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数学(文科)卷·2015届福建省泉州第一中学高三上学期期中考试(2014.11)


泉州一中 2014—2015 学年度第一学期期中考试高三数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 ...................... 要求的 , 卷 相应位置. ... .把答案填在答题 ....... . ..... 1. 已知全集 I ? {1,2,3,4,5,6} ,集合

A ? {2,3,5,6} , B ? {1,3} ,则(?IA)∪B 为( A.{3}
x



B.{1,3} )
x

C.{3,4}

D.{1,3,4}

2. 命题“ ?x ? R, e ? x ”的否定是( A. ?x ? R, e ? x
x

B. ?x ? R, e ? x

C. ?x ? R, e ? x
x

D. ?x ? R, e ? x
x

[]

?2 x ? y ? 0 ? 3. 若点 P ? x, y ? 满足线性约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则z ? 4 x ? y 的最大值为( ?y ? 0 ?
A.2 B.3 C. 4 B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? D.若 m // ? , n // ? ,则 m // n D.5 4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m // ? C.若 m ? ? , n // m ,则 n ? ?





? x 2 ? 1, x ? 1 5. 若函数 f ? x ? ? ? , 则 f f ?e ? ? ( ?ln x, x ? 1

?

?

) (其中 e 为自然对数的底数) C. e D.5

A.1

B.2

6.设向量 a = (1, x) , b = (2,1 ? x) ,则“ x ? ?1 ”是“ a ⊥ b ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?



7. 若命题 p : ?? ? R , cos(? ? ? ) ? cos ? ;命题 q : ? x ? R , x 2 ? 1 ? 0 , 则下面结论正确的是( A. p 是假命题
?

) C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题 )

B. q 是真命题

2 2 8.已知直线 y ? k ( x ? 2) 与圆 o : x ? y ? 2 交于 A 、 B 两点,若 AB ? 2, 则实数 k 的值为(

A. ?

3 3

B. ?

2 2

C. ? 2

D. ? 3

π 9.将函数 y=sin(2x+φ )的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ 的一个可能取 8 值为( π A. - 4 ) B. 0 π C. 4 3π D. 4

10. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足条件;①对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ;②对任意的

第 1 页 共 10 页

x1 , x2 ? ? 0, 2? 且x1 ? x2,都有f ? x1 ? ? f ? x2 ? ;③对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 2 ? ? f ? 2 ? x ? ,则下列
结论正确的是( ) B. f ? 7 ? ? f ? 4.5 ? ? f ? 6.5 ? D. f ? 7 ? ? f ? 6.5 ? ? f ? 4.5 ?
2

A. f ? 4.5 ? ? f ? 7 ? ? f ? 6.5 ? C. f ? 4.5 ? ? f ? 6.5 ? ? f ? 7 ?
2

11.如图所示点 F 是抛物线 y ? 8 x 的焦点,点 A 、 B 分别在抛物线 y ? 8 x 及圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 16 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,
2

则 ?FAB 的周长的取值范围是( A.

) C.

? 6,10 ?

B.

?8,12 ?

?6,8?

D. ?8,12?

12. 设函数 f

? x ? 的定义域为 D ,如果 ?x ? D,?y ? D ,使
[Z#X#X#K]

f ? x? ? f ? y? 2
3

? C(C 为常数 )成立,则
x

?1? 称函数 f ? x ? 在 D 上的均值为 C . 给出下列四个函数: ① y ? x ;② y ? ? ? ;③ y ? ln x ; ?2?
④ y ? 2 sin x ? 1 ,则满足在其定义域上均值为 1 的函数的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题 卷 相应位置 . ....... . .... 13.在等差数列 {an }中, a2 ? a8 ? 10, 则S9 的值为_____________. 14.已知向量 a, b 的夹角为

?
4

, a ? (?1,1) , | b |? 2 ,则 | a ? 2b |? ________.

15.一个组合体的三视图如图,则其体积为________________. 16.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右两个焦点,过点 F1 作 a 2 b2

垂直于 x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 A 、B 两点, ?ABF2 是 锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 , 把答案填在答题 卷 ................... ....... . 相应位置 . .... 17.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? a (Ⅰ)写出函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)当 x ? ??

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ,求实数 a 的值. 2 ? 6 3?

第 2 页 共 10 页

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 cos A cos C ? (Ⅱ)若 a ? c ?

1 ? sin A sin C . 2
[学,科,网]

(Ⅰ)求 B 的大小;

3 3 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2

19.(本小题满分12分)

? S 设数列{an } 的前 n 项和为 S n ,点 ? n, n ? n
(Ⅰ)求数列{an } 的通项公式;

? ? ? , n ? N 均在函数 y ? x ? 1 的图象上. ?

(Ⅱ)若{bn } 为正项等比数列,且 b1 ? 1, b1b2 b3 ? 8 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题共 12 分) 如图,PA ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形,PA=AB= 3 ,AD=1,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (Ⅰ)当点 E 为 BC 的中点时, 证明 EF//平面 PAC; (Ⅱ)求三棱锥 E-PAD 的体积; (Ⅲ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE ? AF.

第 3 页 共 10 页

21.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的焦点在 x 轴上,左右顶点分别为 A1 , A ,上顶点为 B ,抛物线 a2 2

C1 , C2 分别以 A 、 B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O , C1 与 C2 相交于直线 y ? 2 x 上一点 P .
(Ⅰ)求椭圆 C 及抛物线 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同的两点 M 、N ,已知点 Q ? 2, 0 , 求 QM ? QN 的最小值.

?

?

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R ) (e=2.718 28??是自然对数的底数). (I) 当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (1I) 判断 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)证明:当 x ? (1,+∞)时,

e

? x x ?1 ? e . x ?1

x

1

第 4 页 共 10 页

泉州一中 2014—2015 学年度第一学期期中考试

高三数学(文科)试卷参考答案与评分标准

解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

??????1 分

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 cos A cos C ? (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ?

1 ? sin A sin C . 2

3 3 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2

第 5 页 共 10 页

解: (Ⅰ)由 cos A cos C ?

1 ? sin A sin C 得: 2

1 cos( A ? C ) ? ? ,???????????????????????????2 分 2 1 ? cos B ? ,又 0 ? B ? ? ???????????????????4 分 2 ?B ?

?

3

?????????????????????????????????6 分

19 .(本小题满分12分)

? S 设数列{an } 的前 n 项和为 S n ,点 ? n, n ? n
(Ⅰ)求数列{an } 的通项公式;
[]

? ? ? , n ? N 均在函数 y ? x ? 1 的图象上. ?

(Ⅱ)若{bn } 为正项等比数列,且 b1 ? 1, b1b2 b3 ? 8 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)依题意得, ,即 .

当 n=1 时,a1=S1=2?????????????????????1 分 当 n≥2 时, 所以 a n ;?????3 分

? 2n ????????????????4 分
3

(Ⅱ)? b1b2 b3 ? b2 ? 8 得到 b2 ? 2 ,又 b1

? 1,? q ? b2 ? 2 ,
b1

? bn ? b1q n?1 ? 2 n?1 ,?????????????8 分
n ?1 , ? an ? b n ? 2n ? 2

第 6 页 共 10 页

T n ? (2 ? 20 ) ? (4 ? 21 ) ? ??? ? (2n ? 2 n ?1 ) ? (2 ? 4 ? ???2n ) ? (20 ? 21 ? ??? ? 2 n ?1 ) ? (2 ? 4 ? ???2n ) ? (20 ? 21 ? ??? ? 2 n ?1 )
? n 2 ? n ? 2n ? 1 ???????????????????????????12 分
20. (本小题共 12 分) 如图,PA ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形,PA=AB= 3 ,AD=1,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (Ⅰ)当点 E 为 BC 的中点时, 证明 EF//平面 PAC; (Ⅱ)求三棱锥 E-PAD 的体积; (Ⅲ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE ? AF. 解(Ⅰ)证明: 连结 AC,EF ∵点 E、F 分别是边 BC、PB 的中点 ∴ ?PBC 中, EF // PC ?????????????2 分 又 EF ? 平面PAC, PC ? 平面PAC ∴当点 E 是 BC 的中点时,EF//平面 PAC ??????3 分 ????4 分

(Ⅱ)∵PA ? 平面 ABCD 且 AC , AB, BC ? 面ABCD ∴ PA ? AC , PA ? AB , PA ? BC ∴ Rt?PAD 中,PA = 3 ,AD=1 ∴ S ?PAD ?

1 3 ? AD ? PA ? 2 2

???6 分

又四边形 ABCD 为矩形 ∴ AD ? AB 又 AD 和 PA 是面 PAD 上两相交直线 ∴ AB ? 平面PAD 又 AD//BC ∴AB 就是三棱锥 E-PAD 的高. ???????????7 分 ∴ V E ? PAD ?

1 1 3 1 . ?????8 分 ? S ?PAD ? AB ? ? ? 3? 3 3 2 2

(Ⅲ)∵ PA ? AB ,PA=AB= 3 ,点 F 是 PB 的中点 ∴等腰 ?PAB 中, AF ? PB ??????????9 分 又 PA ? BC , AB ? BC 且 PA 和 AB 是平面 PAB 上两相交直线 ∴BC ? 平面 PAB 又 AF ? 平面PAB
第 7 页 共 10 页

∴ AF ? BC ???????????????????10 分 又 PB 和 BC 是平面 PBC 上两相交直线 ∴ AF ? 面PBC 又 PE ? 平面PBC ????????????????11 分 ∴ AF ? PE

∴无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE ? AF 成立. ?????????????12 分 21.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的焦点在 x 轴上,左右顶点分别为 A1 , A ,上顶点为 B ,抛物线 C1 , C2 分 a2 2
2 x 上一点 P .

别以 A 、 B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O , C1 与 C2 相交于直线 y ? (Ⅰ)求椭圆 C 及抛物线 C1 , C2 的方程;

(Ⅱ)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同的两点 M 、N ,已知点 Q ? 2, 0 , 求 QM ? QN 的最小值. 解: (Ⅰ)由题意可得 A(a,0) ,B(0, 2 ) , 故抛物线 C1 的方程可设为 y ? 4ax ,C2 的方程为
2

?

?

x 2 ? 4 2 y ????????1 分

? y 2 ? 4ax ? ? 由 ?x 2 ? 4 2 y ? ? y ? 2x ?
∴ 椭 圆 C:

得 a ? 4, P (8,8 2 ) ????3 分

x2 y2 ? ?1 16 2







线

C1



y 2 ? 16 x,





线

C2



x 2 ? 4 2 y ???????????????????? 5 分;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 OP 的斜率为 2 ,所以直线 l 的斜率为 ?

2 2 ,设直线 l 方程为 y ? ? x?b 2 2

? x2 y2 ? ?1 ? ? 16 2 由? ,整理得 5 x 2 ? 8 2bx ? (8b 2 ? 16) ? 0 ?y ? ? 2 x ? b ? 2 ?
设 M( x1 , y1 ) 、N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8 2 8b 2 ? 16 ????????????7 分 b, x1 x 2 ? 5 5

第 8 页 共 10 页

因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? ? 128b 2 ? 20(8b 2 ? 16) ? 0 解得 ? 10 ? b ? 10 ????????????????????8 分

y1 y 2 ? (?

2 2 1 2b b2 ? 8 , x1 ? b)(? x 2 ? b) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? b 2 ? 2 2 2 2 5

∵ QM ? ( x1 ? ∴

2 , y1 ), QN ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) ,
9b 2 ? 16b ? 14 ?????? 5

QM ? QN ? ( x1 ? 2 , y1 )( x 2 ? 2 , y 2 ) ? x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? y1 y 2 ? 2 ?
??????????????????????????????10 分

8 时, QM ? QN 取得最小值, 9 9 8 16 8 14 38 其最小值等于 ? (? ) 2 ? (? ) ? ? ? ???????????????12 分 5 9 5 9 5 9
∵ ? 10 ? b ? 10 ,所以当 b ? ? 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R ) (e=2.718 28??是自然对数的底数). (I) 当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (1I) 判断 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)证明:当 x ? (1,+∞)时,

x e x ?1

?x

1 x ?1

?e.

解:(I)当 a ? 1 时, f (x ) ? ln x ? x , f (1) ? ?1 ,∴切点为 ?1, ?1? ,

1 ? 1 , f ' (1) ? 0 ,切线方程为 y ? ?1 ;????????????3 分 x 1 ? ax (1I) f ' (x ) ? ,????????????????????????4 分 x ∵x ? 0 f ' (x ) ?
∴当 a ? 0 时, f (x ) ? 0 ,∴ f ( x) 的增区间为 (0, ??) ,无减区间;???????6 分
'

当 a ? 0 时, ?

?f ' ( x ) ? 0 1 ?f ' ( x ) ? 0 1 ? 0 ? x ? ,? ?x ? , a ? x ?0 a ? x ?0
? ?
1 1? ? ,减区间为 ( , ??) ;???????9 分 a a?

∴ f ( x) 的增区间为 ? 0,

(Ⅲ) 当 x ? (1,+∞)时,要证明:

e

? x x ?1 ? e . x ?1

x

1

第 9 页 共 10 页

即证 x 即证

1 ?1 x ?1

? e x ,即证 x x ?1 ? e x ,即证 ln x x ?1 ? ln e x

x

x

x ln x ? x , x ?1 ∵x ?1 即证 ln x ? x ? 1 ,??????????????????????????? 11 分
令 g (x ) ? ln x ? x ? 1 ∵ g ' (x ) ?

1? x ? 0, x

∴ g (x ) 在(1,+∞)上单调递减, ∴ g (x ) ? g (1) ? 0 , 即 ln x ? x ? 1 , ∴当 x ? (1,+∞)时,

x e x ?1

?x

1 x ?1

? e 得证. ???????????????14 分

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