0,即 k=0 ?k ?k ?2

或 k=-1. 答案 0 或-1

1? ? 10.设 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1 且?2f(-x)dx=m,则?mx+6?12 展开 ? ? ?1 式中各项的系数和为________. 解析 因为 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1.故 n=2,a=1.所以?2f(- ?1

1 ??2 5 1? ?1 ? x)dx=?2(x2-x)dx=?3x3- 2x2??1 =6=m 所以?mx+6?12 展开式中各项的系数 ? ? ? ? ? ?1 ?5 1? 和为?6+6?12=1. ? ? 答案 1

三、解答题 17 f?x? 11.已知 f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx= 6 ,求?2 x dx 的值. ?0 ?0 ?1 解 ∵f(x)是一次函数,∴可设 f(x)=ax+b(a≠0).
1 1 1

1 ?1 ?? ∴? f(x)dx=? (ax+b)dx=?2ax2+bx?? =2a+b. ? ? ?0 ?0 ?0 1 ∴2a+b=5.① 又?1xf(x)dx=?1x(ax+b)dx ?0 ?0 1 ?? 1 1 ?1 =?3ax3+2bx2?? =3a+2b. ? ??0 1 1 17 ∴3a+2b= 6 .② 解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, 4x+3 3? f?x? ? ∴?2 x dx=?2 x dx=?2?4+ x?dx ? ? ?1 ?1 ?1 ? =(4x+3ln x)? =4+3ln 2. ?1 12.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴 所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值. 解 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1
2 1

=0,x2=1,

所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积
2 ?x 1 3??1 1 S=? (x-x )dx= ? 2 -3x ??0=6. ? ?? ?0 1 2

又抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以, ? 1-k 2 1 3??1-k S 1-k 2 =∫ x -3x ??0 0 (x-x -kx)dx=? 2 ?? ? 2 1 =6(1-k)3. 1 1 又知 S=6,所以(1-k)3=2, 3 3 1 4 于是 k=1- = 1 - 2 2 . 13.在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定点 t 的值, 使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小, 并求最小值. 解 面积 S1 等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线

y=x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积, 2 即 S1=t· t2-?t x2dx=3t3. ?0 S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形面积,矩形 边长分别为 t2,1-t, 2 1 即 S2=?1x2dx-t2(1-t)=3t3-t2+3. ?t 4 1 所以阴影部分面积 S=S1+S2=3t3-t2+3(0≤t≤1). 1 ? 1? 令 S′(t)=4t2-2t=4t?t-2?=0 时,得 t=0 或 t=2. ? ? 1 1 1 2 t=0 时,S=3;t=2时,S=4;t=1 时,S=3.
1 1 所以当 t= 时,S 最小,且最小值为 . 2 4

14. 已知二次函数 f(x)=3x2-3x,直线 l1:x=2 和 l2:y=3tx(其中 t 为常数,

且 0<t<1),直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1、l2 与函数 f(x)的图象所围 成的封闭图形如图 K15-3,设这两个阴影区域的面积之和为 S(t). (1)求函数 S(t)的解析式; (2)定义函数 h(x)=S(x),x∈R.若过点 A(1,m)(m≠4)可作曲线 y=h(x)(x∈ R)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

解析

2 ?y=3x -3x, (1)由? ?y=3tx

得 x2-(t+1)x=0,

所以 x1=0,x2=t+1. 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0,t+1. 因为 0<t<1,所以 1<t+1<2.
+1 所以 S(t)=∫t [3tx-(3x2-3x)]dx+?2t+1[(3x2-3x)-3tx]dx 0 ?



? ? ?

+ 2

?? +1 x2-x3??t + 0 ??

? 3 ?x - ?

+ 2

?? x2??2 t+1 ??

=(t+1)3-6t+2. (2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R, 则 h′(x)=3(x+1)2-6. 因为 m≠4,则点 A(1,m)不在曲线 y=h(x)上. 过点 A 作曲线 y=h(x)的切线,设切点为 M(x0,y0), 则 3(x0+1) -6=
3 2

x0+

-6x0+2-m , x0-1

3

化简整理得 2x0-6x0+m=0,其有三个不等实根.
2 设 g(x0)=2x3 0-6x0+m,则 g′(x0)=6x0-6.

由 g′(x0)>0,得 x0>1 或 x0<-1; 由 g′(x0)<0,得-1<x0<1, 所以 g(x0)在区间(-∞, -1), (1, +∞)上单调递增, 在(-1,1)上单调递减, 所以当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值;

当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值. 因 此 , 关 于 x0 的 方 程 2x 3 0 - 6x0 + m = 0 有 三 个 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是 ?g ? ?g - , 即-4<m<4. ,

?m+4>0, 即? ?m-4<0,

故实数 m 的取值范围是(-4,4).


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