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4-1.1导数与函数的单调性


第4章

1.1

(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 2 1.当 x>0 时,f(x)=x+ ,则 f(x)的单调递减区间是( x A.(2,+∞) C.( 2,+∞) B.(0,2) D.(0, 2) )

2 解析: f′(x)=1- 2,当 f′(x)<0

时,- 2<x<0,或 0<x< 2,又∵x>0,∴0 x <x< 2,故选 D. 答案: D 2.下列函数中在区间(-1,1)上是减函数的是( A.y=2-3x2 1 C.y= x-2 )

B.y=lnx D.y=sinx

-1 1 解析: 对于函数 y= ,其导数 y′= <0,且函数在区间(-1,1)上有意义, x-2 ?x-2?2 1 所以函数 y= 在区间(-1,1)上是减函数,其余选项都不符合要求,故选 C. x-2 答案: C 3.函数 y=xcosx-sinx 在下列哪个区间内是增函数( π 3π A.( , ) 2 2 3π 5π C.( , ) 2 2 B.(π,2π) D.(2π,3π) )

解析: 由 y′=-xsinx>0,则 sinx<0,则 π+2kπ<x<2π+2kπ,k∈Z. 答案: B a 4.(2,+∞)为函数 y=2x- 的单调递增区间,则 a 的值为( x A.a≥-8 C.a<-8 B.-8<a<0 D.a>0 )

a 解析: y′=2+ 2≥0 对 x>2 恒成立,∴a≥-2x2, x ∴a≥-8. 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
1

5.(2009 江苏高考)函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________. 解析: f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1), 当 x<-1 或 x>11 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当-1<x<11 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 答案: (-1,11) 6.若函数 y=(a-1)lnx+2x-1 在(0,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围为________. 1 解析: y′=(a-1)·+2>0 在(0,+∞)上恒成立 x 即:a-1>-2x,而 x>0,∴a-1≥0,∴a≥1. 答案: a≥1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3x2-2x+1; (2)f(x)=x3-2x2+x; (3)f(y)=x-ln x(x>0); 1 解析: (1)f′(x)=6x-2.令 6x-2>0,解得 x> . 3 1 因此,当 x∈?3,+∞?时,f(x)是增函数; ? ? 1 其单调递增区间为?3,+∞?. ? ? 1 再令 6x-2<0,解得 x< . 3 1 因此,当 x∈?-∞,3?时,f(x)是减函数. ? ? 1 其单调递减区间为?-∞,3?. ? ? (2)f′(x)=3x2-4x+1. 1 令 3x2-4x+1>0,解得 x>1,或 x< . 3 1 因此,y=x3-2x2+x 的单调递增区间为(1,+∞)和?-∞,3?. ? ? 1 再令 3x2-4x+1<0,解得 <x<1. 3 1 因此,y=x3-2x2+x 的单调递减区间为?3,1?. ? ? 1 (3)函数的定义域为(0,+∞),y′=1- , x 1 令 y′=1- >0,则 x>1,因此,函数 y=x-ln x 在(1,+∞)上是增函数; x

2

1 令 y′=1- <0,则 0<x<1, x 因此,函数 y=x-ln x 在(0,1)上是减函数, 所以函数 y=x-ln x 的单调区间是(0,1)和(1,+∞). bx 8.讨论函数 f(x)= 2 (-1<x<1,b≠0)的单调区间. x -1 解析: f(x)的定义域为(-1,1),易知函数 f(x)是奇函数,故只需讨论函数在(0,1)内的单 调性. x′?x2-1?-x?x2-1?′ b?x2+1? 因为 f′(x)=b· =- 2 , ?x2-1?2 ?x -1?2 x2+1 当 0<x<1 时,x2+1>0,(x2-1)2>0,所以- 2 <0. ?x -1?2 所以若 b>0,则 f′(x)<0,所以函数 f(x)在(0,1)内是减函数;若 b<0,则 f′(x)>0,所以 函数 f(x)在(0,1)内是增函数. 又函数 f(x)是奇函数,而奇函数图象关于原点对称, 所以当 b>0 时,f(x)在(-1,1)内是减函数;当 b<0 时,f(x)在(-1,1)内是增函数. ? 尖子生题库 ? ☆☆☆ 1 9.(10 分)已知 f(x)=2ax- 2,x∈(0,1].若 f(x)在区间(0,1]上是增函数,求 a 的取值范 x 围. 2 解析: f′(x)=2a+ 3. x ∵f(x)在(0,1]上单调递增, 1 ∴f′(x)≥0,即 a≥- 3在 x∈(0,1]上恒成立. x 1 而 g(x)=- 3在(0,1]上单调递增. x ∴g(x)max=g(1)=-1. ∴a≥-1,即 a 的取值范围是[-1,+∞).

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