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高一数学必修5试题(2013.6.15)


高一数学必修 5 试题
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1. 由 a1 ? 1 , d ? 3 确 定 的 等 差 数 列 ( A.99 ) B.100 C.96 D.101

?an ?

, 当 an ? 298 时 , 序 号 n 等 于

2. ?ABC 中,

若则 ?ABC 的面积为 A.
1 2



) D. 3 ( D. 101 ( ) )

B.

3 2

C.1

3.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为 A.99 4.已知 x ? 0 ,函数 y ?
A. 5 B.4

B.49
4 ? x 的最小值是 x
C.8

C.102

D. 6

5.在等比数列中, a1 ? A. 3

1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为 2 2 32 B. 4 C. 5

( D. 6 (



6.不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么 A. a ? 0, ? ? 0 B. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0



D. a ? 0, ? ? 0

?x ? y ? 1 ? 7.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ? y ? ?2 ?





A. 5 -8

B. 3

C. 7

D.

8.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45? ,则此三角形解的情况是 ( A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解




9.在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cosC 等于



A.

2 3

2 B. 3

1 C. 3

1 D. 4


10.一个等比数列 {an } 的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( A、63 B、108 C、75
1

D、83

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.在 ?ABC 中, B ? 45 , c ? 2 2, b ?
0

4 3 ,那么 A=_____________; 3

12.已知等差数列 ?an ? 的前三项为 a ? 1, a ? 1,2a ? 3 ,则此数列的通项公式为________ .

13.不等式

2x ?1 ? 1 的解集是 3x ? 1



14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,那么它的通项公式为 an=_________ 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5 15(12 分) 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 3 ? 10, a 4 ? a 6 ? ,求其第 4 项及前 5 项和. 4

16(14 分)(1) 求不等式的解集: ? x ? 4 x ? 5 ? 0
2

(2)求函数的定义域: y ?

x ?1 ?5 x?2

2

17 (14 分 ) 在△ ABC 中, BC = a , AC = b , a , b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, 2coc( A ? B) ? 1 。 求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。



? 1 ? 18(12 分)若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? , ? 2 ?

(1) 求 a 的值; (2) 求不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集.

3

19(14 分)如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标 方向线的水平角)为 152 ? 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122 ? .半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32 ? .求此时货轮与灯塔之 间的距离. 北 B
152o 122o


32 o

A

C

20 ( 14 分) 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备, 投入设备后每年收益为 21 万元。 该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。 (1)求 an ;
费用(万元)

an
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

4 2 1 2 n


4

高一数学必修 5 试题参考答案
一.选择题。 2 题号 1 B C 答案 二.填空题。 11. 15o 或 75o 12. an =2n-3
1 13. {x ? ? x ? 2} 3

3 D

4 B

5 C

6 A

7 C

8 B

9 D

10 A

14. an =2n 三.解答题。
15.解:设公比为 q , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分

?a1 ? a1 q 2 ? 10 ? 由已知得 ? 5 3 5 ?a1 q ? a1 q ? 4 ? ?a1 (1 ? q 2 ) ? 10???① ? 即? 5 3 2 ?a1 q (1 ? q ) ? ?? ② 4 ?
②÷①得 q ?
3

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄

5分

1 1 , 即q ? , 8 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7 分

将q ?

1 代入①得 a1 ? 8 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分 2 1 ? a 4 ? a1 q 3 ? 8 ? ( ) 3 ? 1 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分 2

1 ? ? 8 ? ?1 ? ( ) 5 ? a (1 ? q ) 2 ? 31 ? s5 ? 1 ? ? 1 1? q 2 1? 2
5

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分

16. (1) {x x ? ?1或x ? 5} (2) {x x ? ?2或x ? 1}

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

5

17. 解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ? (2)由题设: ?

1 2

? C=120°┄┄┄5 分

?a ? b ? 2 3 ? ? ? ab ? 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

┄┄13 分

? AB ? 10
2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

18. (1)依题意,可知方程 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的两个实数根为 由韦达定理得: 解得: a =-2 (2) {x ? 3 ? x ? }

1 和 2,┄┄┄┄┄┄2 分 2

1 5 +2= ? 2 a 1 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

19.在△ ABC 中,∠B=152o-122o=30o,∠C=180o-152o+32o=60o, ∠A=180o-30o-60o=90o, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

35 , 2 35 35 ∴AC= sin30o= . 2 4
BC= 答:船与灯塔间的距离为

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分

35 n mile. 4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

20.解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

f ( n) ? 21n ? [2n ?
2

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2
解得 10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

由 f(n)>0 得 n -20n+25<0

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 ┄┄┄┄┄┄┄8 分 (3)年平均收入为

25 f (n) =20- (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 n n

┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大。 ┄┄┄┄14 分

6


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