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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:6.3不等式的证明(第3课时)


第六章 不等式
第 讲
(第三课时)

1

题型6

用反证法证不等式

1. 已知a、b、c∈(0,1),

1 求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 4 . 1 证法1:假设三式同时大于 , 1 1 14 即有(1-a)b> ,(1

-b)c> ,(1-c)a> 4 , 4 4
1 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>64

.

2

又(1-a)a≤( 1 ? 同理,(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ , 4 4 1 ? 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ , 64 ? 因此与假设矛盾,故结论正确. ? 证法2:假设三式同时大于 . 1 ? 因为0<a<1,所以1-a>0, 4
?

1- a ?2a )= 21

1 , 4

3

(1- a) ? b 1 1 ? (1- a)b ? ? . ? 所以 2 4 2 (1- b) ? c (1- c) ? a ? 同理, 都大于 .1 、 2 2 3 23 ? 三式相加得 > ,矛盾. 2 2 ? 故假设不成立,从而原命题成立.

点评:证明有关“至少”“最多”“唯 一”或含有其他否定词的命题,可采用反证 法.反证法的证题步骤是:反设——推理—— 导出矛盾(得出结论).
4

求证:三条抛物线 y=cx2+2ax+b,y =ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a(a、b、c 为 非零实数)中至少有一条与 x 轴有交点.

5

证明:假设三条抛物线与 x 轴均无交点, 则方程 cx2+2ax+b=0 的判别式 Δ1=4a2-4bc<0. 同理,Δ2=4b2-4ac<0,Δ3=4c2-4ab<0, 则 Δ1+Δ2+Δ3=4a2+4b2+4c2-4ab-4bc-4ac<0, 所以 2(a-b)2+2(b-c)2+2(c-a)2<0, 这与 2(a-b)2+2(b-c)2+2(c-a)2≥0 相矛盾, 故假设不成立. 所以三条抛物线中至少有一条与 x 轴有交点.

6

题型7
?

用换元证不等式

2. 已知a、b∈R,a2+b2≤4, ? 求证:|3a2-8ab-3b2|≤20. ? 证明:因为a、b∈R,a2+b2≤4, ? 所以可设a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r ≤2, ? 所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ| ? =r2|5cos(2θ+arctan )|≤5r2≤20. ? 所以原不等式成立.
7

点评:换元法一般有代数式的整体换元、三 角换元等换元方式.换元时要注意新变元的 取值范围,以及换元后的式子的意义.常用 的换元有: ? 若x2+y2=a2,可设x=acosθ,y=asinθ; ?若 x 2 y 2 可设x=acosθ,y=bsinθ; ? 2 ? 1, 2 a b ? 若x2+y2≤1, ? 可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1).
?

8

已知1≤x2+y2≤2,求证: ≤x2-xy+y2≤3. ? 证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R, ?则 x 2 - xy ? y 2 ? r 2 cos 2 ? - r 2 cos ? sin ? ? r 2 sin 2 ?
?
?

r 1 2 ? r - sin 2? ? r (1- sin 2? ), 2 2 1 1 ? 由-1≤sin2θ≤1,得 ≤1sin2θ≤ . 2 2 1 1 2≤2,所以 2(1? 又1≤r ≤r sin2θ)≤3, 2 1 2 2-xy+y2≤3. ?即 ≤x 2
2

2

3 2

9

题型8 判别式法证不等式 2 1 x - x ?1 ? 2 ? 3. ? 3. 求证: 3 x2 ? x ?1 x - x ?1 ? 证明:令 x∈R, y? 2 ,
?

则yx2+yx+y=x2-x+1.

x ? x ?1

?
? ?

于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.①
(1)若y=1,则x=0,符合题意; (2)若y≠1,则①式是关于x的一元二次方程.
10

由x∈R,知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0, 1 ? 解得 ≤y≤3且y≠1. 3 1 x 2 - x ?1 1 ? 2 ? 3. ? 综合(1)(2),得 ≤y≤3,即 3 x ? x ?1 3 ? 点评:与二次式有关的不等式证明, 可通过构造二次方程,然后利用方程 有实数解的充要条件得出式子的取值 范围,就是所要证明的不等式.
?

11

x -1 1 ? . ? 求证: -1 ? 2 x - x ?1 3 x -1 y? 2 ,x ? R, ? 证明:令

x - x ?1 ? 则yx2-(y+1)x+y+1=0,①

(1)当y=0时,得x=1,符合题意; ? (2)当y≠0时,则①式是关于x的一元二次方程. ? 由x∈R,得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥0, 1 ? 解得-1≤y≤ ,且y≠0. 3 x -1 1 1 -1 ? 2 ? . ? 综合(1)(2),得-1≤y≤ ,所以
3
x - x ?1 3
12

?

参 考 题
题型 不等式与函数的综合应用 ? 已知函数f(x)=ln(x+1)-x,若x>-1,证明: 1 ? 1≤ln(x+1)≤x. x ?1 1 -x ? 证明: f ?( x) ? -1 ? . x ?1 x ?1 ? 令f ′(x)=0,得x=0. ? 当x∈(-1,0)时,f ′(x)>0; ? 当x∈(0,+∞)时,f ′(x)<0.
13

所以f(x)在区间(-1,0)上是增函数, ? 在区间(0,+∞)上是减函数. ? 所以当x>-1时,f(x)≤f(0)=0, ? 即ln(x+1)-x≤0,故ln(x+1)≤x.
? ? ? ?

令 则

令g′(x)=0,得x=0. ? 当x∈(-1,0)时,g′(x)<0; ? 当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0.

1 g ( x) ? ln( x ? 1) - (1), x ?1 1 1 x g ?( x) ? ? . 2 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1)

14

所以g(x)在(-1,0)上是减函数, ? 在(0,+∞)上是增函数,
? ? ?

故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,

1 故 1- 1 ? ln( x ? 1). ln( x ? 1) - (1) ? 0, x ?1 x ?1 1 ? 综上知, 1? ln( x ? 1) ? x. x ?1



15

1. 在已知中如果出现两数相加等于一个正 常数,可联想到公式sin2α+cos2α=1,进行 三角换元. ? 2. 含有字母的不等式证明,可以化为一边 为零,而另一边为某个字母的二次三项式, 考虑判别式. ? 3. 有些不等式,从正面证如果不易说清楚, 可以考虑反证法.凡是有“至少”“唯一” 或含有其他否定词的命题,适宜用反证法.
?
16


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