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2014高中数学 1-3-2 球的体积和表面积课件 新人教A版必修2


1.3.2

球的体积和表面积

阅读教材 P27~28 回答 4 3 1.半径为 R 的球的表面积为 4πR ,体积为3πR .
2

2.一个球的表面积为 24π,那么它的体积为 8 6π.

3.(1)球的半径增大为原来的2倍,则球体积是原来的

8 倍. (2) 一个球的球大圆面积增为原来的 100 倍,那么体积
为原来的 1000 倍. (3)火星直径约为地球的一半,则地球表面积约为火星 的 4 倍. (4) 木星的表面积约是地球表面积的 120 倍,则它的体

积约为地球的

倍.

本节学习重点:球的表面积与体积计算. 本节学习难点:球与多面体、旋转体的组合体.

1.球是由半圆绕着它的直径旋转来定义的.要注意球
与球面的区别,球是一个封闭的几何体,包括球面及球面 所围成的空间;而球面仅指球的表面.

*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球,截面是圆面; (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面; (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r,有下面的关系:r= R2-d2. 3.球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆, 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆.

[ 例 1] ________.
[解析]

一个球的体积为 36πcm3 ,则此球的表面积为

4 3 由3πR =36π 得,R=3,

∴S 表=4πR2=36πcm2.故填 36πcm2.

两个球的半径相差 1,表面积之差为28π,则它们的体
积和为________.
[答案] 364π 3 设大、小两球半径分别为 R、r,则
? ?R=4 ,∴? ? ?r=3

[解析]

? ?R-r=1 ? 2 2 ? 4π R - 4π r =28π ?



4 3 4 3 364π ∴体积和为 πR + πr = . 3 3 3

[例2]

一圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,

则球的表面积为________. [答案] 100π

[解析] 如图,由条件知,O1A=3,OO1=4, ∴OA=5,∴球的表面积为100π.

[例3]

正方体的全面积是 a2,它的顶点都在一个球面 (
πa2 B. 2 D.3πa2

上,这个球的表面积是
πa2 A. 3 C.2πa2

)

[解析]

正方体内接于球,则由球及正方体都是中心

对称图形知,它们的中心重合.可见,正方体的对角线是 球的直径.设球的半径是 r,则正方体的对角线长是 2r. a2 依题意,2r= 3· 6 , 1 2 即 r =8a .
2 2 1 π a ∴S 球=4πr2=4π·8a2= 2 .

∴应选 B.

长方体的三条棱长为a、b、c,它的顶点都在一个球的
球面上,则这个球的表面积为________. [答案] π(a2+b2+c2)
[解析] 长方体的对角线为球的直径,因此

2R= a2+b2+c2 ∴S=4πR2=π(2R)2=π(a2+b2+c2).

[例 4]

用与球心距离为 1 的

平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为 ( 32π A. 3 C.8 2π B. 8π 3 8 D. 2π 3 )

[解析]

如图截面圆的圆心为 O1,半径为 O1A,

由题设条件知,OO1=1,O1A=1,∴OA= 2, 4 8 2π 3 ∴球的体积 V=3π·OA = 3 ,故选 D.

球的表面积为400π,一个截面的面积为64π,则截面到
球心的距离为________. [答案] 6
[解析] 由条件知球半径 R=10,截面圆的半径 r=

8,∴球心到截面的距离 h= R2-r2=6.

[ 例 5]

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1

所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长 方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正 (主)视图 和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的表面积.

[解析] (1)侧视图同正视图,如图所示.

1 (2)S 棱锥侧=2×40× 602+202×4=1600 10, S 棱柱侧=40×4×20=3200, S 棱柱底=40×40=1600, ∴S 表=4800+1600 10(cm2).

一个几何体的三视图如图 ( 单位: cm) ,则该几何体的
体积为________.

[答案] 108πcm2
[ 解析 ] 由三视图可知,该几何体的上部是一个圆

锥,下部是一个与圆锥同底的圆柱,底半径 3cm,柱高 10cm,锥高 6cm,∴该几何体的体积 1 V=π×3 ×10+3π×32×6=108πcm2.
2

[例6]

如图,半圆O 的直径为直角梯形垂直于底的腰,

且切AB、BC、CD于A、E、D点.将其绕AD所在直线旋转

一周,得到一个球与一个圆台.若球的表面积与圆台侧面
积的比为3 ∶ 4,求球的体积与圆台体积之比.

[ 分析 ]

本题求解需要的量比较多,可采用设而不求

的方法,即先设出有关量,通过已知条件建立关系,作比

约去参数即得结果.
[解析] 设球半径为 R,则圆台高 h=2R,设圆台母

线长为 l,上、下底面半径分别为 r1、r2, ∵OD⊥CD,OE⊥BC,OA⊥AB,且 OD=OE=OA, ∴∠DCO=∠ECO,∠EBO=∠ABO, 1 ∴∠ECO+∠EBO=2(∠EOD+∠EBA)

1 = ×180° =90° ,∴∠BOC 为直角. 2 在 Rt△BOC 中,r1r2=R2,r1+r2=l① 4πR2 3 依题意得, = ② πl(r1+r2) 4 4R2 3 将①代入②得, = ? (r1+r2)2 4 16 2 (r1+r2) = R ③ 3
2

4 3 这时球体积与圆台体积分别为 V 球=3πR , 1 2 V 台= πh(r2 1+r1r2+r2) 3 1 = π·2R[(r1+r2)2-r1r2]④ 3
?16 ? 26 π 2 2 ? R -R ?= πR3,因 将①、③代入④得,V 台= · 2R· 3 9 ?3 ?

4 3 V球 3πR 6 此 =26 =13. V台 3 π R 9

如图,半圆O的直径为5,在半圆内挖去一个直角三角

形ABC,其中AC= 3,以直径AB 所在直线为轴旋转一周,
则阴影部分所形成的几何体的体积为________.

[解析]

作 CD⊥AB,垂足为 D,在 Rt△ABC 中,AB

12 =5,AC=3,∴CD= ,绕 AB 旋转一周,阴影部分所形 5 成的几何体为一个球中间挖去两个同底的圆锥,其体积 4π π 3 V=V 球-V 锥= · OC - · CD2· (AD+BD) 3 3 4π ?5?3 π ?12?2 337π = 3 ×?2? -3×? 5 ? ×5= 30 . ? ? ? ?

[例7]

已知球O的两个平行截面的面积分别为4π和25π,

两截面距离为3,则该球的体积为________.
[ 错解] 如图,设球半径为 R,OO2=h ,由条件知

O1B=2,O2A=5,根据球的截面性质知,R2=O2A2+OO2 2
2 =O1B2+OO1 ,∴25+h2=4+(h+3)2,解之得 h=2,∴R

4 3 116 29 = 29,∴球的体积 V=3πR = 3 π.

[ 辨析 ]

错解忽略了这两个截面可以在球心的同侧,

也可以在球心的异侧,只解答了一种情况.
[正解] 当截面在球心同侧时,解法同上;当截面在

2 2 球心异侧时得,R2=O2A2+OO2 = O B + OO 2 1 1,

∴25+h2=4+(3-h)2, ∵h>0,∴此时无解. 116 29 综上知,球的体积为 π. 3

[ 点评 ]

球心在截面异侧时无解,但不能不讨论,若

所给的两截面距离变了,可能就有解.

一、选择题 1.长方体 A1B1C1D1-ABCD 中,已知 AB=5,BC=4, BB1=3,从 A 点出发,沿着表面运动到 C1,最短路线的长是 ( A. 90 C. 80 B. 74 D. 50 )

[答案] B [解析] 侧面展开

二、填空题 2 .体积为 8 的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积

相等,则球O的体积等于________.

[解析]
2

设球半径为 R,依题意有 6( 8)2=4πR2,则

3

6 4 3 4 6 3 8 6π R = ,所以球的体积为 πR = π( ) = . π 3 3 π2 π

3.将长AB=4π,宽BC=π的矩形ABCD,卷成圆柱的

侧面,则所得圆柱的容积最大值为________.
[答案] 4π2 [ 解析 ] 本题是卷起问题,考察圆柱侧面展开与体积, 可以 AB 为底面周长, BC 为高卷起,也可以 BC 为底面周长, AB为高卷起,最大值为4π2.

4.轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球,则球的体积与圆柱体积的比为

________.
[答案] 2 3

[解析]

由条件知,圆柱的底面直径、高和球的直径相

4 3 V球 3πR 2 等,设球半径为 R,则 = 2 = . 2R 3 V柱 π·R ·


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