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培优讲义一《集合》


广东实验中学顺德学校高一培优讲义

第一讲

集 合

一、集合中元素的互异性 2 1、 设集合 A={2, -a+2,1-a},且 4 ∈ A, a 的值. a 求

三、注意空集 7、已知集合 A={x|-2<x<5},B={x|m+1<x<3m+5}满足 B ? A,求实数 m 的取值范围.

2、已知集合 A = {1, x ? 1, x 2 ? 3} ,求实数 x 应满足 的条件.

8、已知 M={x|x +2x+1=0}, N={x|ax-1=0}, 且 N ? M,求 a 的值.

2

二、集合的描述法表示 3、已知集合 X={0,1}, Y={x|x ? X}, 写出集合 Y.

四、分类讨论 分类讨论 2 9、已知集合 A={x|x +4x=0}, 2 2 B={x|x +2(a+1)x+a -1=0}, 若 B ? A, 求实数 a 的值.

4、与集合 A={x ∈ R|x ≥ 3}相等的集合是…( ) 2 2 A. {x|y=x +3} B. {y|y=x +3} 2 2 D. {y=x +3} C. {(x,y)|y=x +3} 5、画出下列集合所表示的图形: (1) {P|PO=3cm} (O 为定点,P 为平面内动点) (2) {(x,y)|y=x}; (3) {(x,y)|

y =1} x

10、已知集合 A={a ,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a +1}, 若 A∩B={-3},求实数 a 的值.

2

2

6、已知 a ∈ Z,A={(x,y)|ax-y≤3},且 (2,1) ∈ A,(1,-4) ? A,求 a 的值.



1



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五、注意韦恩图的应用 2 11、 已知全集 U={x|x <50,x ∈ N},L∩(CUM)={1,6}, M∩(CUL)={2,3},CU(M∪N)={0,5},求集合 M 和 L.

17、已知集合 A={x|x -3x+2=0}, 2 求实数 a 的取值 B={x|x -ax+3a-5=0},若 A∩B=B, 范围.

2

12、下列表示图形中的阴影部分的是……( A.(A∪C)∩(B∪C) B A B.(A∪B)∩(A∪C) C.(A∪B)∩(B∪C) C D.(A∪B)∩C



18、已知 A={x|x +px+q=0},B={x|x -3x+2=0}, 且 A∪B=B,求 p、q 的关系或 p、q 的值.

2

2

13、集合 U,M,N,P 如图所示,则图中阴影部分 所表示的集合是…………………………… ( A.M∩(N∪P) C.M∪CU(N∩P) B.M∩CU(N∪P) D.M∪CU(N∪P) U P M N )

19、已知集合 A={x∈R|x +2ax+2a -4a+4=0} , 若φ A,求实数 a 的取值范围.

2

2

20、集合 A={x|x -ax+a -19=0} , , B={x|x -5x+6=0} 14、设全集为 U,用集合 A、B、C 的交、并、补集 符号表图中的阴影部分: (1) (2) (3)
2

2

2

C={x|x2+2x-8=0} .?
(1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

七、补集思想(正难则反) 补集思想(正难则反) 2 21、已知集合 A={x|x -4mx+2m=6=0}, 六、注意一些等价关系的应用 15、填空: (1)若 A ? B,则 A∩B=______, A∪B=_________; (2)若 A∩B=A,则 A____B, A∪B=A,则 A______B; (3)若 A∩B=A∪B,则 A_____B; (4)若 φ A,意味着什么?___________________ 例 22 集合 A={x|mx -2x+1=0,x ∈ R},若集合 A 中至 多有一个元素,求实数 m 的取值范围.
2

B={x|x<0},若 A∩B ≠ φ ,求实数 m 的取值范围.

16、填空 (1)CU(A∩B)______(CUA)∪(CUB); (2)CU(A∪B)______(CUA)∩(CUB).
第 2



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第二讲

函数

一、函数的图像的作法 函数的图像的作法 (一)基本函数的图像 基本函数是指: 1、正比例函数 2、一次函数 3、反比例函数 4、二次函数 例题 1 作出下列函数图像: (1)y=-2x; (2)y=-2x+3;

(四)平移法作函数图像 函数 y=f(x ± a) ± b 的图像可由函数 y=f(x)的 图像进行左右或上下平移得到 例 4 作出下列函数的图像: (1)y=

1 ; x +1

(2) y =

x ?1 . x +1

(3)y=2x;

(4)y=x ;

2

(5)y=-x ;

2

(6)y=x +1;

2

(五)对称法作函数图像 函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图像关于 x 轴对称, 函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称. 2 例 5 已知 f(x)=x -6x+5, (1)作出函数 y=-f(x)的图像; (2)作出函数 y=f(-x)的图像.
2

(7)y=x -1; (8)y=(x+1) +1;

2

2

(9)y=(x-1) -1

总结:一次函数作图方法是_____________; 二次函数图像作法是______________________. 作图要求:______________________________ _________________________________________ 作限制自变量取值范围的基本函数图像 (二) 作限制自变量取值范围的基本函数图像 例 2 作出下列函数的图像: 2 (1)y=x -4x+3,x ∈ [0,3]; 2 (2)y=x -4x+3,x ∈ [-1,1]; 2 (3)y=x -4x+3,x ∈ [3,5].

(六)翻折法作图 函数 y=|f(x)|的图像可由函数 y=f(x)的图像 把 x 轴下方部分向上翻折而得到; 函数 y=f(|x|)的图像关于 y 轴对称,而且其在 y 轴右侧的图像与函数 y=f(x) y 轴右侧的图像完 y=f(x)在 全相同. 2 例 6 已知函数 f(x)=-x -2x+3, (1)作出函数 y=|f(x)|的图像; (2)作出函数 y=f(|x|)的图像.

(三)作分段函数的图像 例 3 作出函数 y=|x-1|+|x+1|的图像.



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二、函数图像的应用 (一)求函数的值域 例 7 求出下列函数的值域: 2 (1)y=|x-3|+|x-5|; (2)y=-x +6x-5,x ∈ [0,7]; (3)y=

三、求函数的解析式常见题型与方法 函数的解析式常见题型与方法 常见题型与方 (一)换元法 2 例 9 已知 f(x+1)=x -2x-15,求 f(x).

1 ,x ∈ [-1,0)∪(0,1]. x

例 10 已知 f ( x +

1 1 ) = x 2 + 2 , 求 f(x). x x

(二)求函数的单调区间 例 8 求下列函数的单调区间: (1)y=

(二)待定系数法 例 11 一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=2x+1, 求 f(x).

(3)y=-x +8x-7,x ∈ [1,6]; 2 2 (4)y=x -3|x|+2; (5)y=|x -4x+3|.
2

1 ; x?2

(2)y=

x +1 ; x ?3

(三)赋值消元法 例 12 已知函数 f(x)满足 f ( x ) ? 2 f ( ) = x , 求 f(x)的解析式.

1 x

例 13 已知函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=2x, 求 f(x).



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抽象函数定义域问题 四 抽象函数定义域问题 抽象函数是指未给出函数解析式的函数. f(x)的定义域 的定义域, f[h(x)]的定义域 (一)已知 f(x)的定义域,求 f[h(x)]的定义域 2 例 14 已知 f(x)的定义域是[-1,4],求 f(x -2x-4) 的定义域.

五 二次函数在闭区间上的最值问题 (一)定区间定对称轴型 例 17 已知 f(x)=x +2x-1,x ∈ [1, 3 ],求函数
2

f(x)的最大值与最小值.

例 18 函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a>0)在区间[2,3] 上的最大值为 5 最小值为 2,求 a,b 的值. f[h(x)]的定义域 的定义域, f(x)的定义域 (二)已知 f[h(x)]的定义域,求 f(x)的定义域 例 15 已知函数 f(2x-1)的定义域是[1,2],求函数 f(x)的定义域.

2

(二)定轴动区间型 2 例 19 设二次函数 f(x)=x -2x-1 在区间[t,t+1] 上的最小值是 g(t),求 g(t)的解析式.

f[h(x)]的定义域 求 f[g(x)]的定义域 的定义域, (三)已知 f[h(x)]的定义域, f[g(x)]的定义域 例 16 若 f(x+1) 的 定 义 域 是 [-1,2], 求 函 数 f(2x-1)的定义域. (三)动轴定区间型 2 例 20 已知函数 f(x)=x +ax+3 在区间[-2,2]上的 最大值为 g(a),求 g(a).



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抽象函数的单调性 六 抽象函数的单调性 (一)利用单调性求最值 例 21 已知函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),对任意 x1,x2 ∈ R 都有 f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2),且 x>0 时, f(x)<0,f(1)=-2,求 f(x)在区间[-3,3]上的最值.

例 24 已知函数 f(x)定义域为(0,+∞) ,且对任 意的 x1,x2 ∈(0,+∞)都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2), 且当 x>1 时,f(x)>0,又知 f(4)=1. (1)求证:f(1)=0;(2)求 f(

1 ); 16

(3)解不等式 f(3)+f(x-1)≤1.

例 22 函数 f(x)的定义域为 (0, +∞) 对任意 x1, , x2 ∈ (0,+∞)都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),当 x>1 时, f(x)>0,且 f(2)=2,求 f(x)在区间[8,16]上的 最大与最小值.

七 抽象函数的奇偶性 (一)奇偶性的判定 例 25 已知函数 f(x)定义域为 R,且对任意实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)+f(b),求证函数 f(x)为奇 函数.

(二)利用单调性解不等式或比较大小 例 23 已知函数 f(x)是定义在(-1,1)上的增函 数,且 f(t-1)<f(1-2t),求实数 t 的取值范围.

例 26 已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函 数,且对任意 a,b ∈ R 都有 f(ab)=bf(a)+af(b). (1)求 f(1),f(-1); (2)判断 f(x)的奇偶性.



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八 函数单调性与奇偶性综合 例 27 已知函数 f(x)为定义在[-5,5]上的奇函数, 且在[0.5]上单调递减,比较 f(- π )与 f(3)的大 小.

例 31 已知函数 f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数, 且当 x ∈ [0,3]时, f(x)=-2x+1, 求函数 f(x)的解 析式.

例 28 定义在区间[-2,2]上的奇函数 f(x)为减函 数,且 f(a)+f(a-1)>0,求实数 a 的取值范围. 例 32 已知函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 2 且 f(x)-g(x)=-x +3x-2,求 f(x),g(x)的解析式.

九 分段函数的单调性与奇偶性 例 29 求证函数 f(x)= ? 函数.

? x ? 1, x ≤ 0 在 R 上是增 ? x + 1,x > 0

? x ? 1, x > 0 ? 例 30 判断函数 f(x)= ?0, x = 0 的奇偶性. ? x + 1, x < 0 ?



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