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1.5含有绝对值的不等式的解法


绝对值不等式的解法

复习回顾
重要不等式: 如果a,b是实数,则 ︱a︱–︱b︱≤︱a – b︱≤︱a︱+︱b︱
当且仅当 ab ≤ 0 时,右边等号成立

当且仅当 ab≥0 且︱a︱ ≥︱b︱

时,左边等号成立

︱a︱–︱b︱≤︱a + b︱≤︱a︱+︱b︱

当且仅当 ab ≥ 0 时,右边等号成立
时,左边等号成立

当且仅当 ab≤0 且︱a︱ ≥︱b︱

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1.一个数的绝对值的几何意义: 一个数的绝对值表示这个数对应的点到原 点的距离
2. 你能根据绝对值的几何意义得出 当 a>0,不等式︱x︱< a ,︱x︱> a 的 解集吗? x ? a ? ?a ? x ? a

x ? a ? x ? ?a or x ? a

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(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 例3. 解不等式|3x-1| ≤ 2 例4. 解不等式|2-3x| ≥ 7 思路点拨:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式 的解法——只需将ax+b看成一个整体X,即化 成|X|≤c,|X|≥c(c>0)型不等式求解.

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(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 总结提炼:

①当c >0时,
|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c |ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c

②当c≤0时,
|ax+b|≥c的解集为R, |ax+b|<c的解集为?.

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(2)|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等 式的解法 例5.解不等式|x-1|+|x+2|≥5. 思路点拨:解该不等式,可采用三种方法:(1) 利用绝对值的几何意义;(2)利用各绝对值的零

点分段讨论;(3)构造函数,利用函数图像分析
求解.

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思考:例5中三种解绝对值不等式的方法,你能概 括它们各自的特点吗?

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例6. 已知不等式|x+2|-|x+3|>m. (1)若不等式有解; (2)若不等式解集为R; (3)若不等式解集为?, 分别求出以上m的范围. 思路点拨:解答本题可以先根据绝对 值|x-a|的意义或绝对值不等式的性质 求出|x+2|-|x+3|的最大值和最小值, 再分别写出三种情况下m的范围.

2011年高考(本小题满分10分) 1.设函数 (Ⅰ)当

f ( x) ? x ? a ? 3x, 其中 a ? 0 。 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2
, f ( x) ? 0 的解为 ?x | x ? ?1 ?

的解集;

(Ⅱ)若不等式
求a的值。

2012年高考(本小题满分10分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,



a 的取值范围。

(本小题满分10分)不等式选讲

设 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | (1)求函数 g ( x) ? lg( f ( x) ? 2)
的定义域; (2)若 f ( x) 的最小值为m, a, b, c ? R, a ? b ? c ? m 证明: 2

1 a ?b ?c ? 3
2 2



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[解 ] 法一:因|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上 任意一点P(x)与两定点A(-2),B(-3)距离的差. 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|. 由图像知(|PA|-|PB|)max=1, (|PA|-|PB|)min=-1. 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值 小即可,即m<1,m的范围为(-∞,1);

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(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要 比|x+2|-|x+3|的最小值还小,即m<-1,m的范围为

(-∞,-1);
(3)若不等式的解集为?,m只要不小于|x+2|-|x+ 3|的最大值即可,即m≥1,m的范围为[1,+∞) 法二:由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1,|x+ 3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1,

可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解,则m∈(-∞,1).

(2)若不等式解集为R,则m∈(-∞,-1).
(3)若不等式解集为?,则m∈[1,+∞).

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方法总结:问题(1)是存在性问题,只要求存 在满足条件的x即可;不等式解集为R或为空集 时,属于恒成立问题,恒成立问题f(x)<a恒成 立?f(x)max<a,f(x)>a恒成立?f(x)min>a.

课堂小结

课外作业

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思考:例5中三种解绝对值不等式的方法,你能概 括它们各自的特点吗?

几何法、分区间(分类)讨论法、图像法.解法一着 重对绝对值的几何意义作分析,利用数形结合思想; 解法二将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不 等式 ,利用化归与转化思想、分类与讨论思想;解法 三体现函数和方程的思想,把不等式的解与函数的 定义域、值域联系了起来. 解法二的方法具有普遍 性,但较麻烦;几何法和图像法直观,但只适用于 数据较简单的情况.


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