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创新设计2012高考数学二轮专题复习课件:回顾2(新课标版理科)


回顾2 必背公式

(1)ar·s=ar s(a>0,r,s∈Q). a (2)ab=N?logaN=b?alogaN=N(a>0且a≠1,N>0). (3)loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0). M (4)loga =logaM-logaN(a>0且a≠1,M>0,N&g

t;0). N (5)logaMn=nlogaM(a>0且a≠1,M>0). (6)logaN= 名师指导 有些学生将公式(3)记为loga(M+N)=logaM· aN,导致计算结果错误. log logmN (a>0,b>0,m>0,m≠1且a≠1). logma



高考链接 1.(2010· 四川)2log510+log50.25等于( A.0 C.2 解析 答案 B.1 D.4 2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log552=2. C ).

(1)求导公式:①C′=0(C为常数);②(xn)′=nxn 1;③(sin x)′=cos x; 1 ④(cos x)′=-sin x;⑤(ex)′=ex;⑥(ax)′=axln a(a>0);⑦(ln x)′= ; x ⑧(logax)′= 1 (a>0,且a≠1). xln a



(2)导数的运算法则:①(u± v)′=u′± v′;②(u· v)′=v· u′+v′· u;③ v· u′-v′· u ?u? (Cu)′=C· u′(C为常数);④?v?′= (v≠0). v2 ? ? (3)复合函数的求导法则:对于复合函数y=f(φ(x)),设函数u=φ(x),则y′x =y′u· x. u′

名师指导 在导数运算中,首先要注意两个函数积与商的导数运算中,不能出现
? f?x? ? f′?x? ? ′= [f(x)· g(x)]′=f′(x)· g′(x)以及 ? 的错误;其次还要特别注意 g′?x? ?g?x??

在两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数中是“+”号,而 商的导数中分子上是“-”号.

高考链接
2.(2010· 辽宁)已知点P在曲线y= 角,则α的取值范围是(
? π? ?0, ? A. 4? ? ?π 3π? C.?2, 4 ? ? ? ?π π ? B.?4,2? ? ? ?3π ? ? ,π? D. 4 ? ?

4 上,α为曲线在点P处切线的倾斜 ex+1

).

解析

-4ex 4 ∵y= x ,∴y′= x . e +1 ?e +1?2

令ex+1=t,则ex=t-1且t>1, ∴y′= -4t+4 4 4 = 2- . t2 t t

1 再令 =m,则0<m<1, t
? 1? ?m- ?2-1,m∈(0,1). ∴y′=4m -4m=4 2? ?
2

容易求得-1≤y′<0, 3 ∴-1≤tan α<0,得 π≤α<π. 4 答案 D

(1)若a,b∈R,则a2+b2≥2ab. a+b (2)若a>0,b>0,则a+b≥2 ab或 ab≤ . 2 b a (3)若a,b同号,则 + ≥2. a b (4)||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|. 名师指导
?a+b? 2 ? 等求函数的最值时,务必 利用基本不等式a+b≥2 ab以及变式ab≤ ? ? 2 ?

注意a,b∈R+(或a,b非负),积ab或和a+b其中之一应是定值,特别要注 b 意等号成立的条件,是形如y=ax+ (a,b>0)的函数,在运用基本不等式 x 求函数最值时,要注意自变量x的取值范围,在此范围内等号能否取到.

高考链接 3.(2010· 山东)若对任意x>0, ________. 解析 x ∵a≥ 2 = x +3x+1 1 对任意x>0恒成立, 1 x+ +3 x x x2+3x+1 ≤a恒成立,则a的取值范围是

1 设u=x+ +3, x 1 ∴只需a≥ 恒成立即可, u ∵x>0,∴u≥5(当且仅当x=1时取等号) 1 1 1 由u≥5知0< ≤ ,∴a≥ . u 5 5 答案
?1 ? ? ,+∞? ?5 ?

?nπ ? ? +α?= (1)诱导公式:cos 2 ? ?

??-1?ncos α,n为偶数, ? 2 ? ??-1?n-1sin α,n为奇数. ? 2
(2)同角三角函数的基本关系式:sin2θ+cos2θ=1,tan θ= (3)和、差公式:sin(α± β)=sin αcos β± αsin β; cos cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β; tan α± β tan tan(α± β)= . 1?tan αtan β b (4)辅助角公式:asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)(其中tan φ= ). a sin θ . cos θ

(5)二倍角的正弦、余弦及正切公式:sin

2α=2sin

αcos

α;tan

2α=

2tan α 2 2 2 2 2 ;cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α. 1-tan α 1-cos 2α 1+cos 2α 2 (6)半角公式(降幂公式):sin α= ,cos α= . 2 2
2

(7)正弦定理:

a b c = = =2R. sin A sin B sin C

b2+c2-a2 (8)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A?cos A= . 2bc 1 1 1 (9)三角形面积公式:S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B. 2 2 2 (10)三角函数周期公式:函数y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)(A,ω,φ为常 2π π 数,且A≠0,ω>0,下同)的周期T= ;函数y=tan(ωx+φ)的周期T= . ω ω

名师指导 三角恒等变换是解决三角函数问题的主要手段,在进行三角恒等变换时要 注意正确使用公式,变换过程中准确运算.

高考链接 4.(2010· 浙江)函数f(x)=
? π? ?2x- ?-2 2sin2x的最小正周期是________. sin 4? ?

2 2 解析 f(x)= sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2 = 2 2 sin 2x+ cos 2x- 2 2 2
? ?

? π? =sin?2x+4?- 2,

2π ∴T= =π. 2 答案 π

设a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)坐标运算公式:a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa= (λx1,λy1),a· 1x2+y1y2. b=x
2 (2)向量a的模的计算公式:|a|= a· a= x2+y1. 1

(3)向量a与b的夹角θ的计算公式: x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 (4)a∥b?x1y2-x2y1=0. (5)a⊥b?x1x2+y1y2=0.

名师指导 在解答与向量的坐标运算有关的试题时要注意核查运算过程,时时刻刻注 意运算的准确性,防止出现运算上细微疏忽导致整个题目结果出现错误的 严重后果.要特别注意平行的充要条件,很容易出错.

高考链接 5.(2011· 北京)已知向量a=( 3 ,1),b=(0,-1),c=(k, 3 ).若a-2b 与c共线,则k=________. 解析 ∵a-2b=( 3,3)与c=(k, 3)共线.

∴3k= 3× 3,故k=1. 答案 1

(1)等差数列的通项公式:an=a1+ (n-1)d. (2)等比数列的通项公式:an=a1qn 1. (3)等差数列的前n项和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d. 2 2 (4)等比数列的前n项和公式:


?a1?1-q ?,q≠1, ? Sn=? 1-q ?na1,q=1. ?
n

?S1,n=1, (5)数列的通项公式与前n项的和的关系:an=? ?Sn-Sn-1,n≥2.

名师指导 在数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系:an=
?S1?n=1?, ? ?Sn-Sn-1?n≥2?.

这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关

系式是分段的,在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这 也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分 段”的特点.当题目中给出了数列{an}的an与Sn之间的关系时,这两者之间 可以进行相互转换,知道了an的具体表达式可以通过数列求和的方法求出 Sn,知道了Sn可以求出an,解题时要注意体会这种转换的相互性.

高考链接 6.(2010· 天津)设{an}是等比数列,公比q= 2 ,Sn为{an}的前n项和.记Tn 17Sn-S2n = ,n∈N*,设Tn0为数列{Tn}的最大项,则n0=________. an+1 17a1?1-qn? a1?1-q2n? - 1-q 1-q an+1

解析

设等比数列{an}的首项为a1,则Tn=



16 16 n n n 2n n 2n n -17+q n+? 2? -17 17?1-q ?-?1-q ? 16-17q +q q ? 2? = = = = +1 ?1-q?qn qn-qn 1-q 1- 2
? 16 ? +? 2?n? ? 17- n ?? 2? ?

2-1

,于是,由Tn的表达式可以看出,要使Tn最大,则

16 ? 2?n

+( 2)n必须取得最小值. 16 n 由基本不等式得 n+( 2) ≥8,当且仅当n=4时取“=”.所以n0=4. ? 2? 答案 4

(1)侧面积公式:S正棱柱侧=Ch(C为底面周长,h为正棱柱的高),S正棱锥侧=

1 2

1 Ch′(C为底面周长,h′为斜高),S正棱台侧= (C+C′)h′(C和C′分别为下 2 底面和上底面周长,h′为斜高).S圆柱侧=2πrl(r为底面半径,l为侧面母线 长),S圆锥侧=πrl. (2)球的表面积公式:S球=4πR2. 1 1 (3)体积公式:V柱体=Sh,V锥体= Sh,V台体= h(S+ SS′+S′)(S和S′分别 3 3 4 3 为上、下底面面积,h为高),V球= πR . 3

名师指导 (1)在解决面积计算问题时,一要看准计算的是全面积还是侧面积,二要准 确地利用公式,防止出现公式误用. (2)计算空间几何体的体积时要注意:①分析清楚空间几何体的结构,搞清 楚该几何体各个部分的构成特点;②进行合理的转化和一些必要的等积变 换,如三棱锥的体积计算就可以通过“换顶点”的方法进行等积变换;不 规则几何体的体积可用割补法等;③正确选用体积计算公式.

高考链接 7.(2011· 陕西)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ).

A.8-

2π 3

B.8- D. 2π 3

π 3

C.8-2π

解析

由三视图知该几何体是一个棱长为2的正方体内部挖去了一个底面

1 2π 半径为1,高为2的圆锥,其体积为23- π×12×2=8- . 3 3 答案 A

空间角公式: (1)异面直线所成角公式,设a,b分别为异面直线l1,l2上的方向向量,θ为 异面直线所成的角,则cos θ=|cos〈a,b〉|= |a· b| . |a||b|

(2)线面角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向 量,θ为l与α成的角,则sin θ=|cos〈a,n〉|= |a· n| . |a||n|

(3)面面角公式:设n1,n2分别为平面α,β的法向量,二面角为θ, 则θ=〈n1,n2〉或θ=π-〈n1,n2〉(需要根据具体情况判断相等或互 补), 其中cos〈n1,n2〉= n1·2 n . |n1||n2|

空间距离公式: 直线到平面的距离,两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离,点P |PM · n| 到平面α的距离:d= (其中n为α的法向量,M为α内任一点). |n| 名师指导 (1)直线与平面所成的角为θ,如直线的方向向量 为a,平面的法向量为n,则sin θ=|cos〈a,n〉|, 如图所示,注意千万不要忘了绝对值! (2)如果两个平面的法向量分别是m,n,两个平面所成的锐二面角的大小 为θ,则cos θ=|cos〈m,n〉|= |m· n| .在一般的二面角大小计算中要根据这 |m||n|



个二面角的实际大小,确定其余弦值正负号的选取.

高考链接 8.(2011· 辽宁)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥ 1 QA,QA=AB= PD. 2

(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ; (2)求二面角QBPC的余弦值.



如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半

轴建立空间直角坐标系Dxyz.

(1)证明

依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则 DQ =(1,1,0), DC =





→ (0,0,1),PQ=(1,-1,0). →→ →→ 所以PQ· =0,PQ·C=0. DQ D 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ. 又PQ?平面PQC, 所以平面PQC⊥平面DCQ.

→ → (2)依题意有B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). 设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则

因此可取n=(0,-1,-2). 设m为平面PBQ的法向量,则

可取m=(1,1,1), 所以cos〈m,n〉=- 15 . 5 15 . 5

故二面角QBPC的余弦值为-

y2-y1 (1)直线的斜率公式:k= . x2-x1 (2)平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式: |P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. |Ax0+By0+C| (3)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式:d= . A2+B2 (4)直线y=kx+b与圆锥曲线相交于A,B两点,其弦长公式为 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2??x2-x1?2, 其中A(x1,y1),B(x2,y2). c (5)椭圆,双曲线的离心率公式:e= . a

名师指导 设直线l的方程为f(x,y)=0,圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,直线l与圆锥曲
?f?x,y?=0, 线C的两个不同交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ? ?F?x,y?=0,

消去y得

到ax2+bx+c=0,则x1、x2是它的两个不相等的实根.记Δ=b2-4ac.设直 线l的斜率为k,则A,B两点之间的距离|AB|= ?x1+x2? -4x1x2 =
2 2

1+k2 |x1-x2|=

1+k2

Δ 1+k · ;若消去x,则A,B两点之间的距离|AB|= |a|

1+

1 |y -y |.使用弦长公式时,运用的就是“设而不求、整体代入”的 k2 1 2

思想.

高考链接
?x=8t2, 9.(2011· 天津)已知抛物线C的参数方程为 ? (t为参数).若斜率为1 ?y=8t

的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r= ________. 解析 消去参数t得抛物线C的标准方程为y2=8x,其焦点为(2,0),所以过 |4-2| = 2. 2

点(2,0)且斜率为1的直线方程为x-y-2=0,由题意得r= 答案 2

(1)定理:(a+b)n=C0anb0+C1an 1b+C2an 2b2+?+Ck an kbk+?+C na0bn(n n n n n n ∈N*). (2)二项展开式的通项: Tr+1=Cr an rbr,r=0,1,2,?,n.其中Cr 叫做二项式系数. n n 名师指导 在二项式(a+b)n的展开式中,其通项Tr+1=C
r n








an rbr是指展开式的第r+1



项,因此展开式中第1,2,3,?,n项的二项式系数分别是C0,C1,C2,?, n n n C n 1 ,而不是C 1 ,C 2 ,C 3 ,?,C n .而项的系数是二项式系数与其他数字因 n n n n n 数的积.


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? x 2 ?6 10.(2011· 天津)在? 2 - ? 的二项展开式中,x2的系数为( x? ?

).

A.- C.- 解析

15 4

15 B. 4 D. 3 8

3 8

Tr+1=Cr ? 6


? x?6-r ? 2 ?r ? ·- ? ? 2? ? x? ?


=(-1)r22r 6Cr x3 r, 6 令3-r=2,则r=1. 3 - 所以x2的系数为(-1)1×2 4×C1=- . 6 8 答案 C

(1)古典概型的概率计算公式: A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 (2)几何概型的概率计算公式: P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? (3)互斥事件 A 与 B 的概率加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B). (4)对立事件 A 与 B 的概率加法公式:P(A)+P(B)=1. (5)条件概率:在 A 发生的条件下 B 发生的概率: P?AB? P(B|A)= . P?A?

(6)相互独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B). (7)独立重复试验:如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为: Pn(k)=Ck pk(1-p)n k,k=0,1,2,?,n. n 名师指导 二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”,事件的发生都是独 立的、相互之间没有影响,事件又是在相同的条件之下重复发生.要记住 二项分布概率模型的这个特点,在解题时把符合这种特点的概率问题归结 到二项分布模型上面,直接根据二项分布概率模型的公式解决.有的问题 是局部的二项分布概率模型问题,解题时要注意这种特殊情况.


高考链接 11. (2009· 北京)一名学生骑自行车上学, 从他家到学校的途中有 6 个交通岗, 1 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)设 ξ 为这名学生在途中遇到的红灯次数,求 ξ 的概率分布; (2)设 η 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 η 的概率分布; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解 1 (1)将遇到每个交通岗看作一次试验,遇到红灯的概率都是 ,且每次试 3
? ?

? 1? 验结果相互独立,故 ξ~B?6,3?. ?1? ?2? - ? ∴P(ξ=k)=Ck ?3?k·3?6 k(k=0,1,2,?,6). 6 ? ? ? ?

ξ 的概率分布为

ξ P

0
?2?6 ? ? ?3?

1 26 35

2

3

4

5

6

160 20 4 1 36 35 35 36

(2)η=k(k=0,1,2,?,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第(k+1)个路
?2?k 1 口遇上红灯。其概率为P(η=k)=?3? ·,η=6表示路上没有遇上红灯,故其 ? ? 3 ?2?6 概率为P(η=6)=?3? . ? ?

所以 η 的概率分布为 η P η P (3)所求概率即 P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)
?2? 665 =1-?3?6 ? ? 729

0 1 3 4 1 ?2?4 ×? ? 3 ?3?

1 1 2 × 3 3

2 1 ?2?2 ×? ? 3 ?3? 5 1 ?2?5 ×? ? 3 ?3?

3 1 ?2?3 ×? ? 3 ?3? 6
?2?6 ? ? ?3?

a1+a2+?+an 据 a1,a2,?,an 的平均数为 a = ;特别地,如果上面 n 个 n 数据中不同数据 a1,a2,a3,?,an 的个数分别为 n1,n2,n3,?,nk,那 么它们的平均数为 a =a1p1+a2p2+?+anpn,其中 pi= ni
k i=1

.

?ni
1n (2)一组数据 x1,x2,?,xn,其平均数为 x ,则方差为 s = ? (xi- x )2,标 ni=1
2

准差为 s=

1n ? ?xi- x ?2. ni=1

名师指导 (1)若数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a,mx2+a,mx3+a,?, mxn+a 的平均数是 m x +a. (2)数据 x1,x2,?,xn 的方差是 s2. 1 2 2 ①s = [(x1+x2+?+x2)-n x 2]; n n
2

②数据 x1+a,x2+a,?,xn+a 的方差也为 s2;③数据 ax1,ax2,?,axn 的方差为 a2s2.

高考链接 12.(2011· 南京模拟)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分)分别为 x, y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( A.1 C.3 B.2 D.4 ).

解析

1 由题知 (x+y+10+11+9)=10,∴x+y=20, 5

① ②

1 [(x-10)2+(y-10)2+12+12]=2, 5 ∴(x-10)2+(y-10)2=8, ①2-②得 2xy+20x+20y-200=392. 2xy=192, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=400-384=16. ∴|x-y|=4. 答案 D


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