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探究化归与转化思想在高中数学中的应用


探究化归与转化思想在高中数学中的应用
在高中数学教学中,我们时常会遇到这样一些问题,若要直接解决会较为困难,若通过问题的转化,归类就会 使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之——化归和转化的思想方法。 数学中的化归与转化思想方法,指在研究和解决有关数学问题时,通过某种转化过程,归结到一类已经解决或 比较容易解决的问题,最终求得问题的解答的一种

手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化, 模式化,以便应用已知的理论,方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中,我们对原来问题中的条件进行了 简化,分化,转化,特殊化的变形,最后将原问题归结为简单的,熟悉的问题而得到解决。因此,我们化归的方向 应该是由未知到已知,由难到易,由繁到简。 世界数学大师波利亚强调: “不断的变换你的问题” “我们必须一再变化它,重新叙述它,变换它,直到最后 成功地找到某些有用的东西为止” ,他认为解题的过程就是“转化” ,的过程。因此, “转化”是解数学题的重要思想 方法之一。 由于转化具有多向性,层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问 题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数 学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转换,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这 是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这就是转化原则应用的重复性。 在高考中,转化与化归思想占有相当重要的地位,掌握好化归与转化思想的两大特点,学会在解题时注意依据问 题本身所提供的信息,利用动态思维,去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法,对学好数学是很有帮助 的。 下面谈谈化归与转化思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型。

1、 正与反的相互转化
对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题,可先攻其反面,运用补集思想从而使正面得以解决。 例1、 已知函数

f ( x) ? 4x2 ? ax ? 1 在(0,1)内至少有一个零点,试求实数 a 的取值范围。

分析:至少有一个零点的情况比较复杂,而其反面为没有零点,比较容易处理。 解: (法一)当函数

f ( x) ? 4 x 2 ? ax ? 1在(0,1)内没有零点时 ? 4 x 2 ? ax ? 1 ? 0
? 4x ? 1 x
.

在(0,1)内

没有实数根,即在(0,1)内, a

而当 x ?(0,1)时, 4 x ?

1 1 1 ? 2 4 x ? ? 4 ,得 4 x ? ? ?4, ? ? ? 。 x x x

要使 a

? 4x ?

1 x

,必有 a

?4

故满足题设的实数的取值范围是 (法二) 设 (1) 当 0

?4,???
a 8
, 注意到

f ( x) ? 4x2 ? ax ? 1 ,对称轴为 x ?

f (0) ? 1 ? 0 ,故对称轴必须在 y 轴的右侧。

?

a ? 1 时,即 0 ? a ? 8 , 8

有?

?? ? a 2 ? 16 ? 0, ?a ? ?4或a ? 4, ? a ? ?4或a ? 4 ,此时 4 ? a ? 8 ; ?? a?R f (0) ? 0 ? ?
a ? 1 时,有 f (1) ? 0 ? 5 ? a ? 0 ? a ? 5, 此时有 a ? 8 。 8
-1-

(2)当

综合(1) (2)得实数的取值范围是

?4,???
f (0) ? 1 ? 0),

点评: 运用法二直接求解时, 要有较强的数形结合能力, 分类讨论能力和较强的洞察力 (注意到

有一定的难度;若转为先考虑它的反面情形(法一) ,则解题目标与思路会变得更集中与明确。 “正难则反”有时会 给我们的解题带来意想不到的妙处。

2、常量与变量的转化
在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数) ,将其看做是“主元” ,而把其它变元看做是 常量,从而达到减少变元简化运算的目的。

例2、

x2 y2 ? ? 1 ,试证明:坐标平面内任一点( a, b)(a, b ? 0) ,在 C k 中 已知曲线系 C k 的方程为 9?k 4?k
总存在一椭圆和一双曲线过该点.

分 析 : 若 从 曲 线 的 角 度 去 考 虑 , 即 以 x,y 为 主 元 , 思 维 受 阻 . 若 从 k 来 考 虑 , 不 难 看 出 , 当

k ? 4或4 ? k ? 9时,C k 表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间 (??,4) 和(4,9)内分别存在 k
值,使曲线 C k 过点(a,b).

解:设点( a, b)(a, b

? 0) )在曲线 C k 上,则

x2 y2 ? ? 1 整理得 9?k 4?k


k 2 ? (a 2 ? b 2 ? 13)k ? (36 ? 4a 2 ? 9b 2 ) ? 0

令f (k ) ? k 2 ? (a 2 ? b 2 ? 13)k ? (36 ? 4a 2 ? 9b 2 ), ? f (4) ? ?5b 2 ? 0, f (9) ? 5a 2 ? 0.
可知 f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在 (??,4) 和(4,9)内分别有一根,即对 (a,b),在曲线系 C k 中总存在一椭圆和一双曲线通过该点. 点评: 本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解 析几何中用的较普通。 平面内任一点

3、 特殊与一般的转化
一般成立,特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在,经常运用,这也是 化归思想的体现。 例3、 已知向量 OA ? (cos?1 ,2 sin ?1 ),OB ? (cos? 2 ,2 sin ? 2 ) ,

若 OA ? (cos?1 , sin ?1 ), 于 。

OB ? (cos? 2 , sin ? 2 ) , 满 足 OA ? OB ? 0 , 则 ?OAB

的面积

S ?OA B 等

分析:可取 ? 1 , ? 2 的某些特殊值代人求解。

? 解:由条件 OA ? OB ? 0 可得 cos( 1
入,则

? ? 2 ) ? 0 。利用特殊值,如设 ?1 ?

?
2

,? 2 ? 0 代

A(0,2), B(1,0) ,故面积为 1。
-2-

例 4、已知函数 的值.

f ( x) ?

1 2 99 )? f( ) ??? f ( ) (a ? 0且a ? 1) ,求 f ( 100 100 100 ax ? a

ax

分析:直接代入计算较为复杂,可寻求 f(x)与 f(1-x)的关系. 解:

f ( x) ? f (1 ? x) ?

ax a ? a
x

?

a1? x a
1? x

? a a ? a
x

=

ax

?

a a ? ax a

=

ax ax ? a

?

a

a ? ax ax ? a

=

a ? ax

?1

于是

1 2 99 f( )? f( ) ??? f ( ) 100 100 100

=

1 99 ? ? 2 98 ? 51 ? 50 ? ? 49 ? f (100) ? f (100)? ? ? f (100) ? f (100)? ? ? ? f (100) ? f (100)? ? f (100) ? ? ? ? ? ?
1` 99 ? 2 2

= 1 ? 49 ?

点评:一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题 的一般规律,从而达到成批的处理问题的效果。

4、 等与不等的转化
相等于不等是数学解题中矛盾的两方面,但是它们在一定的条件下可以互相转化,例如有些题目,表面看来似 乎只具有相等的数量关系,根据这些相等关系又难以解决问题,但若能挖掘其中的不等关系,建立不等式(组)去 转化,往往能获得简捷求解的效果。 例 5、已知 a, b 都是实数,且 a

1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1 求证: a 2 ? b 2 ? 1 。

分析:利用均值不等式先得到一个不等关系,再结合已知中的相等关系寻求 a 与 b 之间的关系。 解:? a

1 ? b2 ?

a 2 ? (1 ? b 2 ) b 2 ? (1 ? a 2 ) , b 1? a2 ? , 2 2

? a 1 ? b2 ? b 1 ? a 2 ? 1 。
又a

1 ? b2 ? b 1 ? a 2 ? 1 , a ? 1 ? b2

且b

? 1? a2

即a

2

? b2 ? 1 。

点评:利用等与不等之间的辩证关系,相互转化,往往可以使问题得到有效解决。

5、 数与形的转化
许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义,往往变得直观形象,有利于解题途径的探求;另一方面,一些涉及 图形的问题如能化为数量关系的研究,又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。 例 6、求函数 分析:令 sin 解:

f ( x) ? 2 ? 4a sin x ? cos2 x 的最大值和最小值。
x ? t ,转化为关于 t 的二次函数在闭区间上的最值问题,结合二次函数图像讨讨论可得。

y ? f ( x) ? 2 ? 4a sin x ? (1 ? 2 sin 2 x) ? 2 sin 2 x ? 4a sin x ? 1 ? 2(sin x ? a) 2 ? 1 ? 2a 2 .

-3-

设 sin 当a 有 当

x ? t , 则 ? 1 ? t ? 1 ,并且 y ? g (t ) ? 2(t ? a) 2 ? 1 ? 2a 2 。

? ?1 时如图。
y

y最大 ? g( ) 3 - 4a, y最小 ? g(? 1 ? 3 ? 4a, 1 ? )
?1 ? a ? 1 时,
,

y最大 为 g (?1) 和 g (1) 中的较 大者 , 即
o
-1 1

y最大 ? 3 - 4a(?1 ? a ? 0) 或 y最大 ? 3 ? 4a(0 ? a ? 1) .
当a

? 1 时,有

x

y最大 ? g(? 1 ? 3 ? 4a, y最小 ? g( ) 3 ? 4a 。 ) 1 ?
点评:通过换元降三角问题转化为较为熟悉的二次函数问题,利用 二次函数图像结合分类讨论,使问题得到解决。

6、 陌生与熟悉的转化
数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程,注意类比以前解决过的问题,找出其共性和差异性, 应用解题中,通常表现为构造熟悉的事例模型,在待解决问题和已解决问题之间进行转化。 例 7、对任意函数 ① 输入数据 x0

f ( x), x ? D 可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下:

? D ,经数列发生器输出 x1 ? f ( x 0 ) ;

② 若 x1

? D ,则数列发生器结束工作;若 x1 ? D 则将 x1 反馈回输入端,再输出 x2 ? f ( x1 ) ,并依此规
f ( x) ? 4x ? 2 。 x ?1

律继续下去,现定义 ⑴若输入 x 0

?

49 ,则由数列发生器产生数列 ?xn ? ,请写出 ?xn ? 的所有项; 65

⑵若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据 x0 的值; ⑶若输入 x0 时,产生的无穷数列

?xn ? ,满足对任意正整数 n 均有 xn ? xn?1 ,求 x0 的取值范围。

分析:此题富有新意,综合性、抽象性较强,解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言。 解: (1)?

f (x) 的定义域 D ? (??,?1) ? (?1,??) ,
f

11 1 ? 数列 ?xn ? 只有三项, x1 ? , x 2 ? , x3 ? ?1 19 5 4x ? 2 ? x ,即 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , (2)? f ( x) ? x ?1

打印

? x ? 1或x ? 2,即x 0 ? 1或2时,xn?1 ?
故当 x0

4 xn ? 2 ? xn xn ? 1

xi ? D
N 结束

Y

? 1时,xn ? 1,当 x0 ? 2 时, xn ? 2(n ? N ? )
?

(3)解不等式 x

4x ? 2 ,得 x ? ?1 或 1 ? x ? 2 ,要使 x1 ? x 2 ,则 x1 ? ?1 或 x ?1
-4-

1 ? x1 ? 2
对于函数 若1 ?

f ( x) ?

4x ? 2 6 ? 4? ,若 x1 ? ?1 则 x2 ? f ( x1 ) ? 4, x3 ? f ( x2 ) ? x2 ; x ?1 x ?1

x1 ? 2 则 x2 ? f ( x1 ) ? x1 且 1 ? x2 ? 2

依此类推可得数列

?xn ? 的所有项均满足 xn?1 ? xn (n ? N ? )
? f ( x 0 ) ,得 x0 ? (1,2)

综上所述, x1 ? (1,2) 由 x1

点评:本题主要考查学生的阅读审题、综合理解的能力,涉及函数求值的简单运算、方程思想的应用,解不等 式及化归转化思想的应用。 由以上几种典型题型的剖析足以说明掌握好化归与转化的思想方法对学好高中数学是非常有帮助的,它可以帮 助我们寻找到一些简单的方法来解决一些较为复杂的题目。但我们在应用化归与转化的思想方法还应注意它的三个 基本要素: 1、把什么东西转化,即转化的对象; 2、 转化到何处,即转化的目标; 3、 如何进行转化,即转化的方法。 为了让我们更好地应用化归与转化的思想方法,我们在应用时还应遵循以下五条原则: 1、 2、 3、 熟悉化原则,将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解; 简单化原则,将复杂的问题转化为简单的问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获 和谐化原则,转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式,或者转

得某种解题的启示和依据。 化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。 4、 直观化原则,将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 5、 正难则反原则,当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的发面,设法从问题的反面去探求,使问题 获得解决,或证明问题的可能性。 总之,化归与转化的思想方法是高中数学的一种重要思想方法,掌握好化归与转化的思想方法的特点,题型,方 法,要素,原则对我们学习数学是非常有帮助。

化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的思想确是指在解决问题时,采用某种手段使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略, 是数学学科与其它学科相比,一个特有的数学思想方法,化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上,解 题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程,是求解系统趋近于目标系统的过程,是未知向熟知转化的过程, 因此每解一道题,无论是难题还是易题,都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法,及化归与转化思想解题的 应用。

化归与转化常遵循以下几个原则
(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种 解题的启示和依据。 (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题, 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。 -5-

一、正与反的转化:有些数学问题,如果直接从正面入手求解难度较大,致使思想受阻,我们可以从
反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题,对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。 例 1:某射手射击 1 次击中目标的概率是 0.9 他连续射击 4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的,则他至 少击中目标 1 次的概率为 。

分析:至少击中目标一次的情况包括 1 次、2 次、3 次、4 次击中目标共四种情况,可转化为其对立事件:一次 都未中,来求解 略解:他四次射击未中 1 次的概率 P1= C 4 0.14=0.14 ∴他至少射击击中目标 1 次的概率为 1-P1=1-0.14=0.9999 例 2:求常数 m 的范围,使曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分. 分析:直接求解较为困难,事实上,问题可以转化为:在曲线 y= x 存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点,求 m 的范围。 2 2 略解:抛物线 y=x2 上存在两点(x1,x 1)和(x2,x 2)关于直线
2

4

y=m(x-3)对称,则

x1 ? x2 ? x1 ? x 2 ? 2 ? m( 2 ? 3) ? 即 ? 2 2 x1 ? x 2 1 ? ?? ? x1 ? x 2 m ?

2 ? x12 ? x2 ? m( x1 ? x2 ? 6) ? 消去 x2 得 ? 1 x1 ? x2 ? ? ? m ?

2 x12 ?

2 1 x1 ? 2 ? 6m ? 1 ? 0 m m
2 2 ), ( x2 , x2 )

∴存在 ( x1 , x1

∵上述方程有解∴△=

? 12m 3 ? 2m 2 ? 1 >0 m2

∴ (2m ? 1)(6m

2

? 2m ? 1) <0,
1 } 2

从而 m< ?

1 2

因此,原问题的解为{m|m≥ ?

二、一般与特殊的转化
当面临的数学问题由一般情况难以解决,可以从特殊情况来解决,反之亦然,这种方法在选择题,填空题中非 常适用。 例 1:设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列,则 q=___________. 分析:由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求 q 的值.如: S 2 , S1 , S 3 成等差,求 q 的值.这样就避免了 一般性的复杂运算. 略解: S 2 ∵ S2

? a1 ? a1q

S1 ? a1 , S3 ? a1 ? a1q ? a1q 2

? S 3 ? 2S1

∴ 2a1

? 2a1q ? a1q 2 ? 2a1 (a1≠0)
-6-

∴q=-2 或 q=0(舍去)
?

例 2:已知平面上的直线 l 的方向向量 e

4 3 ? (? , ) ,点(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别为 O ?和A? ,若 5 5

O?A? ? ? e 则 λ 为(
A.



11 5

B.-

11 5

C.2

D.-2

分析:直线 l 的斜率一定,但直线是变化的,又从选项来看, ? 必为定值。可见直线 l 的变化不会影响 ? 的 值。因此我们可取 l 为

3 y ? ? x 来求解 ? 的值。 4 3 略解:设 l: y ? ? x A?( x. y) 则 4

?? 2 ? y 3 ? 1 ? x ( ? 4 ) ? ?1 ? ? ?y ? ? 3 x ? 4 ?

可得 A?(

8 6 ,? ) 5 5

∴ O?A? ? ?e1

即(

8 6 4 3 ,? ) ? ? (? , ) , ? =-2 5 5 5 5

例 3:设三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,且 PA=QC,则四棱锥 B—PAQC 的体积为: A.

1 6

V

B.

1 4

V

C.

1 V 3

D.

1 2

V

分析:P、Q 运动四棱锥 B—PAQC 是变化的,但从选项来看其体积是不变的,所以可以转化为特殊情况来解决 略解:取 P 与 A 重合,Q 与 C 重合的特殊情况

1 VB ? PAQC ? VB ? AC1C ? VC1 ? ABC ? V 3
三、主与次的转化
利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换位)常常可以简化问题的解决,先看下面 两题。 例 1:(2006 年四川卷文 21 题) 已知函数 的导函数。 (Ⅰ)对满足 ?1 ? a (Ⅱ) (略) 分析:在不等式中出现了两个字母: x 及 a ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然 可 a 将视作自变量,则上述问题即可转化为在 解: (Ⅰ)由题意 g

f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 1, g ( x) ? f ?( x) ? ax ? 5, 其中 f ?(x) 是的 f (x)

? 1 的一切 a 的值,

都有 g ( x)

? 0, 求实数 x 的取值范围;

?? 1,1?内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题。
令 ? (a)

? x? ? 3x2 ? ax ? 3a ? 5

? (3 ? x)a ? 3x 2 ? 5,

?1 ? a ? 1

对 ?1 ? a

? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0

-7-

∴?

? ? ?1? ? 0 ? ?? ? ?1? ? 0 ?

即?

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0 ?3 x ? x ? 8 ? 0
2

解得 ?

2 ? x ?1 3

故 x ?? ?

? 2 ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ? 3 ?

x 2 ? ax ? 2 ≤0 对 x ? [?1,1] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
例 2、对任何 a ? [?1,1] 函数

f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总大于 0,则实数 x 的取值范围是:_______

分析:对于例 2:我们也可以转化为例 1 的形式 只需视

f (x) 为关于 a 的函数,问题就可以转化为例 1 的情况:

略解:令 g ( x)

? ( x ? 2)a ? ( x ? 2) 2 ( x ? 2) 为关于 a 的一次函数,

由图像知

? g (?1) ? 0 ? ? g (1) ? 0

? 或 x<1 或 x>3

例 3:设

y 的实数, 4 y 2 ? 4 xy ? x ? 5 ? 0 则 x 的取值范围是:___________
2

分析:把 4 y 略解:把 4 y ∴△= (4 x)
2

? 4 xy ? x ? 5 ? 0 看作是关于 y 的二次方程,则利用△≥0 求解 x 的范围。 ? 4 xy ? x ? 5 ? 0 看作是关于 y 的二次方程,因为 y 的实数,所以方程有解。

2

? 4 2 ( x ? 6) ≥0

∴{x | x≤-2 或 x≥3}

四、数与形的转化。
数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象,有利于解题途径 的探求。

例 1:设对于任意实数 x ? [?2,2] ,函数 总有意义,求实数 a 的取值范围。 解法一: 即x
2

f ( x) ? lg(3a ? ax ? x 2 )

y

f (x) 有意义,有 3a ? ax ? x 2 ? 0 ,

? ax ? 3a ? 0 在 x ? [?2,2] 时总成立,

-2 o

2

x

设 g ( x) 依抛物线

? x 2 ? ax ? 3a ,即当 x ? [?2,2] 时, g ( x) ? 0 总成立。
y ? g (x) 的特征,将其定位,

有?

? g (?2) ? 0 ?4 ? 5a ? 0 ?? , 解得: a ? 4 ? g (2) ? 0 ?4 ? a ? 0
-8-

解法二:不等式可化成 a 只 要

? h( x ) ? 3 ? x ? 9 ?6 3? x


9 ?6 3? x
最 大 值 即 可 。 设

h( x ) ? 3 ? x ?

y
10

t ? 3 ? x , t ? [1,5] , h( x) ? 6 的图象如图,
可知 h( x) ? 6 的最大值为 10 ,故最小值为 4 .故 a

?4

[点评] 通过数与形的转化,抓住了抛物线的特征,建立了实数 a 的不等式组,从而 求出 a 的范围。解法二是通过分离参数的方法,再通过换元,利用函数 u 征求其最值,同样体现了数形结合的特点。 五、陌生与熟悉的转化

o

1 3

5

x

?

1 u

的特

把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决,这是数学解题的一条重要原则。 例 1:某厂 2001 年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,元月份投入资金建设恰 好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同,问全年总利润 m 与全年总投入 N 的大小关系是 A. ( )

m> N

B.

m< N

C.

m= N

D.无法确定

分析:每月的利润组成一个等差数列 {an } ,且公差 d

? 0 ,每月的投资额组成一个等比数列 {bn } ,且公比 q ? 1 。

a1 ? b1 ,且 a12 ? b12 ,比较 S12 与 T12 的大小。若直接求和,很难比较出其大小,但注意到等差数列的通项公式
an ? a1 ? (n ? 1)d 是关于 n 的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式 bn ? a1q n?1 是
关于 n 的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出 ai

? bi ,则 S12 > T12 ,即 m > N

。 [点评]把一个原本是求和的问题,

退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步 挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。例 2:两条异面直线称为“一 对” ,则在正方体八个顶点间的所有连线中,成异面直线的共有多少对? 分析:如果以其中一条棱进行分类的话,很难搞清“重”和“漏” 。然而我们对以下两题很熟悉: ①以正方体的八 个顶点为顶点的三棱锥有多少个?②如果两条异面直线称为“一对”的话,任一三棱锥中有多少对异面直线? 略解:故可把本题分解成两个熟悉的问题,即考虑一种对应。由于①的答案是 C8
4

? 12 ? 58 个;②的答案是 3 对,

故本题答案为 58 ? 3 ? 174 对。[点评] 直接寻找异面直线的对数很繁且易漏,而引入三棱锥通过计算三棱锥个数, 使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应,从而使问题转化为我们所熟悉的问题。

归纳小结:我们学习了化归与转化思想,正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的
转化只限选择题,填空题中使用,在大题中可有管种方法来探究解题的突破口,寻求解题的方法。数学分支间的转 -9-

化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉,是解每一道题的一般过程。 主与次的转化的方法,是如何看待一个等式(或不等式)中的两个元素的地位,只要需要,就可以把其中任何 一个元素看作“主”要元素来解题。 化归与转化思想在教学中应用非常普遍,我们在解每一道题时,实际上都在转化和类比。将问题由难转易,由 陌生的问题转为熟悉的问题,从而从问题得到解决,类比与转化的类型很多,归纳如下: 高次问题——→低次问题 多元问题——→一元问题 超越运算——→代数运算 无限问题——→有限问题 空间问题——→平面问题 几何问题——→代数问题 复 问 转 简 问 杂 题 化 单 题 已 问 未 问 转 知 题 知 题 化

分离变量法

一 齐次偏微分方程的分离变量法

1 有界弦的自由振动 (1) 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题
2 2 ?? u 2 ? u 0? ? ?t 2 ? a ?x 2 ,     x ? l , t ? 0 ? ? ? ?u(0, t ) ? u( l , t ) ? 0 ? ?u |t ?0 ? ? ( x ), u1 |t ?0 ? ? ( x ) ?



这个定解的特点是:偏微分方程是齐次的,边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加 原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解,通过叠加求定解问题的解。 所谓

u( x, t ) 具有分离变量的形式,即 u( x, t ) ? X ( x)T (t )
- 10 -



u( x, t ) ? X ( x)T (t ) 带入方程①中,可得到常微分方程定解为: u( x, t ) ? un ( x , t )

n ?1 ?

an?t an?t n?x ? Dn sin ) sin n ?1 l l l 2 l n?x 2 l n?x 其中: C n ? ? ( x ) sin dx , Dn ? ? ( x ) sin dx ? ? l 0 l an? 0 l


? (C cos
n

?

2 离变量法的解题步骤可以分成三步: (一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。 (二) 确定特征值与特征函数。 (三) 求出特征值和特征函数后,再解其它的常微分方程,将所得的解与同一特征值报骊应的 特征函数相乘得到所有分离变量的特解。 3 有限长杆上的热传导

设有一均匀细杆,长为 l ,比热为 c ,热传导系数为 k ,杆的侧面是绝缘的,在杆的一端温度 保持为 0 度,另一端杆的热量自由散发到周围温度是 0 的介质中,杆与介质的热交换系数为 k 0 ,已 知杆上的初温分布为

? ( x ) ,求杆上温度的变化规律,也就是要考虑下列问题:
(2.18)

2 ? 2u 2 ? u ?a ,     x ? l , t ? 0 0? ?t 2 ?x 2

? u( l, t ) u(0, t ) ? 0,    ? hu( l , t ) ? 0 ?x

(2.19)

u( x,0) ? ? ( x)
其中 a
2

(2.20)

?

k0 k ?0 ,h ? k c?
X ( x)T (t ) ,代入方程(2.18)得:
X '' ( x ) T ' ( t ) ? X ( x ) aT ( t )

注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的,因此仍用分离变量法来求解。 设 u( x, t ) ?

上式右端不含 x ,左端不含 t ,所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为 ? ? ,则
- 11 -

有:

X '' ( x ) ? ?X ( x ) ? 0 T ' ( t ) ? a 2 ?T (t ) ? 0
所齐次边界条件可得:

(2.21) (2.22)

X (0) ? 0, X ' (l ) ? hX (l ) ? 0
从而特征值问题:

(2.23)

? X ( x ) ? ?X ( x ) ? 0 ? ' ? X (0) ? 0, X ( l ) ? hX ( l ) ? 0
对 ? 的取值分三种情况

? ? 0 , ? ? 0, ? ? 0 进行讨论。

4

极坐标系下位势方程的分离变量法

如果求解区域是圆域、圆柱域等,在直角坐标系下,其边界不能用分离变量形式的方程来表示, 进行分离变量就会受阻。然而若转换坐标,例如圆形域换成极坐标系后,其边界方程为

? ? ? ? 0 ,符合分离变量的要求。因此,当求解域为圆、扇形、球、圆柱等定解问题时,通
0

过选取适当的坐标系,可以排除用分离变量法的障碍。 例如 一个半径为

?

0

的薄圆盘,上下两面绝缘,圆周边缘温度分布为已知,求达到稳定状态

下圆盘内的温度分布。 二、非齐次方程的的解法

1 非齐次方程的特征函数法 可分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次(位势方程例外)如果上述条件之一破坏, 则不能采用分离变量法解。 对于齐次方程具有齐次边界条件的定解问题,因其通解可表示为其特征函数

X n ( x ) (n ? 1,2,....)的线性组合,即 u( x, t ) ? ? C nTn ( t ) X n ( x ) ,由此推断非齐
n ?1

?

次方程具有齐次边界条件定解问题也可由特征函数列 { X n ( x )} 线性表出,即求形式解

u( x, t ) ? ? Tn ( t ) X n ( x ) , T (t ) 为待定函数。
n ?1
n

?

由此,在齐次边界条件下的非齐次的定解问题,只要将其解及方程的自由项均按相应的齐次方 程的特征函数展开,就可以求出其形式解。
- 12 -

因此,这个方法就称为特征函数法。 2 非齐次边界条件的齐次化 不论是用分离变量法,还是用特征函数法,都要求定解问题的边界条件是齐次的,这是因为 用分离变量法或特征函数法都要将特征函数叠加起来,如果边界条件非齐次,则通过叠加后的函数 就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时,必须设法将边界条件化成齐次的。 例如 将定解问题
2 ?utt ? a uxx ? f ( x , t ) ?u(0, t ) ? g ( t ), u( l , t ) ? g ( t ) ? 1 2 ? ?u( x ,0) ? ? ( x ) ?ut ( x ,0) ? ? ( x ) ?

的边界条件齐次化。 设 通过适当选取W ( x, t ) 使新的未知函数满足齐 u( x, t ) ? V ( x, t ) ? W ( x, t ) ,

次边界条件,这只须使

W ( x, t ) 满足:
W1 (0, t ) ? g1 ( t ) ,W1 ( l , t ) ? g2 ( t )

即可。

3

Sturn ? Liouville 问题
用分离变量法争定解问题必须导出特征值问题,并将定解问题的解表示成特征函数系构成的无

穷级数。现在看

Sturn ? Liouville 问题的一般提法和主要结论。

d dy [k ( x ) ] ? q( x ) y ? ?p( x ) y ? 0 (a ? x ? b) ( 2.38 ) 称 为 , dx dx Sturn ? Liouville 型方程。其中为待定实参数, p( x ) , q(x ) , k ( x ) 为已知函数,
方程 且在 当 [a, b]上 k ( x ) ,k ( x ) ,p( x ) , x ? (a, b) 时,p( x ) >0,q( x) ? 0 ,k ( x )
'

>0,而 极点。

a, b 至多是 k ( x ) 及 p( x ) 的一级 0 点; q(x ) 在 (a, b) 上连续,在端点至多是一级
Sturn ? Liouville
问题。任一个

方程(2.38)与定解条件所构成的定解问题称为

Sturn ? Liouville 问题的特征值和特征函数满足如下性质:
(1)在可数无穷多个值

? ? ? ? ... ? ? ? ... , lim ? ? ?? 。与每一个特征
1 2 n

n ??

n

- 13 -

值相应的线性无关的特征函数只有一个; (2)

? ? 0;
n

(3)设

? ??
m

n

是任意两个不同的特征值,则相应的特征函数

ym ( x ) 和 yn ( x ) 在

[a, b]上带权 p( x ) 正交,即有:

? p( x ) y ( x ) y ( x )dx ? 0
b a m n

(4) 特征函数系 { y n ( x )} 在区间

也就是说, 对任意一个在 [a , b] [a, b]上构成一个完备系,

上有一阶连续导数及分段二阶连续导数的函数

f (x) ,只要它满足特征值问题中的边界条件中,

则它可按特征函数系 { y n ( x )} 展开成绝对且一致收敛的级数

f ( x ) ? ? f n yn ( x )
n ?1

?

其中

p( x ) f ( x ) y( x )dx 。 f n ? ?a b p( x ) yn2 ( x )dx ?a
b

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