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2011高考理数全国卷


教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设

2011 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
( 必 修 +选 修 II)

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绝密★启用前

2011 年普通高等学校招生全国统一考试<

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理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
注意事项:
1.答题前, 考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写 清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。在试题上作答无效。 ........ 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 (1)复数 z =1+ i , z 为 z 的共轭复数,则 z z - z -1= (A)-2 i (B)- i (C) i (D)2 i

(2)函数 y = 2 x ( x ≥0)的反函数为 (A) y =
x 4
2

( x ∈R)

(B) y =

x 4

2

( x ≥0)

(C) y = 4 x 2 ( x ∈R)

(D) y = 4 x 2 ( x ≥0)

(3)下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a > b +1 (B) a > b -1 (C) a 2 > b 2 (D) a 3 > b 3

(4)设 S n 为等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d = 2, S k ? 2 ? S k ? 24 ,则 k = (A ) 8 (B) 7 (C) 6
?
3

(D) 5 个单位长度后,所得的图像与原

(5) 设函数 f ? x ? ? cos ? x ? ? ? 0 ? ,将 y ? f ? x ? 的图像向右平移 图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)
1 3

(B)3

(C)6

(D)9
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(6)已知直二面角 α –ι - β, 点 A∈α ,AC ⊥ ι ,C 为垂足,B∈β,BD⊥ ι ,D 为垂足,若 AB=2, AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( ) (A) (7)
2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

某中学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( ) (A)4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D)20 种

?2 x (8)曲线 y ? e ? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为

1

1

2

(A) 3

(B) 2

(C) 3

(D)1

5 f (? ) ? 2 (9)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 2 x (1 ? x ) ,则 ? 1 ? 1 1 1

(A) 2 (10)已知抛物线 C:
4

(B) 4
y
2

(C) 4

(D) 2 )

=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos<AFB=(
3 3 4

(A) 5

(B) 5

(C).— 5

(D) — 5

(11)已知平面α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 成 60? 二面角的平面β 截该球面得 N。 若该球 面的半径为 4,圆 M 的面积为 4л,则圆 N 的面积为( ) (A) .7л (B). 9л (C). 11л (D). 13л (12)设向量 a , b , c 满足 (A)2 注意事项: 1.答题前, 考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己凡人名字、 准考证号填写 清楚,然后贴好条形码,请认真核条形码上凡人准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页, 请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, .. 在试 题卷上作答无效。 ....... 3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 (注意:在试 .. 题卷上作答无效) .......
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a ? b ?1



a ?b ? ?

1 2 , a ? c , b ? c ? 60 ,则 c 的最大值等于(
0



(B) 3

(C) 2

(D)1

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(13)(1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为____________________. (14)已知 ? ? ( , ? ) ,sin ? =
2

?

5 5

,则 tan2 ? =______________
2

(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x

9

?

y

2

27

? 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为(2,0) ,

AM 为∠F1AF2 的平分线,则 AF2 ______________ (16)已知 E、F 分别在正方形 ABCD、A1B1C1D1 楞 BB1,CC1 上,且 B1F=2EB,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于_______________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90°,a+c= 2b ,求 C. (18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望.

(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 如图, 棱锥 S ? ABCD 中,AB ∥ CD ,BC ⊥ CD , 侧面 SAB 为等边三角形,AB = BC =2,CD = SD =1。 (I)证明: SD ⊥平面 SAB ; (II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 设数列 { a n } 满足 a1 ? 0 且
1 1 ? an ? 1 ? 1 1 ? an ? 1。

(I)求 { a n } 的通项公式;
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(II)设 bn ?

1?

a n ?1 n

,记 S n ? ? bk ,证明: S n ? 1 。
k ?1

n

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上答无效) ........ 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C:x ?
2

y

2

2

? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过

F 且斜率为- 2 的直线 l 与 C 交于 A、 两点, P 满足 B 点
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上;

.

(Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上。 (22) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上答无效) ........ (Ⅰ)设函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?
2x x?2

,证明:当 x >0 时, f ( x ) >0;

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次, 设抽得的 20 个号码互补相同的概率为 p .证明: p <(
9 10

)19<

1 e
2

.

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