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数学必修1第二章平面解析几何初步单元检测题及答案


精炼检测

1

第二章
一、选择题.

平面解析几何初步
).

1. 若圆的一条直径的两个端点分别是(2,0)和(2,- 2),则此圆的方程是( A. x2 + y2 - 4x + 2y + 4=0 C. x2 + y2 - 4x + 2y - 4=0 B. x2 + y2 -

4x - 2y - 4 = 0 D. x2 + y2 + 4x + 2y + 4 = 0

2. 已知直线 mx + 4y - 2 = 0 与 2x - 5y + n = 0 互相垂直, 垂足为(1, p), 则 m - n + p 的值是( A. 24 B. 20 C. 0 D. -4 ).

).

3. 已知直线 l1 : ax +2 y = 0 与直线 l2 : x +(a – 1)y + a2 – 1 = 0 平行,则实数 a 的值是( A. -1 或 2 B. 0 或 1 ). C. -1 D. 2

4. 下列说法中正确的是( A.

y ? y1 = k 表示过点 P1(x1,y1),且斜率为 k 的直线方程 x ? x1

B. 直线 y = kx + b 与 y 轴交于一点 B(0,b),其中截距 b = |OB| C. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 与 b 的直线方程是
x y + =1 a b

D. 方程(x2 - x1)(y - y1)=(y2 - y1)(x - x1)表示过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线 5. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限,则( A. ab>0,bc>0 B. ab>0,bc<0 ). D. ab<0,bc<0 ).

C. ab<0,bc>0

6. 若直线 ax + by + c = 0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等,则 a,b,c 满足的条件是( A. a = b C. a = b,且 c = 0 B.|a|=|b| D. c = 0,或 c≠0 且 a = b

7. 如果圆心坐标为(2,- 1)的圆在直线 x - y - 1 = 0 上截得弦长为 2 2 ,那么这个圆的方程为 ( ). A.(x – 2)2 +(y + 1)2 = 4 C.(x - 2)2 +(y + 1)2 = 8 B.(x - 2)2 +(y + 1)2 = 2 D.(x - 2)2 +(y + 1)2 = 16

8. 如果直线 l 经过两直线 2x - 3y + 1 = 0 和 3x - y - 2 = 0 的交点,且与直线 y = x 垂直,则原点 到直线 l 的距离是( A. 2 ). B. 1 C. 2 ).
?5 5? 4? ?2 D. ? , - ? ?5 5?

D. 2 2

9. 原点关于 x - 2y + 1 = 0 的对称点的坐标为( A. ? , - ? 二、填空题.
?4 ?5 2? 5? ? 2 4? B. ? - , ? ? 5 5?

?4 2? C. ? , ?

精炼检测

2

1. 已知直线 l1 的倾斜角为 α1 ,则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角为 __________. 2. 圆心在直线 5x - 3y = 8 上,又与两坐标轴相切的圆的方程是 _____________. 3. 已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点. 则直线 l 的斜 率 k 的取值范围是____________. 4. 过点(5, 2), 且在 x 轴上的截距(直线与 x 轴交点的横坐标)是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方 程是___________________. 5. 若点 P 在圆 C1: x2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0 上,点 Q 在圆 C2: x2 + y2 + 4x + 2y + 1 = 0 上, 则|PQ| 的最小值是__________________. 6. 若两直线(m+2)x - y + m = 0,x + y = 0 与 x 轴相交且能构成三角形,则 m 满足的条件是 _________________. 三、解答题. 1. 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角 θ :C(m,n),D(m,-n)(n≠0).

2. △ABC 的一个顶点为 A(-4,2),两条中线分别在直线 3x - 2y + 2 = 0 和 3x + 5y - 12 = 0 上,求 直线 BC 的方程.

3. 已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0 与 l2 : 2x + my - 1 = 0 互相平行,求 l1,l2 之间的距离为 5 时的 直线 l1 的方程.

4. 已知圆 x2 + y2 = r2,点 P(x0,y0)是圆外一点,自点 P 向圆作两条切线,A,B 是切点,求弦 AB 所在直线的方程.

参考答案

一、选择题.

精炼检测

3

1. A【解析】半径为

0 ?(?2) = 1, 2

又∵ l 与 y = x 垂直,∴ 斜率为 -1. ∴ l: y = -x + 2.∴ 原点到 y = -x + 2 的距离为
2.

圆心为(2,-1).∴ (x - 2)2 +(y + 1)2 = 1. ∴ x2 + y2–4x + 2y + 4 = 0. 2. B【解析】 ? ?
2 ? m? ? × = -1,∴ m = 10. 5 ? 4?

9. B 二、填空题. 1. 0°,或 180° -α1. 【解析】当 α1 = 0° 时, α2 =0°;当 0°<α1<180° 时,α2 =180° - α1. 2.(x-4)2+(y - 4)2 = 16,或(x - 1)2+(y + 1)2 = 1. 【解析】∵ 圆与两坐标轴相切, ∴ 圆心在 y = x,或 y = -x 上. 又圆心在 5x - 3y = 8 上, ∴ 圆心为(4,4),或(1,-1). ∴ 圆的方程为 (x - 4)2 +(y - 4)2 = 16,或 (x - 1)2 +(y + 1)2 = 1. 3. k≤-1,或 k≥3. 【解析】直线 l 位于直线 PA,PB 之间,∴ k≤-1,或 k≥3. 4. 2x - 5y = 0,或 x + 2y - 9 = 0.

∵ 直线 mx + 4y - 2 = 0 过(1,p), ∴ 10 + 4 p - 2 = 0. ∴ p = - 2. ∴ 2 + 10 + n = 0. ∴ n = - 12.∴ m – n + p = 20. 3. D【解析】∵ a (a -1)= 2,∴ a = 2,或 a = -1, 当 a = -1 时,两直线重合,∴ a = 2. 4. D【解析】A:该式由于 x≠x1,∴ 不为 直线. B:截距 b 可为负值. C:当截距 a,b 为 0 时,不满足方程. 5. D【解析】∵ 所给直线在一、三象限,
a ∴ - >0,∴ ab<0. b

又∵ 直线过第二象限,∴ - >0,∴ bc <0. 6. D【解析】当 c = 0 时,直线过原点满足条 件; 当 c≠0 时,a = b. 7. A【解析】圆心到直线的距离为
2 ?1?1 2

c b

【解析】设直线方程为 y = kx + b. 当 b = 0 时,又直线过点(5,2),
2 , 5

∴ k=

∴ 直线方程为 2x - 5y = 0; 当 b≠0 时,∴ ?
b = 2b, k

∴ k=- ,

1 2

又直线过点(5,2), ∴ 直线方程为 x + 2y - 9 = 0. 5. 3 5 - 5. 【解析】把圆 C1,C2 的方程都化

= 2,
( 2 ) ? ( 2 ) = 2,
2 2

∴半径 r =

成标准形式,得(x - 4)2 +(y - 2)2 = 9,(x + 2)2 +(y + 1)2 = 4. 圆 C1 的圆心坐标是(4,2),半径长是 3;圆 C2 的圆心坐标是(-2,-1),半径长是 2.

∴ 圆的方程为(x - 2)2 + (y + 1)2 = 4. 8. C【解析】∵ ? 1).
?2 x ? 3 y ? 1 ? 0, ∴ 交点为(1, ?3x ? y ? 2 ? 0,

精炼检测

4

圆心距长等于 (4 ? 2)2 ?(2 ? 1)2 ? 3 5. 所以,|PQ|的最小值是 3 5 - 5. 6. m≠-2,m≠-3,且 m≠0. 【解析】显然直线 x + y = 0 与 x 轴相交于原 点(0, 0). 由于(m + 2)x-y+m=0 不能经过原点, 所以 m≠0; (m + 2)x-y + m = 0 与 x 轴不能平行, 所以 m + 2≠0,m≠-2;直线(m + 2)x - y + m = 0 与直线 x + y = 0 不能平 行,所以 m + 2≠-1, m≠-3. 综上,m 满足的条件是 m≠-2,m≠-3,且 m≠0. 三、解答题. 1. 【解】∵ C,D 两点的横坐标相同, ∴ 直线 CD⊥x 轴, 90°. 2. 【解】∵点 A( ? 4 ,2)不在直线
3x ? 2 y ? 2 ? 0 和 3x ? 5 y ? 12 ? 0 上,所以这两条

解得 ?

?m ? ?4, ?m ? 4, 或 ? ?n ? ?2; ? n ? 2.

(1)当 m = 4 时,直线 l1 的方程是 4x + 8y + n = 0,把 l2 的方程写成 4x + 8y - 2 = 0.两平行线 间的距离为
|n? 2| 16 ? 64

.由已知,得

|n? 2| 4 5

= 5.

解得 n = -22,或 n = 18. 所以, 所求直线 l1 的方程为 2x + 4y - 11 = 0, 或 2x + 4y + 9 = 0. 综上,l1 的方程为 2x + 4y - 11 = 0 或 2x + 4y + 9 = 0 或 2x - 4y + 9 = 0 或 2x - 4y - 11=0. (2)当 m = -4 时, 直线 l1 的方程为 4x - 8y - n = 0,把 l2 的方程写成 4x - 8y - 2 = 0.两平行线 距离为
|n?2| 16 ? 64


|n?2| 4 5

故斜率不存在,θ =

由已知,得

= 5.

解得 n=-18,或 n = 22. 所以,所求直线 l1 的方程为 2x - 4y + 9 = 0, 或 2x - 4y - 11 = 0. 综上, l1 的方程为 2x + 4y - 11 = 0, 或 2x + 4y + 9 = 0,或 2x - 4y + 9 = 0,或 2x - 4y - 11 = 0.

中线为过顶点 B,C 的两条中线.
?3x ? 2 y0 ? 2 ? 0, 设重心 G( x 0 , y 0 ).则有 ? 0 ?3x0 ? 5 y0 ? 12 ? 0.
? ? 2 ? . 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 ∴ G? , 2 ?3 ?

4. 【解法一】设 A(x1,y1),B(x2,y2), 过点 A 的圆的切线方程为 x1x + y1y = r2, 过点 B 的圆的切线方程为 x2x + y2y = r2.

? x1 ? x2 ? 4 2 ? , ? 3 3 ? ? y1 ? y2 ? 2 ? 2, ? 3 ? ?3 x1 ? 2 y1 ? 2 ? 0, ?3 x ? 5 y ? 12 ? 0. 2 ? 2

? x1 ? 2, ? ? ? y1 ? 4, ? ? x2 ? 4, ? ? ? y 2 ? 0.

由于点 P 在这两条切线上,得 x1x0 + y1y0 = r2, x2x0 + y2y0 = r2. ① ②

由①②看出,A,B 两点都在直线 x0x + y0y = r2 上,而过两点仅有一条直线, ∴ 方程 x0x + y0y = r2 就是所求的切点弦 AB 所在直线的方程.
n m 8 = ≠ , 2 m ?1

故直线 BC 的方程为 2x + y - 8 = 0. 3. 【解】因为 l1∥l2,∴

精炼检测

5

【解法二】已知圆 x2 + y2 = r2, ① A,B 两点都在以 OP 为直径的圆上, 这个圆的方程是
x ? ? y ? x ? y0 ? . ?x ? 0 ? ?? y ? 0 ? ? 0 2? ? 2? 4 ?
2 2 2 2

② ①-②得 x0x + y0y = r2. 这就是两圆相交弦所在直线的方程,也是切 点弦 AB 所在的直线的方程.


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