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2005年杏坛中学高中数学竞赛训练题及答案


2005 年杏坛中学高中数学竞赛训练题

一、选择题(仅有一个选择支正确) 1.已知全集 U ? N , A ? x x ? 2n, n ? N? , B ? x x ? 4n, n ? N?,则( (A) U ? A ? B (B)

?

?



U ? CU ( A ?

B)

(C)

U ? A ? CU B

(D)

U ? CU A ? CU B


2.已知 a , b 是正实数,则不等式组 ? (A)充分不必要条件 (C) 充分且必要条件

?x ? y ? a ? b ?x ? a 是不等式组 ? 成立的( ? xy ? ab ?y ? b

(B) 必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 )

3.等差数列 ?an ? 中, S9 ? 18, an?4 ? 30(n ? 9), S n ? 336 , 则 n 的值是( (A)8 (B) 9 (C) 16 (D) 21

1 2 为纯虚数,则 z 的值为( ) 4.已知复数 w ? 1 z? 2 1 1 (A) 1 (B) (C) (D) 不能确定 2 3 z?
5.边长为 5 的菱形,若它的一条对角线的长不大于 6,则这个菱形对角线长度之和的最大 值是( ) (A) 16 (B)

10 2

(C)

14

(D)

5 6
5 4 x ? 的距离中的最小值是( 3 5
1 30
) )

6.平面上的整点(横、纵坐标都是整数)到直线 y ?

(A)

34 170
3x

(B)
x? y x?2

34 85

(C)

3 34 170

(D)

7.若 2

,2

,2

成等比数列,则点 ( x, y ) 在平面直角坐标系内的轨迹是( 一段椭圆弧
2

(A) 一段圆弧

(B)

(C)

双曲线的一部分

(D)

抛物线的一部分

8.若 ?ABC 的三边 a, b, c 满足: a ? a ? 2b ? 2c ? 0, a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0, 则它的最大内 角的度数是( (A) ) (B)

1500

1200

(C)

900

(D)

600

1 3 ), B (a ? 1, a ? ) ,动点 P 到点 M (1,0) 比到 y 轴距离大 1,其轨迹为 2 2 曲线 C ,且线段 AB 与曲线 C 存在公共点,则 a 得取值范围是( )
9.已知点 A(a, a ? (A) ?? ?,??? (B)

3 ?3 ? ? 2, ? 2 ? ? 2 ?2 ?

(C) ? ? 2 ,

?1 ?2

3 3 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 2, ? 2 ? 2 2 ? ?2 ? ? ?1 3 ?

(D) ?? , ? 2 ? ? ? ? 2 , ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ?2 ? 10.空间有 9 个点,其中任四点不共面,在这 9 个点间连接若干条线段,构成三角形 m 个。 若图中不存在四面体,则 m 的最大值是( ) (A) 7 (B) 9 (C) 20 (D) 不少于 27

? 3 3

二、填空题 11. 若函数 f ( x) 与 g ( x) ? 2 ? x 互为反函数, 则 f ( x ? 3x 2 ) 的单调递增区间是 _________ 。 12.设 an (n ? 2,3,4,?) 是 (3 ? x ) n 的展开式中含 x 项的系数,则 是 _________ 。 13 .已知 a, b, c 是实数且满足 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 1 ,则 a, b, c 三数的和等于
2 2 2 3 3 3

3 2 33 318 的值 ? ??? a 2 a3 a18

_________ 。
14.由红、黄、蓝三套卡片,每套五张,分别标有一个字母 A、B、C、D、E,若从这 15 张卡片中,抽取 5 张,要求字母各不相同且三色齐全,则不同的取法有 _________ 种。 15.某地的汽车牌照全都是由七位数字所组成,每面车牌的最左边的数字不可以是 0,且任 两面车牌上的数都不相同。现只能用 0、1、2、3、5、7、9 等七个不同的钢模来轧制车牌, 制造一个车牌时同一个钢模只能使用一次, 可以把数字 9 的钢模旋转后当成数字 6 来用, 但 6 和 9 不能同时出现。现将符合上述要求的全部车牌依照其数值由小至大排序,因此他们依 序是: 1023567、 1023576、 1023579、 …、 9753210。 那么第 7000 面车牌的号码是 _________ 。 16.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,在正方体的表面上与点 A 相距 一条曲线,该曲线的长度是 _________ 。 17.若 x, y , z 都是正实数,且 x ? y ? z ? 1,则
2 2 2

2 3 的点集为 3

yz xz xy ? ? 的最小值是 _________ 。 x y z

18.设正数列 ?an ? 的前 n 项之和是 bn ,数列 ?bn ? 的前 n 项之积是 cn ,若 bn + cn =1,则数列

?1? ? ? 中最接近 2004 的数是 _________ 。 ? an ?
19. 若0 ? a ?

?? 3n s i ? ,? ? ? , a r c n s i ?6

3

3? s i ? , f ( a, ? ) ? n 2 ?

3

??

4 3a n s i
2

? ? a3

, 则 f (a,? )

的最小值是 _________ 。 20.一个 m 项的正整数数列( x1 , x2 ,?, xm ) ,如果满足以下两个条件: (i)对于任意的正整数 1 ? i ? m ? 1, xi ? xi ?1 ; (ii)数列中的所有奇数项 x1 , x3 ,? 全是奇数,并且数列中的所有偶数项 x 2 , x 4 ,? 全 是偶数,则称此数列为一个 OE 数列。假如:最大项不大于 4 的 OE 数列只有(1) , (3) , (1,2) , (1,4) , (3,4) , (1,2,3) , (1,2,3,4)等七个,那么最大项不超过 20 的 OE 数列共有 _________ 个。

答案:
一、选择题: 1,C 2, B 二、填空题: (11) ? , ? ?6 3 ? (16) 3, D 4, B 5, C 6, B 7, C 8, B 9, D 10, D

?1 1 ?

(12), 17

(13) 1

(14) 150

(15) 7206351

5 3 ? 6

(17)

3

(18) 1980

(19)

137 24

(20) 17710


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