当前位置:首页 >> 高中教育 >> 2013届高三人教A版数学章末综合测试题(6)平面向量、数系的扩充与复数的引入(1))

2013届高三人教A版数学章末综合测试题(6)平面向量、数系的扩充与复数的引入(1))


2013 届高三数学章末综合测试题(6)平面向量、数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量 a,b 且 A B =a+2b,B C =-5a+6b,C D =7a-2b, 则一定共线的三点是( A.A,B,D C.B,C,D ) B.A,B,C

D.A,C,D







→ → 解析 A 由题意 B D =2a+4b=2AB,故 A,B,D 共线. → → → 2.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,B C +B A =2BP,则(
A.P A +P B =0 C.P B +P C =0 )





B.P C +P A =0 D.P A +P B +P C =0















→ → → 解析 B 因为 B C +B A =2BP,所以点 P 为线段 AC 的中点,故选 B.
→ → → 3.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC=0,那么() → → A.AO=OD → → B.AO=2OD → → C.AO=3OD → → D.2AO=OD

→ → → → → 解析 A 由 2OA+OB+OC=0 可知, O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点, 故AO=OD. 5 4.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5.若(a+b)· c= ,则 a 与 c 的夹角为( 2 π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6 )

解析 C a+b=(-1,-2)=-a,所以 a 与 c 的夹角即 a+b 与 c 的夹角的补角. 5 2 ?a+b?· c 1 π 设 a+b 与 c 的夹角为 θ,则 cos θ= = = ,故 θ= ,则 a 与 c 2 3 |a+b||c| 5× 5 的 2π 夹角为 . 3 → 5.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=45° ,设OC= → → λOA+OB(λ∈R),则 λ 的值为( A.1 1 B. 3 ) 1 C. 2 2 D. 3

解析 A 如图,过 C 作 CE⊥x 轴于点 E,则|OE|=|CE|=2,所

→ → → → → → → 以OC=OE+OB=λOA+OB,即OE=λOA,所以(-2,0)= 2 λ(-3,0),故 λ= .故选 A. 3 → → → → 6.(2011· 湖南十二校联考)平面上有四个互异的点 A、 B、 C、 D, 满足(AB-BC)· (AD-CD) =0,则三角形 ABC 是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 解析 B ) B.等腰三角形 D.等边三角形

→ → → → → → → → → → → → (AB-BC)· (AD-CD)=(AB-BC)· (AD+DC)=(AB-BC)· AC=(AB-

→ → → → → → → BC)· (AB+BC)=|AB|2-|BC|2=0,故|AB|=|BC|,即△ABC 是等腰三角形.
? ?1+x, 7. (2011· 杭州月考)已知定义在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ??1-i?x, ?

x∈R, x?R,



f(1+i)=(

) A.-2 B.0 C.2 D.2+i

解析 C ∵(1+i)?R,∴f(1+i)=(1-i)(1+i)=1-i2=2. 8.如图所示,非零向量 O A =a,O B =b,且 BC⊥OA,C 为垂足,若 O C =λa(λ≠0), 则 λ=( ) a· b A. 2 |a| a· b C. 2 |b| a· b B. |a||b| |a||b| D. a· b







解析 A B C ⊥O A ,即 B C ⊥O C ?(O C -O B )· OC= 0?|O C |2-O B · O C =0, a· b 即 λ2|a|2-λa· b=0,解得 λ= 2. |a| 9.(2011· 济南一模)设 a 是实数,且 1 A. 2 B.-1 1-i a + 是实数,则 a=( 2 1+i C.1 D.2 )

















→ →

1-i a?1-i? 1-i a+1 a+1 a 解析 B 因为 + = + = - i 是实数,所以 a=-1. 2 2 2 2 2 1+i 10.已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足 P A · P B =x2,则点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

→ →

)

解析 D ∵P A =(-2-x,-y),P B =(3-x,-y),P A · P B =x2,





→ →

∴(-2-x)(3-x)+y2=x2,化简得 y2=x+6. 11.已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 )

解析 B 由 a=(1,1),2a+b=(4,2),得 b=(4,2)-2(1,1)=(2,0).设向量 a,b 的夹 2 2 π a· b 角为 θ,则 cos θ= = = ,θ= . |a||b| 2 2 2 4 → → → 12.(2011· 宝坻质量调查)已知点 A, B, C 在圆 x2+y2=1 上, 满足 2OA+AB+AC=0(其 → → → → 中 O 为坐标原点),又|AB|=|OA|,则向量BA在向量BC方向上的投影为( A.1 B.-1 1 C. 2 1 D.- 2 )

→ → → → → → → → → → → 解析 C 由 2OA+AB+AC=(OA+AB)+(OA+AC)=OB+OC=0,得OB=-OC, → → → → 即 O,B,C 三点共线.又|AB|=|OA|=1,故向量BA在向量BC方向上的投影为 π 1 → |BA|cos = . 3 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,a=(3,3),2b-a=(-1,1),则 cos θ=________. 解析 ∵a=(3,3),2b-a=(-1,1),∴b=(1,2), 9 3 10 a· b ∴cos θ= = = . |a||b| 3 2× 5 10 【答案】 3 10 10

2-bi 14.如果复数 z= (b∈R)的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于________. 1+i 解析 ?2-bi??1-i? 2-b 2+b 2-b 2+b z= = - i,由 = ,得 b=0. 2 2 2 2 ?1+i??1-i?

【答案】 0 i 15.(2011· 宣城调研)已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 =2-i,则 z=________. z+i i?2+i? i 1 3 解析 由题意得,z= -i= -i=- - i. 5 5 5 2-i 1 3 【答案】 - - i 5 5 16.对于 n 个向量 a1,a2,…,an,若存在 n 个不全为零的实数 k1,k2,…,kn,使得 k1a1+k2a2+…+knan=0 成立,则称向量 a1,a2,…,an 是线性相关的.按此规定,能使向 量 a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的实数 k1,k2,k3 的值依次为________(只 需写出一组值即可).

解析 根据线性相关的定义,
? ?k1+k2+2k3=0, 得 k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0?? ?-k2+2k3=0, ?

令 k3=1,则 k2=2,k1=-4,∴k1,k2,k3 的一组值为-4,2,1. 【答案】 -4,2,1 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分) 如图,在任意四边形 ABCD 中,E 为 点,F 为 BC 的中点,证明: → → → AB+DC=2EF. AD 的 中

→ → 解析 因为 F 为 BC 的中点,所以BF+CF=0, → → → → → → 连接 AF,DF,则有AB+DC=AB+DC+BF+CF= → → → → → → AB+BF+DC+CF=AF+DF. → → → → → → 而AF=AE+EF,DF=DE+EF,

→ → 又 E 为 AD 的中点,所以AE+DE=0. → → → → → → → → → → 所以AF+DF=AE+EF+DE+EF=2EF,所以AB+DC=2EF. 18.(12 分)计算下列各式的值: 2i (1)?1+i?2;

?

?

2+4i (2) ; ?1+i?2

1+i (3) + 1-i

i3. 解析 2i -4 4i2 (1)?1+i?2= 2= ? ? ?1+i? 2i =2i.

2+4i 2+4i (2) = =2-i. 2i ?1+i?2 1+i 3 ?1+i?2 2i (3) +i = +i3= +i3=i-i=0. 2 1-i ?1-i??1+i? 19.(12 分)已知△ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点, 且 AE=2EB,求证:AD⊥CE. 解析 建立如图所示的直角坐标系,

设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y). a? ∵D 是 BC 的中点,∴D? ?0,2?. → → 又∵AE=2EB, 即(x-a,y)=2(-x,a-y),

?x-a=-2x, ? ∴? 解得 ?y=2a-2y, ?

?x=3, ? 2 ?y=3a.
→ → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE.

a

a? a? → → → ?a 2 ? ? ∵AD=? ?0,2?-(a,0)=?-a,2?, OE=CE=?3,3a?, a 2 a → → ∴AD· CE=-a× + a× =0. 3 3 2

20.(12 分)已知点 A(2,0)、B(0,2)、C(cos α,sin α),O 为坐标原点,且 0<α<π. (1)若|O A +O C |= 7,求 O B 与 O C 的夹角; (2)若 A C ⊥B C ,求 tan α 的值. 解析 (1)由已知可得 O A =(2,0),















O C =(cos α,sin α),且|O A +O C |= 7, 1 ∴ ?2+cos α?2+sin2α= 7,化简得 cos α= , 2 ∵0<α<π,∴sin α= 3 1 3 → ,∴OC=? , ?. 2 ?2 2 ?







又∵O B =(0,2),∴cos〈O B ,O C 〉=







3 = . → → 2 |O B ||O C |

OB· OC

→ →

π → → → → 又∵〈O B ,O C 〉∈[0,π],∴〈O B ,O C 〉= . 6 (2)A C =(cos α-2,sin α),B C =(cos α,sin α-2), 由 A C ⊥B C ,得(cos α-2,sin α)· (cos α,sin α-2)=0, 即(cos α-2)cos α+sin α(sin α-2)=0, 1 化简得,sin α+cos α= , 2 1 ∴sin2α+cos2α+2sin αcos α= ,① 4 sin2α+cos2α+2sin αcos α 1 ∴ = , 4 sin2α+cos2α -4± 7 即 3tan2α+8tan α+3=0,解得 tan α= . 3 4+ 7 3 π 由①得, sin αcos α=- <0 且 0<α<π, ∴ <α<π, 又|sin α|>|cos α|, ∴tan α=- . 8 2 3 21.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围;









(2)是否存在常数 k,使得向量 O A +O B 与 P Q 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不 存在,请说明理由. 解析 (1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,







所以圆心为 Q(6,0),过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理,得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A、B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=16(-8k2-6k)>0, 3 解得- <k<0, 4 3 ? 即 k 的取值范围为? ?-4,0?. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 O A +O B =(x1+x2,y1+y2), 4?k-3? 由方程①得,x1+x2=- .② 1+k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+4,③ 而 P(0,2),Q(6,0),P Q =(6,-2), ∴O A +O B 与 P Q 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2). 3 将②③代入上式,解得 k=- , 4 3 ? 又 k∈? ?-4,0?,∴不存在符合题意的常数 k. 3 3 ? x? ? x ? π π? 22.(12 分)已知向量 a=? ?cos2x,sin2x?,b=?cos2,-sin2?,且 x∈?-3,4?. (1)求 a· b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a· b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值. 解析 3 x 3 x (1)a· b=cos xcos -sin xsin =cos 2x,|a+b|= 2+2cos 2x=2|cos x|, 2 2 2 2













π π? ∵x∈? ?-3,4?,∴cos x>0.∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 1?2 3 =2? ?cos x-2? -2. π π? 1 ∵x∈? ?-3,4?,∴2≤cos x≤1. 1 3 ∴当 cos x= 时,f(x)取得最小值- ; 2 2

当 cos x=1 时,f(x)取得最大值-1.


更多相关文档:

2013届高三人教A版数学章末综合测试题(6)平面向量、数系的扩充与复数的引入(1))

2013届高三人教A版数学章末综合测试题(6)平面向量数系的扩充与复数的引入(1))_高中教育_教育专区。2013届高三人教A版数学章末综合测试题(6)平面向量、数系的...

2013届高三数学 章末综合测试题(7)平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)

2013届高三数学 章末综合测试题(7)平面向量数系的扩充与复数的引入(2) 2013...( →→→ A.AC=AB+AD → 1→ 1→ C.AO= AB+ AD 2 2 ) →→→ ...

2013届高考数学一轮复习阶段成果检测《数系的扩充与复数的引入6》

2013 届高考数学一轮复习阶段成果检测 《数系的扩充与复数的引入 6》一、解答题(题型注释) 1. 设曲线 在点 A(x, )处的切线斜率为 k(x),且 k (-1)=...

2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(61)数系的扩充与复数的引入)

2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(61)数系的扩充与复数的引入)_高中...m-1 (1)z∈R; (2)z 是纯虚数; (3)z 对应的点位于复平面第二象限; ...

天津市新人教版数学2013高三单元测试题17《数系的扩充与复数的引入》

天津市新人教版数学2013高三单元测试题17《数系的扩充与复数的引入》_数学_高中...(B)m≠6 (C) m≠-1 或 m≠6 (D) m≠-1 且 m≠6 5.如果复数 A...

2013届高三数学一轮复习讲义 数系的扩充与复数的引入(人教A版)

2013届高三数学一轮复习讲义 数系的扩充与复数的引入(人教A版) 隐藏>> 数系的扩充与复数的引入自主梳理 1.数系的扩充 数系扩充的脉络是: ___→___→___...

2013版高三数学一轮复习单元评估检测(4) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理 新人教A版

2013高三数学综合测试(五)... 5页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...单元评估检测(4) 第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 理 新人教A版...

【天津市新人教版数学2013高三单元测试题17《数系的扩充与复数的引入》 ]

【天津市新人教版数学2013高三单元测试题17《数系的扩充与复数的引入》 ]_数学...(B)m≠6 (C) m≠-1 或 m≠6 (D) m≠-1 且 m≠6 5.如果复数 A...

2017届人教A版 平面向量、数系的扩充与复数的引入 单元检测

2017届人教A版 平面向量数系的扩充与复数的引入 单元检测_高三数学_数学_...1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 定义 既有...

数系的扩充与复数的引入测试题及答案解析

第三章 数系的扩充与复数的引入(选修 2-2) ....?1 ? i ,复数 Z1 和 Z 2 在复平面内对应点...AOB 的面积为 三.解答题(本大题共 6 小题,每...
更多相关标签:
有理数章末测试题 | 复数的扩充 | 复数的扩充微博 | 复数测试题 | 名词单数变复数测试题 | 为什么要引入复数 | 为什么引入复数 | 为什么引入复数的概念 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com