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山西省长治二中2013届高三上学期第一次练考数学(理)试题


山 西 省 长 治 二 中 2013 届 高 三 年 级 第 一 次 练 考 理科数学试题
(考试时间为 120 分钟,共 150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1 ? ? 1. 已知集合 A ? ? y | y ? x , x ? R ? , B ? ?x | y

? log2 ( x ? 1), 2 ? ?

x ? R? ,则 A ?B ?
D.

A.

? ?1, ???

B. ?0,???

C. ?1, ?? ?

? 2,???

2. 设 a ? A. 2

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则 a =
B.

? 2

C. 3

D.

?

3. 已知函数 y ? loga ( x ? 1) ? 3(a ? 0且a ? 1)的图象恒过点 ,若角? 的终边经过点 P, P 则 sin ? ? sin 2? 的值等于
2

A.

3 13

B.

5 13

C. ?

3 13

D. ?

5 13

4. 关于函数 f (x) ? 2 cos x(cosx ? 3 sin x) ? 1,以下结论正确的是

( A. f (x) 的最小正周期是 ? ,在区间 ?

, ) 是增函数 12 12

? 5?

B. f (x) 的最小正周期是 2? ,最大值是 2 C. f (x) 的最小正周期是 ? ,最大值是 3

( D. f (x) 的最小正周期是 ? ,在区间 ?
x

,) 是增函数 12 6
)

? ?

?a ?x≥1? ? 5.若 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ? ??4-2?x+2?x<1?
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

6 . 设 函 数 f ( x) ? 2 sin(?x ?

?
6

)(? ? 0) 对 任 意 x ? R 有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 且 点 A

( x1 , f ( x1 ) )与点 B( x2 , f ( x2 )) 之间的距离为 20 则 ? 的最小值为 A.

? 2

B.

?

C. 2?

D.

? 4

π? ? 7.要得到函数 y=sin 2x+3 的图象,可将函数 y=cos2x 的图象 ? ? π A.向右平移 个单位长度 6 C.向右平移 π B.向左平移 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 3

? 个单位长度 12

8. 已知对数函数 f ( x) ? loga x 是增函数,则函数 f (| x | ?1) 的图象大致是

A

B

C

D

9. 甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4 km/h 的速度向正北方向航行,AB=10 km,同时乙船自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60° 的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的 时间为 A. 5 h 14 B. 15 h 7 C.2 h D.2.15 h

10. 已 知 钝 角 三 角 形 ABC 的 最 长 边 的 长 为 2 , 其 余 两 边 长 为 a, b 则 集 合

P ? {( x, y) | x ? a, y ? b} 所表示的平面图形的面积是
A. 2 B .4 C. ? ? 2 D. 4? ? 2

11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f (3 ? x) ? f (1 ? x) ,且当

1 若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 恰 x ?[?2, 0] 时,f ( x) ? ( ) x ? 1 , 2
有三个不同的实数根,则 a 的取值范围是 A. (1, 2) B. (2, ??) C. (1, 3 4) D. ( 3 4, 2)

12.已知在锐角 ? ABC 中, A, C,的对边分别为 a, b, c, 已知 c ? 1 且 tan C ? 角 B, 则 a 的取值范围是 A. (1,3) B. (2, 3) C .(

ab a ? b2 ? c2
2

3 ,2 )

D. ?2,3?

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置. 13. 设集合 A ? ?5,log2 (a ? 3)? , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ? _________. 14. 已知 sin (? ?

?
4

)?

7 7 2 , cos2 ? ? , sin ? ? _______. 25 10
?

15.在 ? ABC 中, ?A ? 60 ,点 M 为边 AC 的中点,BM= 2 3 ,则 AB+AC 的最大值为 ________.

? 2 x3 1 , x ? ( ,1] ? 2 ? x ?1 ?π ? 16. 已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ?x ? ? a sin? x ? ? 2a ? 2 (a>0),若存 ?6 ? ? 1 1 1 ?? x ? , x ? [0, ] 6 2 ? 3
在 x1、x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知在 ? ABC 中, A ?B﹑?C 所对的边分别为 a﹑b﹑c, 若 ?﹑ (Ⅰ)求角 A、B、C 的大小;

c A b o s 且 sin C ? cos A . ? c B a o s

C (Ⅱ)设函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? A? ? cos ? 2x ? ? ,求函数 f ? x ? 的单调递增区间,并指出它相 ? ? .. ? 2?

邻两对称轴间的距离.

18.在直角三角形 ABC 中,D 是斜边 BC 上的一点,AB=AD, ?CAD ? ? , ?ABC ? ? , (1)求 sin ? + cos 2? 的值; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值

19.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2b-c)· cosA-acosC=0. (1)求角 A 的大小;(2)求 sinB+sinC 的取值范围 3 3 (3)若 a= 3,S△ABC= 4 ,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

20.已知函数 f ? x ? ? x ?

a (a ?R ) , g ? x ? ? ln x x

(1)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间; (2) 若关于 x 的方程

g ? x? x

? x ? [ f ? x ? ? 2e] (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求实数

a 的值。

21.经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80 ? 2t(件), 价格近似满足 f(t)=20 ? (1)试写出该商品的日销售额 y 与时间 t ?0 ? t ? 20? 的函数表达式; (2)求该商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

1 t ? 10 (元) 2

22. 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx (a ? 0) 2

(I)若 a ? ?2时,函数 ( x) ? f (x) - g(x) 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围; h (II)在(I)的结论下,设函数 ?(x)=e2x +bex ,x∈[0,ln2],求函数?(x)的最小值; (III)设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切 线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

山西省长治二中 2013 届高三年级第一次练考 数学理科答案
一、选择题 CACDB ACBAC DC 16. [ , ] 二.填空题 13. ? ,2,5? 1

1 4 2 3 cos A sin B ? 三、解答题 17.解:(Ⅰ)由题设及正弦定理知: ,得 sin 2 A ? sin 2 B , cos B sin A

14.

3 5

15. 4 7

∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ? 当 A ? B 时,有 sin(? ? 2 A) ? cos A , 即 sin A ? 当 A? B ? ∴A?B?

?
2



?
2

时,有 sin(? ? ,C ?

?
2

1 ? 2? ,得 A ? B ? , C ? ; 2 6 3

) ? cos A ,即 cos A ? 1 ,不符题设,

?
6

2? . …………………6分 3

(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知: f ( x) ? sin(2 x ? 当 2x ?

?

?
6

? [2k? ?

?

, 2k? ? ](k ? Z ) 时, f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 为增函数, 2 2 6

?

) ? cos(2 x ? ) ? 2sin(2 x ? ) ; 6 3 6

?

?

?

即 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

6

) 的单调递增区间为 [k? ?

?

它的相邻两对称轴间的距离为

? . ………12 分 2

3

, k? ?

?

6

](k ? Z ) . ………11分

由180? ? 2? ? ? ? 90? 得2? - ? ? 90? 18. (1) ……6 分 所以sin ? ? cos 2? ? sin ? ? cos(90? ? ? ) ? 0
(2)在△ACD 中由正弦定理得
AC : DC ? sin(180? ? ? ) : sin ?又因为AC ? 3DC 所以sin ? ? 3 sin ?又因为sin ? ? cos 2? ? 0所以 2 sin 2 ? 2分 19.解:(1)∵(2b-c)cosA-acosC=0,由正弦定理得, (2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,…………2 分 1 π 即 sinB(2cosA-1)=0.∵0<B<π,∴sinB≠0,∴cosA=2. …3 分 ∵0<A<π,∴A=3. …4 分 2? ? 2? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B ) ? 3 sin(B ? ) ? B ? (0, ) 3 6 3 (2) …………8 分 ……1

3 ? 3 ? sin ? - 1 ? 0又因为0 ? ? ? 所以sin ? ? ,? ? 3 2 2 3

? 5? ? 1 3 ?( , ) ? sin(B ? ) ? ( ,1],? ? sin B ? sin C ? 3 6 6 6 6 2 2 1 3 3 π 3 3 (3)∵S△ABC=2bcsinA= 4 ,…………9 分 即 bcsin3= 2 ,∴bc=3.①…………10 分 ∵a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+c2=6.② 由①②得 b=c= 3,…………11 分 ∴△ABC 为等边三角形.…………12 分
?B ?
20.解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?

?

a ? ln x 的定义域为 ? 0,??? . x

∴F

'

? x? ? 1 ?

a 1 x2 ? x ? a ? ? . x2 x x2 1 2 时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F ' ? x ? ? 0 . 4
……2 分 得 x ? x ? a ? 0,
2

① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?

∴函数 F ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增. ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 解得 x1 ?

1 时, 令 F ' ? x ? ? 0, 4

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a . ? 0, x2 ? 2 2

(ⅰ) 若 ?

1 ?1 ? 1 ? 4a ? a ? 0 , 则 x2 ? ?0. 4 2
∴函数 F ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增. …… 4 分

∵ x? ? 0, ??? , ∴ F ' ? x ? ? 0 , (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0,

? ? ?

?1 ? 1 ? 4 a ? ' ? 时, F ? x ? ? 0 ; ? 2 ?

? ?1 ? 1? 4 ? a x?? , ?? ? 时, F ' ? x ? ? 0 , ? ? 2 ? ?
∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0,

? ? ?

? ?1 ? 1 ? 4a ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? 上单调递增. ? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? 2 2 ? ? ?
…… 6 分

综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? ; 当 a ? 0 时 , 函 数 F ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 0, ?

? ?

?1 ? 1 ? 4 a ? ? , 单调递增区间为 ? 2 ?
…… 8 分

? ?1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? . ? ? ? 2 ? ?
(2) 解: 令 h ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ' ' , 则 h ? x? ? .令 h ? x ? ? 0 , 得 x ? e . x x2

' ' 当 0 ? x ? e 时, h ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h ? x ? ? 0 .

∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e, ??? 上单调递减.

∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ?
2 2 而函数 m ? x ? ? x ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e , 2

1 . e

…… 10 分

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e? ? a ? e2 . ∴ 当a ? e ?
2

…… 12 分 ……

g ? x? 1 1 2 , 即 a ? e ? 时, 方程 2 ? f ? x ? ? 2e 只有一个根. e e x

21. (1) y

1 ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ? t ? 10 ) ? (40 ? t )(40 ? t ? 10 ) 2

?

?

(30?t )( 40?t )( 0?t ?10 ) ( 40?t )( 50?t )(10?t ?20 )

…… 6分

(2) 当 0 ? t ? 10 时,y 的取值范围是[1200,1225]. 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10 ? t ? 20 时,y 的取值范围是[600,1200]. 在 t=20 时, y 取得最小值为 600. 1 1分 答:第 5 天,日销售额 y 取得最大值为 1225 元,第 20 天,y 取得最小值 600 元。 …… 1 2分 22.解: (I)依题意: h( x) ? ln x ? x 2 ? bx. ? h(x ) 在(0,+ ? )上是增函数,

? h? x ) ? (
1

1

x

? 2x ? b ? 0 对 x∈(0,+ ? )恒成立,
1

…………1 分

?b ?

x

? 2x . ? x ? 0,则

x

? 2x ? 2 2. ? b的取值范围为 ??,2 2 ? . ?
…………3 分

?

(II)设 t ? e x , 则函数化为 ? t 2 ? bt, t ? [1,2]. y

b b2 b ? y ? (t ? ) 2 ? . ?当 ? ? 1,即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2]上为增函数, 2 4 2
当 t=1 时,ymin=b+1; …………4 分

当1 ? ?

b b ? 2,即 ? 4 ? b ? ?2时,当t ? ? 时,y 2 2

min

??

b2 b ;当 ? ? 2,即b ? ?4时, 函数y在[1,2]上是减函数, 4 2

当 t=2 时,ymin=4+2b……5 分

综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为b ? 1. b2 当 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为? . 4
当 b ? ?4时, ? ( x) 的最小值为 4 ? 2b. (III)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ? …………7 分

x1 ? x 2 . 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

…………8 分

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 .



2 a( x1 ? x 2 ) 2( x 2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) 2 ? ? b.则 ? ? b( x2 ? x1 ) x1 ? x 2 2 x1 ? x 2 2

x a 2 a ? ( x 2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) ? y 2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln 2 , 2 2 x1
……………10 分

x2 ? 1) x 2 2(x 2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? . x2 x1 x1 ? x 2 1? x1 2(
① …11 分



u?

x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? , u ? 1, x1 1? u



2(u ? 1) 1 4 (u ? 1) 2 , u ? 1.则r ?(u ) ? ? ? . ? u ? 1,? r ?(u ) ? 0. 1? u u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 2(u ? 1) 所以r (u )在?1,???上单调递增 故r (u ) ? r (1) ? 0, 则 ln u ? , . u ?1 令r (u ) ? ln u ?
这与①矛盾,假设不成立。故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. …………12 分


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