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【高考调研】2015高中数学(人教A版)选修2-2:第三章 数系的扩充与复数的引入 单元测试题


第三章

单元测试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 a,b∈R,则 a=b 是(a-b)+(a+b)i 为纯虚数的( A.充要条件 C.必要不充分条件 答案 C ) B.-2-4i D.2-4i B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

10i 2. =( 2-i A.-2+4i C.2+4i 答案 A

1 3 3.若 w=-2+ 2 i,则 w4+w2+1 等于( A.1 C.3+ 3i 答案 B B.0 D.-1+ 3i

)

1 3 4.在(2+ 2 i)12 的展开式中,所有奇数项的和等于( A.-1 C.0 答案 B =2+i,则复数 z=( 1+i z ) B.1-3i D.3-i B.1 D.i

)

5.已知

A.-1+3i C.3+i

答案 解析 =1-3i.

B ∵ z 1+i =2+ i,∴ z = (2+ i)(1+i)= 2+3i+i2=1+ 3i.∴ z

? 2i ? 6.复数?1+i?2 等于( ? ?

) B.-4i D.-2i

A.4i C.2i 答案 C ?2+2i?4 等于( ?1- 3i?5 )

7.复数

A.1+ 3i C.1- 3i 答案 B )

B.-1+ 3i D.-1- 3i

2 8.复数 1+i3=( A.1+2i C.-1 答案 A

B.1-2i D.3

2 2 解析 1+i3=1+ =1+2i,故选 A. -i 9.在复数集 C 内分解因式 2x2-4x+5 等于( A.(x-1+ 3i)(x-1- 3i) B.( 2x- 2+ 3i)( 2x- 2- 3i) C.2(x-1+i)(x-1-i) D.2(x+1+i)(x+1-i) 答案 B )

10.复数 i3(1+i)2=( A.2 C.2i 答案 A

) B.-2 D.-2i

解析 由题意得 i3(1+i)2=-i· 2i=-2i2=2,选 A. 1 11.复数 z= 的共轭复数是( 1-i 1 1 A.2+2i C.1-i 答案 B ) 1 1 B.2-2i D.1+i

1+i 1 1 1 1 1 解析 z= = =2+2i, z =2-2i,故选 B. 1-i ?1-i??1+i? z2-2z 12.已知复数 z=1-i,则 =( z-1 A.2i C.2 答案 B )

B.-2i D.-2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中横线上) 13.已知复数 z=2+i,则 z4-4z3+6z2-4z-1=________. 答案 解析 -6 z4- 4z3+ 6z2- 4z- 1= (z4- 4z3+ 6z2 - 4z+ 1)- 2=(z- 1)4

-2=(1+i)4-2=[(1+i)2]2-2 =(2i)2-2=-4-2=-6. 14.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=________(n 为正整数). 答案 0

?1-i?3 15.已知 =a+3i,则 a=________. 1+i 答案 -2-3i

16.设 z∈C,z+| z |=2+i,则 z=________. 3 答案 4+i 解析 设 z=a+bi,则| z |= a2+b2. ∴a+bi+ a2+b2=2+i.
2 2 ? ?a+ a +b =2, ∴? ? ?b=1.

?a=3, ∴? 4 ?b=1,

3 ∴z=4+i.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应出写文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)若复数 z=m2+m-2+(2m2-m-3)i(m∈R)的共轭复 数 z 对应的点在第一象限,求实数 m 的集合. 解析 由题意得 z =m2+m-2-(2m2-m-3)i.
?m2+m-2>0, ?m2+m-2>0, ? ? ∴? 即? 2 2 ? ? ?-?2m -m-3?>0, ?2m -m-3<0,

3 解得 1<m<2. 1 3 18.(12 分)计算(2+ 2 i)3. 解析 方法一 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ∵(2+ 2 i)3=(2+ 2 i)2· (2+ 2 i)=(-2+ 2 i)(2

3 3 1 3 1 + 2 i)=( 2 i)2-(2)2=-4-4=-1. 方法二 1 1 3 1 3 3 1 原式=(2)3+3×(2)2× 2 i+3×2×( 2 i)2+( 2 i)3= 8+

3 3 9 3 3 8 i-8- 8 i=-1. 19.(12 分)已知复平面内点 A、B 对应的复数分别是 z1=sin2θ+i, → z2=-cos θ+icos2θ,其中 θ∈(0,2π),设AB对应的复数为 z.
2

(1)求复数 z; 1 (2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y=2x 上,求 θ 的值. 解析 i(2sin2θ). (2)点 P 的坐标为(-1,-2sin2θ). 1 1 由点 P 在直线 y=2x,得-2sin2θ=-2. 1 1 ∴sin2θ=4,∴sinθ=± 2. π 5 7 11 又∵θ∈(0,2π),∴θ=6,6π,6π, 6 π. ?1-i?2+3?1+i? 20.(12 分)已知复数 z= ,若 z2+az+b=1-i, 2-i 试求实数 a、b 的值. 解析 化简得 z=1+i 代入方程,得 a+b+(2+a)i=1-i.
? ?a+b=1, ∴? ? ?2+a=-1, ? ?a=-3, ∴? ? ?b=4.

(1)z = z2 - z1 = - cos2θ - sin2θ + i(cos2θ - 1) = - 1 -

a2+2a-15 21.(12 分)设 z=(a2-a-6)+ i(a∈R),试判断复数 z a2-4 能否为纯虚数?并说明理由. 解析 假设复数 z 能为纯虚数,则 a2-a-6=0, ? ? ?a2+2a-15 ? a2-4 ≠0. ?
? ?a=3或a=-2, ∴? ?a≠-5且a≠3且a≠± 2. ?

∴不存在 a 使复数 z 为纯虚数. 22.(12 分)已知 a∈R,问复数 z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i 所 对应的点在第几象限?复数 z 对应点的轨迹是什么? 解析 由 a2-2a+4=(a-1)2+3≥3, -(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1, 得 z 的实部为正数,z 的虚部为负数. ∴复数 z 对应的点在第四象限.
? ?x=a2-2a+4, 设 z=x+yi(x,y∈R),则? ?y=-?a2-2a+2?. ?

消去 a2-2a,得 y=-x+2(x≥3). ∴复数 z 对应点的轨迹是一条射线, 其方程为 y=-x+2(x≥3).


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