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91版概率作业6详解


概率论与数理统计 作业
第6章
一 填空题 1. 设总体 X

学号__________________姓名________________

样本及抽样分布(作业)

~ N (? ,? 2 ), ,其中 ? 2 未知, ? 已知,设 X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个样

r />2

本,作样本函数如下:

1 n 1) ?( Xi ? ?) , n i ?1

2)
2

?(
i ?1 n ?1

n

Xi ? ?

2

?

) ,

1 n 3) ?(X i ? X ) n i ?1
2

2

1 n 4) ?(Xi ? X ) , n ? 1 i ?1

1 ( X i ?1 ? X i ) 5) ? i ?1 2( n ? 1)

这些样本函数中,是统计量的有____1) 3) 4) 5)_______ 解:由统计量的定义 1) 3) 4) 5)不含有未知参数. 2.若 X,Y 是随机变量,X~N(0,1),

Y ~ ? 2 (n) ,且 X 与 Y 相互独立,

T?

解: 有 t 分布的性质 P{T ? ?t? (n)} ? 1 ? P{T ? ?t? (n)} ? 1 ? P{T ? t? (n)} ? 1 ? ? 3. 若随机变量 X 和 Y 相互独立,且都服从 N (0,3 为来自总体 X 和 Y 的简单随机样本,则统计量 U 由度为
2

X ~ t (n), P{T ? t? (n)} ? ? , 则 P{T ? ?t? (n)} ? 1 ? ? Y n

?

) ,而 X 1 , X 2 ,?, X 9 和 Y1 , Y2 ,?, Y9 分别 X 1 ? X 2 ? ....X 9
Y12 ? Y22 ? .... ? Y92
服从

t(9)

分布,自

9
2

解: 由于 X 1 ? X 2 ? ? ? X 9 ~ N (0,9 ),

X1 ? X 2 ? ? ? X 9 ~ N (0,1) 9

Yi 1 ~ N (0,1) i ? 1,2,...,9 , (Y12 ? Y22 ? ?Y92 ) ~ ? 2 (9) 9 3 1 ( X 1 ? X 2 ? ....X 9 ) X 1 ? X 2 ? ....X 9 9 ? ~ t (9) 由 t 分布的定义 U ? 1 Y12 ? Y22 ? .... ? Y92 2 2 2 (Y1 ? Y2 ? .... ? Y9 ) 9?9
二 选择题 1.在下列结果中不正确的是[

C

]
2

? Y 2 ~ ? 2 (2) ; 2 2 2 (B) 若 X ~ ? (10) , X ? Y ~ ? (15) , 且 X 与 Y 相互独立,则 Y ~ ? (5)
(A) 若 X,Y 都服从标准正态分布, 且 X 与 Y 相互独立,则 X (C) 设

X 1 , X 2 ,?, X n 是来自于总体 X ~ N (? ,? 2 ) 样本, X 是 X 1 , X 2 ,?, X n 的样本
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概率论与数理统计 作业
均值,则 (D)

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? 2 设 X 1 , X 2 ,?, X n 与 Y1 , Y2 ,?, Yn 都是来自于总体 X ~ N (? ,? ) 的样本,并且相互
i ?1 2

?

n

( X i ? X )2

~ ? 2 ( n)

? ( X i ? X )2
独立, X 与 Y 分别是两个样本的样本均值,则
i ?1 n

n

? (Yi ? Y )
i ?1

~ F (n ? 1, n ? 1)

2

解:由 ? 2 分布的定义及可加性知 A,B 正确, 又

? (X i ? X )2
i ?1

n

?

2

~ ? 2 (n ? 1),

? (Y
i ?1

n

i

? Y )2
2

?
? X )2

~ ? 2 (n ? 1), 由 F 分布的定义

?(X
i ?1 n

n

i

? X )2 ? ?Y)
2

1

?

2

?(X
i ?1 n

n

i

? 2 i ?1 n ( X i ? X )2 C 错是由于 ? ~ ? 2 (n ? 1) 2 ? i ?1 2 2.对于给定的正数 ? , 0 ? ? ? 1 ,设 z? , ?? (n), t? (n), F? (n1 , n2 ) 分别是
i ?1 i i

? (Y

1

? (Y

~ F (n ? 1, n ? 1) 故 D 正确 ?Y)
2

N (0,1), ? 2 (n),t (n), F (n1 , n2 ) 分布的上 ? 分位点,则下列的结论中不正确的是[

B

]

(A) (C)

z1?? (n) ? ? z? (n) t1?? (n) ? ?t? (n)

(B)

?

2 1??

(n) ? ??

2

? (n)

(D) F1?? (n1 , n2 ) ?

解: 由 F 分布的性质 D 正确;又由高斯分布和 t 分布的上 ? 分位点的定义及图形的对称性知 A,C 正确,而 ? 2 (n) 图形不具有对称性故 B 错. 3.对于给定的正数 ? 是[

1 F? (n2 , n1 )

(0 ? ? ? 1),设 z? 是标准正态分布的上 ? 分位点,则下面的结论中正确的
(B) (D)

D ] (A) P{Z ? z? } ? 1 ? ?
(C)

P{| Z |? z? } ? ?
P{| Z |? z? } ? ?
2

P{Z ? z? } ? 1 ? ?
2

2

2

解: 由 z? 标准正态分布的上 ? 分位点的性质知 P( Z ? Z ? ) ?

?
2

, P{Z ? z ? } ? 1 ?
2

?
2

,

P{| Z |? z ? } ? 1 ? ? , P{| Z |? z? } ? ?
2

2

2

所以 A,B,C 都错,D 正确.
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三、计算题 1. 设 X 1 , X 2 , ? , X 10 是来自于总体 X~N(9,40)的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大 于 1 的概率 解: X ~ N ?9,40 ?

40 X ?9 ), 所以 Y ? ~ N ?0,1? 10 2 ? X ? 9 1? 1? 1? 1? ? ? ? P{ X ? 9 ? 1} ? P? ? ? ? P ? Y ? ? ? P?Y ? ? ? P ?Y ? ? ? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? 2 N ? 10, X ~ N (9,

? 1? 1 ?? ? ? ? ? 2P?Y ? ? ? 2?1 ? P?Y ? ? ? ? 2?1 ? ??0.5?? ? 2 ? ?1 ? 0.6915 ? 0.6170 ? 2? 2 ?? ? ? ? ?
2 2.设 X 1 , X 2 , X 3 是来自于总体 N(0,4)的一个样本,当 a,b 为何值时, Y ? a(4 X1 ? 3X 2 ) 2 ? bX 3 服从 ? 2 分布,并求其自由度.

解:依题意 X 1 , X 2 , X 3 是独立同分布, E?4 X 1 ? 3 X 2 ? ? 0

D?4 X 1 ? 3X 2 ? ? 4 2 D? X 1 ? ? 32 D? X 2 ? ? 16? 4 ? 9 ? 4 ? 100 X3 4 X 1 ? 3X 2 ~ N ?0,1?, ~ N ?0,1? E? X 3 ? ? 0, D? X 3 ? ? 4 10 2 2 2 X3 4 X1 ? 3X 2 ? 4 x1 ? 3x2 ? ? X 3 ? 与 相互独立,于是: ? ? ~ ? 2 ?2? ? ?? 10 2 10 ? ? 2 ? ? 1 1 , b ? 时,统计量 X 服从 ? 2 分布其自由度为 2. 所以当 a ? 100 4

3 .设总体 X ~ N (? , ? 2 ) , X 1 , X 2 ,?, X 16 是来自于总体 X 的一个样本,

1 16 求概率 P{ ? ? ( X i ? ? ) 2 ? 2? 2 } 是多少? 2 16 i ?1
解:假若 X 1 , X 2 ,?, X n 是来自于总体 X ~ N (? , ? 2 ) 的一个样本,则:

?2

?? 2 ? 1 16 2 P? ? ? ? X i ? ? ? ? 2? 2 ? ? ?2 i ?1 ? 2 16 i ?1 ? 2 2 2 16 16 ? ? ? ? ? ? ?X ? ? ? ? ? ? ?X ? ? ? ? ? 16 ? X ? ? ? ? ? P ?8 ? ? i 2 ? 32? ? P ?? i 2 ? 32? ? P ?? i 2 ? 8? ? ? ? ? ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? I ?1 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 16 ? X ? ? ? ? ? 16 ? X ? ? ? ? ? P ?? i 2 ? 8? ? P ?? i 2 ? 32? ? ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? ? ? ?
16

( X i ? ?)2

~ ? 2 ?16?

经查表得: P ?

?? 2 ? 1 16 2 ? ? ? X i ? ? ? ? 2? 2 ? ? 0.95 ? 0.01 ? 0.94 ? 2 16 i ?1 ?
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4.设总体服从 X ~ N (? , ? 2 ) ,由总体 X 得到容量为 17 的样本 X 1 , X 2 ,?, X 17 ,

1 17 1 17 2 令X ? ? X i S17 ? 17 ? ( X i ? X ) 2 试求常数 k,使 P{X ? ? ? kS17} ? 0.95 17 i ?1 i ?1
解:由于

X ?? X ?? 服从自由度为 n ? 1 ? 16 的 t 分布,而 ? Sn Sn n?1 16

? ? ?X ? ? ? ? ? P ?X ? ? ? kS17 ? ? P ? ? 4k ? ? 0.95 ? S 17 ? ? 16 ? ? ? 查 t 分布临界值表,得 4k ? ?1.7459 即: k ? ?0.4365
四、 若随机变量 X 服从 F (n1 , n2 ) 的分布

1 服从 F (n2 , n1 ) 分布 X 1 (2) 并由此证明 F1?? (n1 , n2 ) ? F? (n2 , n1 )
(1) 证明: Y

?

U
证明: (1)由于 X ~ F (n1 , n2 ) , 令 X ?

n1 n2

V

其中 U ~ ? (n1 ) , V ~ ? (n2 )
2 2

V 1 n2 则Y ? . 由 F 分布的定义可知 Y ~ F (n2 , n1 ) ? X U n1 (2) 若 Y ~ F (n1 , n2 ) , 由 F 分布的定义可知 1 1 } 1 ? ? ? P{F ? F1?? (n1 , n2 ) ? P{ ? F F1?? (n1 , n2 ) 1 1 1 1 ? 1? P { ? } ?P {? ? 1 } F F1?? (n 1 ,n 2 ) F F ?? n n, 2 ) 1 ( 1 1 1 }?? 于是 P{ ? (a) F F1?? (n1 , n2 ) 1 1 ~ F (n2 , n1 ) , 知 P{ ? F? (n2 , n1 )} ? ? 由(1)可知, (b) Y F

第6章

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则由(a), (b)两式得 即 F1?? (n1 , n2 ) ?

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F? (n2 , n1 ) ?

1 F1?? (n1 , n2 )

1 F? (n2 , n1 )

第6章

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