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广东省珠海市2013届高三9月摸底数学文试题


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珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B = A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么2x-y 的最大值为 2. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.—3 B.—2 C.1 D.2

3.函数 f ( x) ? a x ? a? x ? 1 , g ( x) ? a x ? a? x ,其中 a ? 0,a ? 1 ,则

A . f ( x)、g ( x) 均为偶函数

B . f ( x)、g ( x) 均为奇函数 D . f ( x) 为奇函数 , g ( x) 为偶函数

C . f ( x) 为偶函数 , g ( x) 为奇函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ” 是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | ,若直线 PA 的方程为

x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是
A. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7. 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么, | a ? 3b | 等于 A.

? ?
7

?

?

B. 10

C. 13

D. 4

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8. 要得到函数 y ? sin(2 x ?

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象

? 单位 4 ? C.向左平移 单位 8
A.向左平移

? 单位 4 ? D.向右平移 单位 8
B.向右平移

9.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计 由K ?
2

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

n(ad ? bc)2 ? 5.56 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.050
3.841

附表:

P( K 2 ? k )
k
则下列说法正确的是:

0.010
6.635

0.001
10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”; B.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”;

10.设 U 为全集,对集合 X 、Y ,定义运算“ ? ”,满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ,则对于 任意集合 X 、Y 、Z ,则 X ? (Y ? Z ) ? A. ( X ? Y ) ? (CU Z ) C. [(CU X ) ? (CU Y )] ? Z B. ( X ? Y ) ? (CU Z ) D. (CU X ) ? (CU Y ) ? Z

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.在△ABC 中, a ? 5, b ? 6, c ? 7 ,则 cos C ? .

x2 y 2 2 12. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y ? 8x 的焦点相同, a b

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那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______. 13. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

.

14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________.

A
15.(几何证明选讲选做题) 如图, 在△ABC 中, 是 AC 的中点, 是 BD 的中点, 交 BC 于 F, D E AE 则

E BF F
FC

D
?

B

C

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x . cos x
4 ,求 f (? ) 的值. 3

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ?

17.(本小题满分 12 分) 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件 求两张标签上的数字为相邻整数的概率: (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的. 18.(本小题满分 14 分) 如 图 1, 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2, AD ? CD ? 1 . 将

?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求几何体 D ? ABC 的体积.
D C D

C A 图1 B A 图2 B

19.(本小题满分 14 分)
2 2 已知,圆 C: x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 .

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(1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.

20.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x ) ? a ?

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1
x

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。

21.(本小题满分 14 分) 已知 a1 ? 1 ,点 (an, an?1 ?2) 在函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 的图象上,其中 n ? 1, 2,3, 4, ??? (1)证明:数列 {lg(an ? 2)} 是等比数列; (2)设数列 {an ? 2} 的前 n 项积为 Tn ,求 Tn 及数列 {an } 的通项公式; (3)已知 bn 是

1 1 与 的等差中项,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: an ? 1 an ? 3

3 1 ? Sn ? . 8 2

2012 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题与参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B =( )B A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么2x-y 的最大值为 2. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.—3 B.—2 C.1 3.函数 f ( x) ? a ? a
x ?x



)C

D.2

? 1 , g ( x) ? a x ? a? x ,其中 a ? 0,a ? 1 ,则(
B . f ( x)、g ( x) 均为奇函数

)C

A . f ( x)、g ( x) 均为偶函数

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C . f ( x) 为偶函数 , g ( x) 为奇函数

D . f ( x) 为奇函数 , g ( x) 为偶函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是( A.36 C.72 B.108 D.180

)B

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ” 是“ ? ? ? ”的( )A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 。若直线 PA 的方程为

x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是(
A. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0

)B C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7. 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么, | a ? 3b | 等于( A.

? ?
7

?

?

)C

B. 10

C. 13

D. 48. 要得到函数 )D

y ? sin(2 x ? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象( 4

?

? 单位 4 ? C.向左平移 单位 8
A.向左平移

? 单位 4 ? D.向右平移 单位 8
B.向右平移

9.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计 50 10 60 雌性 25 15 40 总计 75 25 100

由K ?
2

n(ad ? bc)2 ? 5.56 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.050 0.010 0.001

附表:

P( K 2 ? k )
k

3.841

6.635

10.828

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则下列说法正确的是:(

)C

A.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”; B.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”; 10.设 U 为全集,对集合 X 、Y ,定义运算“ ? ”,满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ,则对于 任意集合 X 、Y 、Z ,则 X ? (Y ? Z ) ? ( A . ( X ? Y ) ? (CU Z ) D. (CU X ) ? (CU Y ) ? Z ) D C . [(CU X ) ? (CU Y )] ? Z

B . ( X ? Y ) ? (CU Z )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.在△ABC 中, a ? 5, b ? 6, c ? 7 ,则 cos C ? . 1/5

12. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同, a 2 b2

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______. (?2, 0) , 3x ? y ? 0 13. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

.(-1,3)

14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________;1 15.(几何证明选讲选做题) 如图, 在△ABC 中, 是 AC 的中点, 是 BD 的中点, 交 BC 于 F, D E AE 则

A
BF ?D FC E
.

1 2

B

F

C

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x 。 cos x
4 ,求 f (? ) 的值. 3

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ? 16.解:(1)由 cos x ? 0 得 x ? k? ?

?
2

(k∈Z), ?3 分

故 f ( x ) 的定义域为{|x| x ? k? ? (2)由 tan ? = ?

?
2

,k∈Z}?5 分

sin ? 4 4 ? ? ,而 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,得 cos ? 3 3 4 3 且α 是第二象限的角, 解得 sin ? = , cos? = ? ,?9 分 5 5 4 3 1 ? 2 ? ? (? ) 1 ? sin 2? 1 ? 2sin ? cos ? 5 5 = ? 49 .?12 分 故 f (? ) = = = 3 cos ? cos ? 15 ? 5
17.(本小题满分 12 分) 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件 求两张标签上的数字为相邻整数的概率: (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的. 17.解: (1) 无放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1, 4}, {2,3},{2,4}, {3,4},总数为 2× 个 6 ??3 分 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为 2× 个 ??5 分 3 ∴P=

6 1 ? ; 12 2

??6 分

(2) 有放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4}, {2, 3},{2,4}, {3,4},和(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),总数为 2× 6+4=16 个??9 分 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为 2× 个 ??11 分 3 P=

6 3 ? 16 8

??12 分

18.(本小题满分 14 分) 如 图 1, 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2, AD ? CD ? 1 . 将

?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (2) 求几何体 D ? ABC 的体积.
D C C

A 图1

B

A 图2

B

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18. 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ?

2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,故 AC ? BC
……4 分

取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD
2 2 2

……8 分

另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ACD ? 面 ABC ,面 ACD ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高. BC ? 2 , S ? ACD ? 所以 VB ? ACD ?

1 2

……11 分 ……13 分

1 1 1 2 Sh ? ? ? 2 ? 3 3 2 6 2 6

由等积性可知几何体 D ? ABC 的体积为

……14 分

19.(本小题满分 14 分)
2 2 已知,圆 C: x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 .

(1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程. 19.解:将圆 C 的方程 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,
2 2 2 2

则此圆的圆心为(0 , 4),半径为 2. (1) 若直线 l 与圆 C 相切,则有 解得 a ? ?

???????????2

分 分 分

| 4 ? 2a | a2 ?1

? 2.

?????????????????4

3 . 4

??????????????????????????????????????6

(2) 解法一:过圆心 C 作 CD⊥AB, ???7 分 则根据题意和圆的性质,得 | 4 ? 2a | ? , ?CD ? a2 ?1 ? ? 2 2 2 2 ?????????????????????????????10 分 ?CD ? DA ? AC ? 2 , ? 1 ? DA ? AB ? 2 . 2 ? ? 解得 a ? ?7 , ? 1 . ????????????????????????????????????12 分

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(解法二:联立方程 ?

?ax ? y ? 2a ? 0,

2 2 ? x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 (a 2 ? 1) x 2 ? 4(a 2 ? 2) x 2 ? 4(a 2 ? 4a ? 3) ? 0 .

并消去 y ,得

设此方程的两根分别为 x1 、 x2 ,则用 AB ? 2 2 ? 求出 a.) ∴直线 l 的方程是 7 x ? y ? 14 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 .

(a 2 ? 1)[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] 即可


???????????????14

20.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x ) ? a ?

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1
x

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。 20.解:(1)函数 f (x)的定义域是 R 证明:设 x1 < x2 ; f (x1) – f (x2) = a? 当 b ? 1时

??2 分

2(b x1 ? b x2 ) 2 2 ?( a? x )= x b x1 ? 1 b 2 ? 1 (b 1 ? 1)(b x2 ? 1)
得b 1 ?b
x x2

? x1<x2 ? b x1 ? b x2

<0

得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数;

??6 分

时 当 0 ? b ? 1 ? x1<x2 ? b 1 ? b
x

x2

得b 1 ?b
x

x2

?0
??10 分

得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注:用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R, 由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .

?11 分

当 a ? 1 时, f (? x) ? 1 ?

2 b? x ? 1 1 ? b x 2 bx ?1 ? ?x ? ? x , f ( x) ? 1 ? x , b? x ? 1 b ? 1 1 ? b x b ?1 b ?1
?14 分

满足条件 f (? x) ? ? f ( x) ,故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数 21.(本小题满分 14 分)

已知 a1 ? 1 ,点 (an, an?1 ?2) 在函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4 的图象上,其中 n ? 1, 2,3, 4, ???
2

(1)证明:数列 {lg(an ? 2)} 是等比数列;

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(2)设数列 {an ? 2} 的前 n 项积为 Tn ,求 Tn 及数列 {an } 的通项公式; (3)已知 bn 是

1 1 与 的等差中项,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: an ? 1 an ? 3

3 1 ? Sn ? . 8 2
2 21.解:(1)证明:由已知 an?1 ? 2 ? an ? 4an ? 4 ,∴ an?1 ? 2 ? (an ? 2)2

?2 分 ?4 分 ?5 分

∵ a1 ? 1 ? an ? 2 ? 1 ,两边取对数,得 lg(an?1 ? 2) ? 2lg(an ? 2) ∴ {lg(an ? 2)} 是等比数列,公比为 2,首项为 lg(a1 ? 2) ? lg3 (2)由(1)得 lg(an ? 2) ? 2n?1 lg 3 ? lg 32 ,∴ an ? 32
n?1 n?1

? 2 ?6 分

∵ lg Tn ? lg[(a1 ? 2)(a2 ? 2) ??? (an ? 2)] ? lg(a1 ? 2) ? lg(a2 ? 2) ???? ? lg(an ? 2)

?

n (2n ? 1) lg 3 ? lg 32 ?1 2 ?1

?8 分

∴ Tn ? 32

n

?1

?9 分
n?1

1 1 1 1 1 1 32 1 1 (3)∵ bn ? ( ? ) ? ( 2n?1 ? 2n?1 ) ? 2n ? 2n ?1 ? 2n 2 an ? 1 an ? 3 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
? 1 1 ? an ? 1 an ?1 ? 1
?11 分

(另法: bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ( ? ) 2 an ? 1 an ? 3 an ? 1 2 an ? 1 an ? 3

?

1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? 2 ? ? an ? 1 (an ? 1)(an ? 3) an ? 1 an ? 4an ? 3 an ? 1 an ?1 ? 1
1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? ) a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 an?1 ? 1
?12 分

∴ Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? (

?

1 1 1 1 ? ? ? 2n a1 ? 1 an?1 ? 1 2 3 ? 1
3 8

显然 bn ? 0 ,∴ S n ? S1 ? 又 Sn ?

3 1 1 1 1 ? 2n ? ,∴ ? S n ? 8 2 2 3 ?1 2

?14 分


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