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辽宁省锦州市凌海市石山中学2015届九年级上学期月考数学试卷【解析版】


辽宁省锦州市凌海市石山中学 2015 届九年级上学期月考数学试 卷
一、选择题 1.下列方程中是关于 x 的一元二次方程有( ①ax +bx+c=0;②x +4=0;③ ﹣3x+5=0. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.若 x=﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ ax+a =0 的一个根,则 a 的值为( A. 1 或 4 B. ﹣1 或﹣4 C. ﹣

1 或 4 D. 1 或﹣4 3.某品牌服装原价为 1000 元,连续两次降价 a%后售价为 640 元,下列所列方程正确的是 ( ) 2 A. 1000(1﹣2a)=640 B. 1000(1﹣a%) =640 2 C. 1000(1﹣a) =640 D. 1000(1﹣2a%)=640 4. (非课改)已知 α,β 是关于 x 的一元二次方程 x +x+m =0 的两个不相等的实数根,且满 足 + =﹣1,则 m 的值是( )
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)个. =3;⑤x ﹣2x+3=0;⑥(a +1)x
3 2 2

+ =2;④



A. 3 B. 1 C. 3 或﹣1 D. ﹣3 或 1 5.用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm 的长方形,a 的值不可能为( A. 20 B. 40 C. 100 D. 120
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6.某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件 150 元降至 96 元,平均每次降价的百分率 是( ) A. 20% B. 27% C. 28% D. 32% 7.分式方程 ﹣1= 的解是( C. x=2 D. 无解 ) )

A. x=1 B. x=﹣1+
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8.方程 x ﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( A. 12 B. 12 或 15 C. 15 D. 不能确定 9.已知(a +b ) (a +b ﹣9)﹣10=0,则 a +b 的值为( A. ﹣1 B. 10 C. ﹣1 或 10 D. ﹣1 和 10
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10.已知实数 a,b 分别满足 a ﹣6a+4=0,b ﹣6b+4=0,则 + 的值是( A. 7 或 2 B. 7 C. 9 D. ﹣9

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2



二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11.若方程 3x ﹣10x+m=0 有两个同号不等的实根,则 m 的取值范围是 12.若关于 x 的方程 x +(k﹣2)x+k =0 的两根互为倒数,则 k=
2 2 2 2 2

. .

13.若把代数式 2x ﹣4x﹣3 化为 2(x﹣m) +k 的形式,其中 m,k 为常数,则 m+k= .21 世纪教育网版权所有 14.已知 a,b 是方程 x ﹣x﹣3=0 的两个根,则代数式 2a +b +3a ﹣11a﹣b+5 的值 为 .21 教育网
2 2 3 2 2

15.已知 m 是方程 x ﹣x﹣2=0 的一个实数根,则代数式 为 .
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的值

16.若正数 a 是一元二次方程 x ﹣5x+m=0 的一个根,﹣a 是一元二次方程 x +5x﹣m=0 的 一个根,则 a 的值是 .21*cnjy*com 17.关于 x 的方程 a(x+m) +b=0 的解是 x1=﹣2,x2=1, (a,m,b 均为常数,a≠0) ,则方 2 程 a(x+m+2) +b=0 的解是 . 18. △ ABC 的三边长 a、 b、 c 满足 b+c=8, bc=a ﹣12a+52, 则△ ABC 的周长等于
2 2



三、解答题 19.用适当的方法解下列一元二次方程 ①x +3x+1=0 2 2 ②4 =25(x+3) ③x(x﹣4)=2﹣8x 2 ④ ﹣8+15=0.
2

20.先化简,再求值:

,其中 x 满足 x +x﹣2=0.

2

21.a,b 是方程 x +11x=﹣25 的两根,求 a

2

+b

的值.

22.阅读下列例题:

2

解方程 x ﹣|x|﹣2=0 2 解: (1)当 x≥0 时,原方程化为 x ﹣x﹣2=0,解得 x1=2,x2=﹣1(舍去) . 2 当 x<0 时,原方程化为 x +x﹣2=0,解得 x1=1(舍去) ,x2=﹣2. ∴x1=2,x2=﹣2 是原方程的根. 2 请参照例题解方程:x ﹣|x﹣1|﹣1=0. 23.如图,要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈,用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方 米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长 AB,BC 各为多少米?

2

24.某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次,第 1 档次(最低档次)的产品一天能生 产 95 件,每件利润 6 元.每提高一个档次,每件利润增加 2 元,但一天产量减少 5 件. (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数,且 1≤x≤10) ,求出 y 关于 x 的函数关系式; 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元,求该产品的质量档次. 25.已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣x+k +k=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; 若△ ABC 的两边 AB,AC 的长是这个方程的两个实数根.第三边 BC 的长为 5,当△ ABC 是等腰三角形时,求 k 的值.
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辽宁省锦州市凌海市石山中学 2015 届九年级上学期月考 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.下列方程中是关于 x 的一元二次方程有( ①ax +bx+c=0;②x +4=0;③ ﹣3x+5=0. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点: 一元二次方程的定义. 分析: 根据一元二次方程的定义进行判断即可. 解答: 解:
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)个. =3;⑤x ﹣2x+3=0;⑥(a +1)x
3 2 2

+ =2;④

3

①当 a=0 时,不是一元二次方程; ②符合一元二次方程的定义,是一元二次方程; ③不是整式方程,所以不是一元二次方程; ④不是整式方程,所以不是一元二次方程; ⑤未知数的最高次为 3,所以不是一元二次方程; 2 ⑥a +1 一定不为 0,所以是一元二次方程; 综上可知是一元二次方程的为②⑥共两个, 故选:A. 点评: 本题主要考查一元二次方程的定义,即只含有一个未知数,且未知项的最高次数为 2 的整式方程. 2.若 x=﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ ax+a =0 的一个根,则 a 的值为( A. 1 或 4 B. ﹣1 或﹣4 C. ﹣1 或 4 D. 1 或﹣4 考点: 一元二次方程的解. 专题: 计算题. 分析: 将 x=﹣2 代入关于 x 的一元二次方程 x ﹣ ax+a =0,再解关于 a 的一元二次方程即 可. 解答: 解:∵x=﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ ax+a =0 的一个根, ∴4+5a+a =0, ∴(a+1) (a+4)=0, 解得 a1=﹣1,a2=﹣4, 故选:B. 点评: 本题主要考查了一元二次方程的解的定义,解题关键是把 x 的值代入,再解关于 a 的方程即可. 21· cn· jy· com
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3.某品牌服装原价为 1000 元,连续两次降价 a%后售价为 640 元,下列所列方程正确的是 ( ) 2 A. 1000(1﹣2a)=640 B. 1000(1﹣a%) =640 2 C. 1000(1﹣a) =640 D. 1000(1﹣2a%)=640 考点: 由实际问题抽象出一元二次方程. 专题: 增长率问题. 2 分析: 等量关系为:原价×(1﹣下降率) =640,把相关数值代入即可. 解答: 解:∵第一次降价后的价格为 1000×(1﹣a%) , 2 第二次降价后的价格为 1000×(1﹣a%)×(1﹣a%)=1000×(1﹣a%) , 2 ∴方程为 1000(1﹣a%) =640. 故选 B. 点评: 本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化率 2 为 x,则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x) =b.www.21-cn-jy.com

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4. (非课改)已知 α,β 是关于 x 的一元二次方程 x +x+m =0 的两个不相等的实数根,且满 足 + =﹣1,则 m 的值是( )www-2-1-cnjy-com

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A. 3 B. 1 C. 3 或﹣1 D. ﹣3 或 1 考点: 根与系数的关系;根的判别式. 专题: 压轴题. 分析: 由于方程有两个不相等的实数根可得△ >0,由此可以求出 m 的取值范围,再利用 根与系数的关系和 + =﹣1,可以求出 m 的值,最后求出符合题意的 m 值.

解答: 解:根据条件知: α+β=﹣,αβ=m , ∴ 即 m ﹣2m﹣3=0, 所以,得 ,
2 2

=﹣1,

解得 m=3. 故选 A. 点评: 1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力.一元 二次方程根的情况与判别式△ 的关系: 【来源:21cnj*y.co*m】 (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; △ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. 2、一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=﹣ ,x1?x2= .
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5.用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm 的长方形,a 的值不可能为( A. 20 B. 40 C. 100 D. 120



考点: 一元二次方程的应用. 专题: 判别式法. 2 分析: 设围成面积为 acm 的长方形的长为 xcm,由长方形的周长公式得出宽为(40÷2﹣x) 2 cm,根据长方形的面积公式列出方程 x(40÷2﹣x)=a,整理得 x ﹣20x+a=0,由△ =400﹣ 4a≥0,求出 a≤100,即可求解.21cnjy.com 2 解答: 解:设围成面积为 acm 的长方形的长为 xcm,则宽为(40÷2﹣x)cm,依题意,得 x(40÷2﹣x)=a,整理,得 2 x ﹣20x+a=0, ∵△=400﹣4a≥0, 解得 a≤100, 故选:D.

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点评: 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式,找到等量关系并列出方程是解题的 关键. 6.某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件 150 元降至 96 元,平均每次降价的百分率 是( ) A. 20% B. 27% C. 28% D. 32% 考点: 一元二次方程的应用. 专题: 增长率问题. 分析: 如果价格每次降价的百分率为 x,降一次后就是降到价格的(1﹣x)倍,连降两次 2 2 就是降到原来的(1﹣x) 倍.则两次降价后的价格是 150×(1﹣x) ,即可列方程求解. 解答: 解:设平均每次降价的百分率为 x, 则可以得到关系式:150×(1﹣x) =96 x=0.2 或 1.8 x=1.8 不符合题意,舍去, 故 x=0.2 答:平均每次降价的百分率是 20%. 故选 A. 点评: 本题考查数量平均变化率问题.原来的数量(价格)为 a,平均每次增长或降低的 百分率为 x 的话, 经过第一次调整, 就调整到 a (1±x) , 再经过第二次调整就是 a (1±x) (1±x) =a(1±x) .增长用“+”,下降用“﹣”.2-1-c-n-j-y 7.分式方程 ﹣1= 的解是( C. x=2 D. 无解
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A. x=1 B. x=﹣1+

考点: 解分式方程. 专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到 分式方程的解. 解答: 解:去分母得:x(x+2)﹣(x﹣1) (x+2)=3, 2 2 去括号得:x +2x﹣x ﹣x+2﹣3=0, 解得:x=1, 经检验 x=1 是增根,分式方程无解. 故选 D. 点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为 整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 8.方程 x ﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( A. 12 B. 12 或 15 C. 15 D. 不能确定 考点: 等腰三角形的性质;解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系. 专题: 分类讨论.
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分析: 先解一元二次方程,由于未说明两根哪个是腰哪个是底,故需分情况讨论,从而得 到其周长. 解答: 解:解方程 x ﹣9x+18=0,得 x1=6,x2=3 ∵当底为 6,腰为 3 时,由于 3+3=6,不符合三角形三边关系 ∴等腰三角形的腰为 6,底为 3 ∴周长为 6+6+3=15 故选 C. 点评: 此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用,注意分类讨论. 9.已知(a +b ) (a +b ﹣9)﹣10=0,则 a +b 的值为( A. ﹣1 B. 10 C. ﹣1 或 10 D. ﹣1 和 10
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考点: 换元法解一元二次方程. 2 2 2 2 2 2 分析: 将 a +b 看做整体,设 a +b =x,再求得 x,根据 a +b ≥0 即可得出答. 2 2 解答: 解:a +b =x, 原方程可化为 x(x﹣9)﹣10=0, 解得 x=﹣1 或 10,
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∵x=a +b ≥0, 2 2 ∴a +b =10. 点评: 本题考查了用换元法解一元二次方程,解题的关键是找出整体,将它设为另一个未 知数.
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10.已知实数 a,b 分别满足 a ﹣6a+4=0,b ﹣6b+4=0,则 + 的值是( A. 7 或 2 B. 7 C. 9 D. ﹣9 考点: 根与系数的关系.



分析: 由于 a、b 满足 a ﹣6a+4=0,b ﹣6b+4=0,则可分类讨论:当 a=b 时,易得原式=2; 2 当 a≠b 时,a、b 可看作方程 x ﹣6x+4=0 的两个根,根据根与系数的关系得到 a+b=6,ab=4, 再变形得到原式=
2

2

2

=
2

,然后利用整体代入的方法进行计算.

解答: 解:a、b 满足 a ﹣6a+4=0,b ﹣6b+4=0, 当 a=b 时,原式=1+1=2; 2 当 a≠b 时,a、b 可看作方程 x ﹣6x+4=0 的两个根, 所以 a+b=6,ab=4, ∴原式= = =

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=7.

故选 A. 2 点评: 本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:x1,x2 是一元二 次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
2

,x1x2= . 【来源:21·世纪·教育·网】

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二、填空题(每小题 3 分,共 24 分) 11.若方程 3x ﹣10x+m=0 有两个同号不等的实根,则 m 的取值范围是 0<m<
2



考点: 根的判别式;根与系数的关系. 分析: 由已知条件可得:判别式△ >0,且两根之积大于 0,这样解不等式即可求出 m 的取 值范围. 解答: 解:∵方程 3x ﹣10x+m=0 有两个同号不等的实根, ∴ ,
2

解得 0<m<

. .

故答案为 0<m<

点评: 本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系.用到的知识点: 一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; △ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. 一元二次方程根与系数的关系:如果 x1,x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根时, 那么 x1+x2= ,x1x2= .2·1·c·n·j·y
2 2 2

12.若关于 x 的方程 x +(k﹣2)x+k =0 的两根互为倒数,则 k= ﹣1 . 考点: 根与系数的关系. 专题: 判别式法. 分析: 根据已知和根与系数的关系 x1x2= 得出 k =1,求出 k 的值,再根据原方程有两个实 数根,求出符合题意的 k 的值. 2 解答: 解:∵x1x2=k ,两根互为倒数, 2 ∴k =1, 解得 k=1 或﹣1; ∵方程有两个实数根,△ >0, ∴当 k=1 时,△ <0,舍去, 故 k 的值为﹣1. 故答案为:﹣1. 2 点评: 本题考查了根与系数的关系, 根据 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0, a,b,c 为常数)的两个实数根,则 x1+x2=﹣ ,x1x2= 进行求解.
2 2 2

13. 若把代数式 2x ﹣4x﹣3 化为 2 (x﹣m) +k 的形式, 其中 m, k 为常数, 则 m+k=

﹣4 .

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考点: 配方法的应用. 分析: 根据完全平方公式的结构,按照要求 2x ﹣4x﹣3=2(x ﹣2x+1﹣1)﹣3=2(x﹣1) 2 ﹣5,可知 m=1.k=﹣5,则 m+k=﹣4. 2 2 2 解答: 解:∵2x ﹣4x﹣3=2(x ﹣2x+1﹣1)﹣3=2(x﹣1) ﹣5, ∴m=1,k=﹣5, ∴m+k=﹣4. 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查完全平方公式的变形,熟记公式结构是解题的关键.完全平方公式: 2 2 2 (a±b) =a ±2ab+b . 【版权所有:21 教育】 14. 已知 a, b 是方程 x ﹣x﹣3=0 的两个根, 则代数式 2a +b +3a ﹣11a﹣b+5 的值为 23 . 考点: 因式分解的应用;一元二次方程的解;根与系数的关系. 专题: 计算题. 2 2 2 2 分析: 根据一元二次方程解的定义得到 a ﹣a﹣3=0,b ﹣b﹣3=0,即 a =a+3,b =b+3,则 3 2 2 2a +b +3a ﹣11a﹣b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)﹣11a﹣b+5,整理得 2 2 2a ﹣2a+17,然后再把 a =a+3 代入后合并即可. 2 解答: 解:∵a,b 是方程 x ﹣x﹣3=0 的两个根, 2 2 2 2 ∴a ﹣a﹣3=0,b ﹣b﹣3=0,即 a =a+3,b =b+3, 3 2 2 ∴2a +b +3a ﹣11a﹣b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)﹣11a﹣b+5 2 =2a ﹣2a+17 =2(a+3)﹣2a+17 =2a+6﹣2a+17 =23. 故答案为:23. 点评: 本题考查了因式分解的运用:利用因式分解解决求值问题;利用因式分解解决证明 问题;利用因式分解简化计算问题.也考查了一元二次方程解的定义.
2 2 3 2 2 2 2

15.已知 m 是方程 x ﹣x﹣2=0 的一个实数根,则代数式 4 . 考点: 一元二次方程的解;分式的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先把所求的分式变形得到(m ﹣m) (m﹣ +1)=(m ﹣m)?
2 2 2 2 2

的值为

,再根据一

元二次方程的解的定义得到 m ﹣m﹣2=0,变形得到 m ﹣m=2 和 m ﹣2=m,然后把它们整 体代入所求的代数式中即可得到代数式的值. 21*cnjy*com 2 解答: 解:∵m 是方程 x ﹣x﹣2=0 的一个实数根, 2 ∴m ﹣m﹣2=0, 2 2 ∴m ﹣m=2,m ﹣2=m, ∴(m ﹣m) (m﹣ +1)=(m ﹣m)?
2 2

=2×

=2×2=4.

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故答案为 4. 点评: 本题考查了一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元 二次方程的解.也考查了分式的化简求值以及整体的思想的运用. 16.若正数 a 是一元二次方程 x ﹣5x+m=0 的一个根,﹣a 是一元二次方程 x +5x﹣m=0 的 一个根,则 a 的值是 5 . 考点: 一元二次方程的解. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 把 x=a 代入方程 x ﹣5x+m=0,得 a ﹣5a+m=0①,把 x=﹣a 代入方程方程 x +5x﹣ 2 m=0,得 a ﹣5a﹣m=0②,再将①+②,即可求出 a 的值. 2 2 解答: 解:∵a 是一元二次方程 x ﹣5x+m=0 的一个根,﹣a 是一元二次方程 x +5x﹣m=0 的一个根, 2 2 ∴a ﹣5a+m=0①,a ﹣5a﹣m=0②, 2 ①+②,得 2(a ﹣5a)=0, ∵a>0, ∴a=5. 故答案为:5. 点评: 本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义:能使一元二次方程左右两 边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个 方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根. 17.关于 x 的方程 a(x+m) +b=0 的解是 x1=﹣2,x2=1, (a,m,b 均为常数,a≠0) ,则方 2 程 a(x+m+2) +b=0 的解是 x3=﹣4,x4=﹣1 . 考点: 一元二次方程的解. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 把后面一个方程中的 x+2 看作整体,相当于前面一个方程中的 x 求解. 2 解答: 解: ∵关于 x 的方程 a (x+m) +b=0 的解是 x1=﹣2, x2=1, (a, m, b 均为常数, a≠0) , 2 2 ∴方程 a(x+m+2) +b=0 变形为 a[(x+2)+m] +b=0,即此方程中 x+2=﹣2 或 x+2=1, 解得 x=﹣4 或 x=﹣1. 故答案为:x3=﹣4,x4=﹣1. 点评: 此题主要考查了方程解的定义.注意由两个方程的特点进行简便计算. 18.△ ABC 的三边长 a、b、c 满足 b+c=8,bc=a ﹣12a+52,则△ ABC 的周长等于 14 . 考点: 配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 专题: 计算题. 分析: 首先利用 c 表示出 b,代入已知的第二个式子中,整理后配方,然后根据非负数的 性质即可求出 a 与 c 的值,进而求出 b 的值,得到三角形的周长.21 教育名师原创作品 解答: 解:∵b+c=8, ∴b=8﹣c, 2 2 把 b=8﹣c 代入 bc=a ﹣12a+52 得: (8﹣c)c=a ﹣12a+52, 2 2 整理得:a ﹣12a+c ﹣8c+52=0,
2 2 2 2

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配方得: (a﹣6) +(c﹣4) =0, 即 a﹣6=0 或 c﹣4=0, 解得:a=6,c=4, ∴b=8﹣4=4, 则△ ABC 的周长等于 6+4+4=14. 故答案为:14 点评: 此题考查了配方法的应用,以及非负数的性质:偶次方,此题的技巧性比较强,熟 练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键. 三、解答题 19.用适当的方法解下列一元二次方程 ①x +3x+1=0 2 2 ②4 =25(x+3) ③x(x﹣4)=2﹣8x 2 ④ ﹣8+15=0. 考点: 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法. 分析: ①求出 b ﹣4ac 的值,再代入公式求出即可; ②两边开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可; 2 ③整理后求出 b ﹣4ac 的值,再代入公式求出即可; ④分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 2 解答: 解:①x +3x+1=0, 2 2 b ﹣4ac=3 ﹣4×1×1=5,
[来源:21 世纪教育网]

2

2

2

2

x= x1=

, ,x2=﹣ ;

②两边开方得:2=±5(x+3) , x1=﹣17,x2=﹣
2



③整理得:x +4x﹣2=0, 2 2 b ﹣4ac=4 ﹣4×1×(﹣2)=24, x= x1=﹣2+ , ,x2=﹣2﹣ ;

④分解因式得:=0, 2x+1﹣3=0,2x+1﹣5=0, x1=1,x2=2. 点评: 本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生的计算能力,题目比较好,难度 适中.

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20.先化简,再求值:

,其中 x 满足 x +x﹣2=0.

2

考点: 分式的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出 x 的值,把 x 的值代入进行计 算即可. 解答: 解:原式= ?

=

?

=
2



由 x +x﹣2=0,解得 x1=﹣2,x2=1, ∵x≠1, ∴当 x=﹣2 时,原式= = .

点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 21.a,b 是方程 x +11x=﹣25 的两根,求 a
2

+b

的值.

考点: 根与系数的关系. 分析: 先由一元二次方程根与系数的关系得出 a+b=﹣11,ab=25,再将 a 根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可. 2 2 解答: 解:∵a,b 是方程 x +11x=﹣25 即 x +11x+25=0 的两根, ∴a+b=﹣11,ab=25, ∴a +b = + = = × = . +b 变形为两

点评: 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相 结合解题是一种经常使用的解题方法. 22.阅读下列例题: 2 解方程 x ﹣|x|﹣2=0 2 解: (1)当 x≥0 时,原方程化为 x ﹣x﹣2=0,解得 x1=2,x2=﹣1(舍去) . 2 当 x<0 时,原方程化为 x +x﹣2=0,解得 x1=1(舍去) ,x2=﹣2. ∴x1=2,x2=﹣2 是原方程的根. 2 请参照例题解方程:x ﹣|x﹣1|﹣1=0.

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考点: 解一元二次方程-因式分解法;绝对值. 专题: 阅读型. 分析: 参照例题,应分情况讨论,主要是|x﹣1|,随着 x 取值的变化而变化,它将有两种情 况,考虑问题要周全. 【出处:21 教育名师】 2 解答: 解: (1)设 x﹣1≥0 原方程变为 x ﹣x+1﹣1=0, 2 x ﹣x=0, x1=0(舍去) ,x2=1. 设 x﹣1<0,原方程变为 x +x﹣1﹣1=0, 2 x +x﹣2=0, 解得 x1=1(舍去) ,x2=﹣2. ∴原方程解为 x1=1,x2=﹣2. 点评: 解本题时,应把绝对值去掉,对 x﹣1 正负性分类讨论,x﹣1≥0 或 x﹣1<0. 23.如图,要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈,用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方 米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长 AB,BC 各为多少米?
2

考点: 一元二次方程的应用. 专题: 应用题. 分析: 设 AB 的长度为 x,则 BC 的长度为(100﹣4x)米;然后根据矩形的面积公式列出 方程. 解答: 解:设 AB 的长度为 x,则 BC 的长度为(100﹣4x)米. 根据题意得 (100﹣4x)x=400, 解得 x1=20,x2=5. 则 100﹣4x=20 或 100﹣4x=80. ∵80>25, ∴x2=5 舍去. 即 AB=20,BC=20. 答:羊圈的边长 AB,BC 分别是 20 米、20 米. 点评: 本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的 条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.21·世纪*教育网 24.某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次,第 1 档次(最低档次)的产品一天能生 产 95 件,每件利润 6 元.每提高一个档次,每件利润增加 2 元,但一天产量减少 5 件. (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数,且 1≤x≤10) ,求出 y 关于 x 的函数关系式; 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元,求该产品的质量档次.

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考点: 二次函数的应用;一元二次方程的应用. 专题: 销售问题. 分析: (1)每件的利润为 6+2(x﹣1) ,生产件数为 95﹣5(x﹣1) ,则 y=[6+2(x﹣1)][95 ﹣5(x﹣1)]; 由题意可令 y=1120,求出 x 的实际值即可. 解答: 解: (1)∵第一档次的产品一天能生产 95 件,每件利润 6 元,每提高一个档次,每 件利润加 2 元,但一天生产量减少 5 件. ∴第 x 档次,提高的档次是 x﹣1 档. ∴y=[6+2(x﹣1)][95﹣5(x﹣1)], 2 即 y=﹣10x +180x+400(其中 x 是正整数,且 1≤x≤10) ; 由题意可得:﹣10x +180x+400=1120 2 整理得:x ﹣18x+72=0 解得:x1=6,x2=12(舍去) . 答:该产品的质量档次为第 6 档. 点评: 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的 增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方 案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值) ,也就是说二次函数的最 值不一定在 x= 时取得.
2

25.已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣x+k +k=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; 若△ ABC 的两边 AB,AC 的长是这个方程的两个实数根.第三边 BC 的长为 5,当△ ABC 是等腰三角形时,求 k 的值. 考点: 根的判别式;解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)先计算出△ =1,然后根据判别式的意义即可得到结论; 先利用公式法求出方程的解为 x1=k,x2=k+1,然后分类讨论:AB=k,AC=k+1,当 AB=BC 或 AC=BC 时△ ABC 为等腰三角形,然后求出 k 的值. 2 2 解答: (1)证明:∵△= ﹣4(k +k)=1>0, ∴方程有两个不相等的实数根;
2 2

2

2

解:一元二次方程 x ﹣x+k +k=0 的解为 x=

,即 x1=k,x2=k+1,

∵k<k+1, ∴AB≠AC. 当 AB=k,AC=k+1,且 AB=BC 时,△ ABC 是等腰三角形,则 k=5; 当 AB=k,AC=k+1,且 AC=BC 时,△ ABC 是等腰三角形,则 k+1=5,解得 k=4, 综合上述,k 的值为 5 或 4. 2 2 点评: 本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =b ﹣4ac:当△ >0, 方程有两个不相等的实数根;当△ =0,方程有两个相等的实数根;当△ <0,方程没有实数 根.也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.

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