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2013届武汉市高三2月调考题(文科数学答案)


武汉市 2013 届高中毕业生二月调研测试

数学(文科)试题参考答案及评分细则
武汉市教育科学研究院命制 2013.2.27

一、选择题 1.B 6.D 二、填空题 11.0

2.A 7.A

3.B 8.B 15 13. 4

4.A 9.C

>5.D 10.C

12.6

bs-1 t 14. t-1 =1 bs

15.6

16. (Ⅰ)0.0125; (Ⅱ)72 三、解答题 18. (本小题满分 12 分)

12 36 48 17. (Ⅰ) ; (Ⅱ)( , ) 5 25 25

π 1+cos(2ωx- ) 3 1-cos2ωx 1 π 解: (Ⅰ)f(x)= - = [cos(2ωx- )+cos2ωx] 2 2 2 3 1 1 3 1 3 3 = [( cos2ωx+ sin2ωx)+cos2ωx]= ( sin2ωx+ cos2ωx) 2 2 2 2 2 2 = 31 3 3 π ( sin2ωx+ cos2ωx)= sin(2ωx+ ). 2 2 2 2 3

2π 由题意可知,f(x)的最小正周期 T=π,∴ =π, |2ω| 又∵ω>0,∴ω=1,∴f(x)= 3 π sin(2x+ ). 2 3

π 3 π π 3 π 3 ∴f( )= sin(2× + )= sin = .……………………………………6 分 12 2 12 3 2 2 2 7π (Ⅱ)∵对?x∈[- ,0],都有 f(x)≤|m-1|, 12 ∴|m-1|≥f(x)max. 7π 5π π π ∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ , 12 6 3 3 π π 3 π 3 ∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)max= sin = . 3 3 2 3 4
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3 1 7 ∴|m-1|≥ ,解得 m≤ ,或 m≥ . 4 4 4 1 7 故 m 的取值范围为(-∞, ]∪[ ,+∞).…………………………………12 分 4 4 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AO,BD⊥CO. 折起后仍有 BD⊥AO,BD⊥CO, ∴BD⊥平面 AOC, ∵BD ?平面 BCD, ∴平面 AOC⊥平面 BCD.………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 BD⊥平面 AOC, A 1 6 ∴VA-BCD= S△AOC·BD,又 VA-BCD= , 3 3 1 1 6 ∴ · OA·OC·sin∠AOC·BD= , 3 2 3 1 1 6 即 · · 2· 2·sin∠AOC·2 2= , 3 2 3 ∴sin∠AOC= 3 , 2 B O D

∵∠AOC 是钝角,∴∠AOC=120° . 在△AOC 中,由余弦定理,得 AC2=OA2+OC2-2·OA·OC·cos∠AOC =( 2)2+( 2)2-2· 2· 2·cos120° =6,

C

∴AC= 6. ………………………………………………………………………12 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵4Sn=a2+2an+1, ① n 2 ∴4a1=a1+2a1+1,解得 a1=1. 又 4Sn-1=a2 +2an-1+1(n≥2) , ② n-1 2 2 由①-②,得 4an=(an-an-1)+2(an-an-1), 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. ∵an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2) . ∴{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴an=2n-1. 又∵a1=1,a2=3,a5=9 是等比数列{bn}的前三项, - ∴bn=3n 1.………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 - Tn=(2n-1)×30+(2n-3)×31+(2n-5)×32+…+1×3n 1, ③ 1 2 n-1 n ∴3Tn= (2n-1)×3 +(2n-3)×3 +…+3×3 +1×3 . ④
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由④-③,得 - 2Tn=-(2n-1)+2×(31+32+…+3n 1)+3n 6×(1-3n 1) n =-(2n-1)+ +3 1-3 =2×3n-(2n+1)-1 =2bn+1-an+1-1, ∴2Tn+1=2bn+1-an+1,n∈N*.………………………………………………13 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知,g(x)=(x2+1)lnx-2x+2, x2+1 1 求导数,得 g ′(x)=2xlnx+ -2=2xlnx+x+ -2, x x 1 ∵x≥1,∴2xlnx≥0,x+ -2≥0, x ∴g ′(x)≥0, ∴g(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴g(x)min=g(1)=0.………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x>1 时,g(x)>0, 2(x-1) ∴(x2+1)lnx>2(x-1),即 lnx> 2 , x +1 b 2( -1) a 2a(b-a) b b 令 x= ,则 ln > ,即 lnb-lna> 2 , a a b2 a +b2 ( ) +1 a ∴原命题得证.…………………………………………………………………14 分 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设 A、B、M 的坐标分别为(x0,0)、(0,y0)、(x,y),则 x2+y2=(m+1)2, ① 0 0 → → 由AM=mMB,得(x-x0,y)=m(-x,y0-y),


? ?x-x0=-mx, ? ? ? ∴ ∴? m+1 ? ?y=m(y0-y). y. ?y0= ?
m 将②代入①,得 m+1 2 2 (m+1)2x2+( ) y =(m+1)2, m

x0=(m+1)x, ②

y2 化简即得点 M 的轨迹 Γ 的方程为 x2+ 2=1(m>0) . m 当 0<m<1 时,轨迹 Γ 是焦点在 x 轴上的椭圆;
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当 m=1 时,轨迹 Γ 是以原点为圆心,半径为 1 的圆; 当 m>1 时,轨迹 Γ 是焦点在 y 轴上的椭圆.…………………………………6 分 1 (Ⅱ)依题意,设直线 CD 的方程为 x=ty+ , 2

?x=ty+2, 由? y ?x +m =1.
1
2 2 2

3 消去 x 并化简整理,得(m2t2+1)y2+m2ty- m2=0, 4

△=m4t2+3m2(m2t2+1)>0, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 m2t 3m2 y1+y2=- 2 2 ,y1y2=- . m t +1 4(m2t2+1) ③

假设在 x 轴上存在定点 P(a,0),使 PQ 平分∠CPD, 则直线 PC、PD 的倾斜角互补, y1 y2 ∴kPC+kPD=0,即 + =0, x1-a x2-a 1 1 y1 y2 ∵x1=ty1+ ,x2=ty2+ ,∴ + =0, 2 2 1 1 ty1+ -a ty2+ -a 2 2 化简,得 4ty1y2+(1-2a)( y1+y2)=0. 将③代入④,得 m2t(1-2a) 3m2t - 22 - 22 =0,即-2m2t(2-a)=0, m t +1 m t +1 ∵m>0,∴t(2-a)=0, ∵上式对?t∈R 都成立,∴a=2. 故在 x 轴上存在定点 P(2,0),使 PQ 平分∠CPD.…………………………14 分 ④

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