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高中数学


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高中数学选修 2-1
第二章 2.2.2 曲线与方程 椭圆的简单几何性质 第 四课时

新知探究

椭圆中的几个最值:
x y 1.对于椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? b a y
M
O
2 2


x

椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a,最小值为b.

新知探究

2.椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最

大值和最小值分别是什么?
y

M
O F

x

化为关于x的二次函数的最值问题.
y
B2

设M(x0 ,y0)

M
F2

则|MF2 | =(x0 -c) +y0
x0 y0 又 2 ? 2 ?1 a b A2 x 2 2 c a 2 2 ?|MF2 | = 2 (x0 - ) a c
2 2

2

2

2

A1 F
1

O
B1

? ?a ? x0 ? a ?当x0 ? ?a, | MF2 | 有最大值a ? c; 当x0 ? a, | MF2 | 有最小值a ? c;

y
B2

M
F2

|MF2|min=|A2F2| =a-c |MF2|max=|A1F2| A2 x =a+c

A1 F
1

O B1

新知探究

3.点M在椭圆上运动,当点M在什么位 置
M

时,∠y F1MF2为最大? 点M为短轴的端点.
F1 O F2 x

此时△F1MF2的面 积最大

专题:求变量的取值范围或最值
思想方法: 1.函数法: 化归为求函数值域或最值

建立变量不等式并求解 2.不等式法:
3.几何法:从几何图形中确定临界值

构造不等式法 2 2 x y 例1 设F1、F2为椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?
a b

的两焦点,若椭圆上存在点P,使

∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取
值范围.
y

1 e ? [ ,1) 2

B
F1 O

P F2 x

练习:已知F1 、F2椭圆的左右焦点,椭
圆上存在点M使得MF1⊥MF2, 求椭圆的 离心率的范围.
y

BM
F1 O
F2 x

类题:《学海》26页探究活动. 类题:《学海》27页4题.

构造不等式法 2 2 x y 例2 设椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的半 a b b+ c 焦距为c,求 的取值范围.
a

(1,

2]

构造函数法: 2 x 2 例3 已知椭圆 ? y ? 1 的两个焦点
4

为F1、F2,点P是椭圆上任意一点,求

|PF1|2+|PF2|2的最大值和最小值.
y

最大值为14. 最小值为8.

P F1 O F2 x

构造函数法: 2 2 x y 例4 设F1、F2为椭圆 ? ? 1 的左、
4 3

右焦点,P为椭圆上一动点,点P到椭 圆右准线的距离为d,若|PF2|2=md|PF1| y 求m的取值范围.
P

d

1 3 e? [ , ] 6 2

F1 O

F2

x

几何法 例5.已知F1、F2是椭圆的左右焦点,

若其右准线存在一点P使PF1的中垂线
恰过点F2, 求椭圆的离心率的取值范围. y P F1 O F2 Hx

x y ? 1 的上任 例6 已知点M为椭圆 ? 25 16

2

2

意一点, F1 、 F2分别为左右焦点;且A(1,2)
5 求 | MA | ? | MF1 | 的最小值 3
3 | MA | ?5 | MF1 |


| 变式:求 3 | MA | ?5 | MF1 的最小值

类题:《学海》24页探究活动 y F B O A

M1 M x

M2

x y 例7 已知椭圆 + = 1和直线l: 25 9 4x-5y+40=0,试推断椭圆上是否存在 一点,它到直线l的距离最小?最小距离 y 是多少?
l M

2

2

15 41 41

O

F

x

作业: P50习题2.2B组:1,2,3. 落实《学海》第5、6课时


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